由于许多的优化问题，如凸优化问题、极小极大问题、最佳一致逼近问题、锥规划等，都可以看作复合优化问题的特例，因此复合凸优化问题引起了学者们的广泛关注

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)\\ \left(P\right)\text{s}\text{.t}{h}_t\left(x\right)\le 0,t\in T,\\ x\in C,\end{array}$

其中X，Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，C是X中的非空凸集，K是Y中的闭凸锥，Y是K所定义的序空间，T是一个非空(可能无限)指标集， $\phi :X\to Y^{•}:=Y\cup \left\{{\infty }_Y\right\}$是真K-凸函数， ${\infty }_Y$是关于偏序 ${\le }_K$下的最大元， $f:Y^{•}\to \overline{ℝ}$是真凸K-增函数， $h_t:X\to \overline{ℝ}:=ℝ\cup \left\{+\infty \right\},t\in T$是真凸函数。特别地，当 $X=Y$且 $\phi$是单位算子时，问题(P)转化为经典凸约束优化问题。学者们通过引入约束规范条件，建立了复合优化问题的全对偶理论和最优性条件等(参看文 [1] - [4] )。

在实际生活中，由于测量误差或模型本身的缺陷，或者决策阶段信息缺乏等原因，许多优化问题的数据是受到干扰的或是不确定的，并且概率分布也无法预知。因此，许多学者研究了带有数据不确定性的鲁棒复合凸优化问题

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)\\ \left(RP\right)\text{s}\text{.t}\text{.}{h}_t\left(x,v_t\right)\le 0,\forall v_t\in V_t,t\in T,\\ x\in C,\end{array}$

其中W是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间， $V_t\left(t\in T\right)\subseteq W$是一个不确定集， $h_t\left(\cdot ,{\nu }_t\right):X\times V_t\to \overline{ℝ},{\nu }_t\in V_t,t\in T$是真凸函数。特别地，许多学者研究了鲁棒复合凸优化问题的对偶理论(参看文 [5] - [7] )。例如，文 [5] [6] 利用函数的次微分性质，建立了鲁棒复合优化问题与其两种Lagrange对偶问题之间的全对偶与稳定全对偶以及解的最优性条件；文 [7] 利用函数的次微分性质，给出了鲁棒优化问题的强Fenchel对偶和全Fenchel对偶。

近来，为推广和改进经典的Lagrange对偶理论，Dinh等人在 $C=X$且f， $h_t\left(t=T\right)$均为下半连续函数的情形下，文 [8] [9] 引入了一种新的松弛型Lagrange对偶问题

$\left(D\right)\underset{H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}}{\text{sup}}\underset{x\in C}{\text{inf}}\left\{f\left(x\right)+{\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(x\right)}\right\},$

其中 $\mathscr{H}$是给定指标集T的非空有限子集族， $\mu ={\left({\mu }_t\right)}_{t\in H}\in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}$。显然，当 $\mathscr{H}$是T的所有非空有限子集族 $ℱ\left(T\right)$，即 $\mathscr{H}=ℱ\left(T\right)$时，问题(D)转化为经典的Lagrange对偶问题。文 [10] [11] 利用函数的次微分性质，在f， $h_t\left(t\in T\right)$不一定下半连续的情形下，等价刻画了凸优化问题与其松弛型Lagrange对偶问题之间的全对偶及最优性条件；文 [12] [13] 利用函数的上图性质，建立了问题(RP)与其松弛型Fenchel-Lagrange对偶问题之间的Farkas引理，零对偶及强对偶等。

受上述启发，本文在函数不一定下半连续，集合不一定是闭集的条件下，利用函数的次微分性质，引入新的约束规范条件，建立了问题(RP)的最优性条件及原问题与其松弛型Fenchel-Lagrange全对偶理论，推广和改进了前人的相关结论。

设X，Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间， $X^{\ast }$， $Y^{\ast }$分别是X和Y的共轭空间，分别赋予弱 ${}^{\ast }$拓扑 $w^{\ast }\left(X^{\ast },X\right)$， $w^{\ast }\left(Y^{\ast },Y\right)$。定义偏序关系 ${\le }_K$。若对任意的 $x,y\in K,y-x\in -K$，则称 $y{\le }_{K}x$。 $\langle x^{\ast },x\rangle$表示泛函 $x^{\ast }\in X^{\ast }$在 $x\in X$处的值即 $\langle x^{\ast },x\rangle =x^{\ast }\left(x\right)$。设Z是X中的非空子集，记Z的闭包和凸包分别为 $\text{cl}Z$， $\text{co}Z$。Z在 $z_0$点的法锥定义为

$N_Z\left(z_0\right):=\partial {\delta }_Z\left(z_0\right)=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },z-z_0\rangle \le 0,\forall z\in Z\right\}.$

Z的对偶锥和示性函数分别定义为

$Z^{\oplus }:=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },z\rangle \ge 0,\forall z\in Z\right\},$

${\delta }_Z\left(x\right):=\{\begin{array}{l}0,x\in Z,\\ +\infty ,其他.\end{array}$

设 $\mathscr{H}$是给定指标集T的非空有限子集族且 $H\in \mathscr{H}$，定义 ${ℝ}^{\left(H\right)}$的正极锥为

${ℝ}_{+}^{\left(H\right)}:=\left\{\mu ={\left({\mu }_t\right)}_{t\in H}\in {ℝ}^{\left(H\right)}:最多只有有限�{\mu }_t\ne 0\right\}.$

设 $f:X\to \overline{ℝ}$是真函数，f的有效定义域和共轭函数分别定义为

$\text{dom}f:=\left\{x\in X:f\left(x\right)<+\infty \right\},$

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right):=\sup \left\{\langle x^{\ast },x\rangle -f\left(x\right):x\in X\right\},\forall x^{\ast }\in X^{\ast }.$

由共轭函数的定义可知Young-Fenchel不等式成立，即

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+f\left(x\right)\ge \langle x^{\ast },x\rangle ,\forall \left(x^{\ast },x\right)\in X\times X^{\ast }.$(2.1)

定义f在 $x\in \text{dom}f$处的次微分为

$\partial f\left(x\right):=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:f\left(x\right)+\langle x^{\ast },y-x\rangle \le f\left(y\right),\forall y\in X\right\}.$

由文 [15] 中的定理2.4.2(i)可知，对于 $\forall x\in \text{dom}f$，以下关系成立：

$x^{\ast }\in \partial f\left(x\right)\iff f\left(x\right)+f^{\ast }\left(x^{\ast }\right)=\langle x^{\ast },x\rangle .$(2.2)

更多地，设 $x_0\in X$。由文( [15] ，定理2.5.7)可知，

$f\left(x_0\right)=\underset{x\in X}{\text{min}}f\left(x\right)\iff 0\in \partial f\left(x_0\right).$(2.3)

若 $f,h:X\to \overline{ℝ}$为真凸函数且满足 $\text{dom}f\cap \text{dom}h\ne \varnothing$，则

$\partial f\left(x\right)+\partial h\left(x\right)\subseteq \partial \left(f+h\right)\left(x\right),\forall x\in \text{dom}f\cap \text{dom}h.$(2.4)

设函数 $f:Y\to \overline{ℝ}$，对任意的 $y_1,y_2\in Y$，若当 $y_1{\le }_K{y}_2$时有 $f\left(y_1\right)\le f\left(y_2\right)$，则称f是K-增函数。定义函数 $h:X\to Y^{•}$的有效定义域 $\text{dom}h=\left\{x\in X:h\left(x\right)\in Y\right\}$。若 $\text{dom}h\ne \varnothing$，则称h是真函数。若对任意的 $x_1,x_2\in X$， $t\in \left[0,1\right]$，有 $h\left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right){\le }_{s}th\left(x_1\right)+\left(1-t\right)h\left(x_2\right)$，则称h是K-凸函数。定义函数 $\left(f\circ \phi \right)(\cdot ):X\to \overline{ℝ}$为

$\left(f\circ \phi \right)\left(x\right)=\{\begin{array}{l}f\left(\phi \left(x\right)\right),若x\in \text{dom}\phi ,\\ +\infty \text{,}其他.\end{array}$

显然， $f\circ \phi$是真凸函数。

引理2.1 [14] 设 $f,h:X\to \overline{ℝ}$是真凸函数且满足 $\text{dom}f\cap \text{dom}h\ne \varnothing$。若f或h在 $\text{dom}f\cap \text{dom}h$上有连续点，则

$\partial f\left(a\right)+\partial h\left(a\right)=\partial \left(f+h\right)\left(a\right),\forall a\in \text{dom}f\cap \text{dom}h.$

引理2.2 [15] 设 $g:X\to \overline{ℝ}$是真凸函数， $\phi :\text{dom}\phi \subseteq X\to Y^{•}$真K-凸函数， $f:Y^{•}\to \overline{ℝ}$是真凸K-增函数，若存在 $x_0\in \text{dom}g+{\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$使得f在 $\phi \left(x_0\right)$处连续，则对任意的 $x\in \text{dom}g+{\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，

$\partial \left(g+f\circ \phi \right)\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(g+\beta \phi \right)\left(x\right).$

定义 $A:=\left\{x\in C;h_t\left(\cdot ,v_t\right)\le 0,v_t\in V_t,t\in T\right\}$为问题(RP)的可行集。若无特殊说明，本研究均假设 $A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)\ne \varnothing$。设 $x\in {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$。为简便起见，记

$v_H:={\left(v_t\right)}_{t\in H}\in {\displaystyle \underset{t\in H}{\prod }{V}_t:=V_H},$

$\Phi \left(x\right):=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right).$

命题3.1 设 $x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，以下结论成立：

$\Phi \left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right).$(3.1)

证明 设 $x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，由(2.4)式知，

$\Phi \left(x\right)\subseteq \underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)}=0,\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)\end{array}}{\cup }\partial \left(\beta \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)\left(x\right)}\right)\left(x\right):={\Phi }_1\left(x\right).$

为证(3.1)式成立，现只需证

${\Phi }_1\left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right).$

为此，设 $p\in {\Phi }_1\left(x\right)$，则存在 $\bar{H}\in \mathscr{H},\bar{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\bar{H}\right)},{\bar{v}}_{\bar{H}}\in V_{\bar{H}},\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)$使得 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x,{\bar{v}}_t\right)=0}$，

$p\in \partial \left(\bar{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\right)\left(x\right).$

由次微分的定义知，

$\langle p,y-x\rangle \le \left(\bar{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(\bar{\beta }\phi +{\delta }_C\right)\left(x\right).$(3.2)

由 $\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)$可得，

$\langle \bar{\beta },\phi \left(y\right)-\phi \left(x\right)\rangle \le f\left(\phi \left(y\right)\right)-f\left(\phi \left(x\right)\right),\forall y\in X.$

则由(3.2)式可得，对任意的 $y\in X$，

$\begin{array}{l}\langle p,y-x\rangle \le \left(\bar{\beta }\phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x\right)\\ \le \left(f\circ \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi \right)\left(x\right).\end{array}$(3.3)

由于对任意 $y\in X$， ${\delta }_A\left(y\right)\ge {\delta }_C\left(y\right)+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\left(y\right)$，因此可得

$\left(f\circ \phi +{\delta }_C+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi \right)\left(x\right)\le \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right),\forall y\in X.$

从而由(3.3)式知，

$\langle p,y-x\rangle \le \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(y\right)-\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right),\forall y\in X.$

于是 $p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)$，故 ${\Phi }_1\left(x\right)\subseteq \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)$，即(3.1)式成立。证毕。

为刻画问题(RP)与其松弛型Fenche-Lagrange对偶问题之间的全对偶以及问题(RP)的最优性条件，我们首先引入以下约束规范条件。

定义3.1 设 $x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$。若

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)=\Phi \left(x_0\right),$(3.4)

则称系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$在 $x_0$点满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件，若对任意的 $x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，(3.4)式成立，则称系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件。

注3.1 若对任意的 $x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，由命题3.1知，系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件当且仅当

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)\subseteq \Phi \left(x\right).$(3.5)

设 $p\in X^{\ast }$。考虑以下带线性扰动的鲁棒复合优化问题

$\begin{array}{l}\inf f\left(\phi \left(x\right)\right)-\langle p,x\rangle \\ \left(R{P}_p\right)\text{s}\text{.t}\text{.}{h}_t\left(x,v_t\right)\le 0,\forall v_t\in V_t,t\in T,\\ x\in C.\end{array}$

定义问题 $\left(R{P}_p\right)$的松弛型Fenchel-Lagrang对偶问题为

$\left(R{D}_p\right)\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \text{dom}f,y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$

特别地，当 $p=0$时，问题 $\left(R{P}_p\right)$即为问题 $\left(RP\right)$，其对偶问题 $\left(R{D}_P\right)$转化为

$\left(RD\right)\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \text{dom}f,y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$

令 $v\left(R{P}_p\right)$和 $v\left(R{D}_p\right)$分别表示问题 $\left(R{P}_p\right)$和问题 $\left(R{D}_p\right)$的最优值， $S\left(R{P}_P\right)$表示问题 $\left(R{P}_p\right)$的最优解集，定义为

$S\left(R{P}_P\right):=\left\{x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right):f\left(\phi \left(x\right)\right)-\langle p,x\rangle =v\left(R{P}_P\right)\right\}.$

易证问题 $\left(RP\right)$与问题 $\left(RD\right)$之间的Fonchel-Lagrange稳定弱对偶成立，即

$v\left(R{D}_p\right)\le v\left(R{P}_p\right).$(4.1)

下面研究问题 $\left(RP\right)$和问题 $\left(RD\right)$之间的稳定全对偶，为此，先给出如下定义。

定义4.1 (a)若 $S\left(RP\right)\ne \varnothing$时，有 $v\left(RP\right)=v\left(RD\right)$且问题 $\left(RD\right)$有最优解，则称问题 $\left(RP\right)$与问题 $\left(RD\right)$之间的Fenchel-Lagrange全对偶成立；

(b)若对任意的 $p\in X^{\ast }$，问题 $\left(R{P}_P\right)$与问题 $\left(R{D}_P\right)$之间的Fenchel-Lagrange全对偶成立，则称问题 $\left(RP\right)$与 $\left(RD\right)$之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

下列定理刻画了问题 $\left(RP\right)$与其对偶问题 $\left(RD\right)$之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶。

定理4.1 以下命题等价：

(i) 系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件。

(ii) 问题 $\left(RP\right)$与问题 $\left(RD\right)$之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

证明 (i) $\Rightarrow$(ii) 假设(i)成立。设 $p\in X^{\ast }$且 $S\left(R{P}_P\right)\ne \varnothing$。任取 $x_0\in S\left(R{P}_P\right)$，则由(2.3)式得， $p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)$。由于系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件，故有 $p\in \Phi$，于是存在 $\bar{H}\in \mathscr{H}$，

$\bar{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\bar{H}\right)}$， ${\bar{v}}_{\bar{H}}\in V_{\bar{H}}$， $\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$使得 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)=0}$，

$p\in \partial \left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+\partial {\delta }_C\left(x_0\right)+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\left(x_0\right).$

因此，存在 ${\bar{y}}^{\ast }\in \partial \left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)$， ${\bar{z}}^{\ast }\in {\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)\left(x_0\right)}$，使得 $p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\in \partial {\delta }_C\left(x_0\right)$。由Young等式(2.2)式可知，

$\left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)=\langle {\bar{y}}^{\ast },x_0\rangle ,$(4.2)

${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}+{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)=\langle {\bar{z}}^{\ast },x_0\rangle ,$(4.3)

${\delta }_C\left(x_0\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)=\langle p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast },x_0\rangle .$(4.4)

注意到 ${\delta }_A\left(x_0\right)={\delta }_C\left(x_0\right)={\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)=0}$，结合(4.2)式，(4.3)式和(4.4)式可得

${\delta }_A\left(x_0\right)+\left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)+{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)=\langle p,x_0\rangle .$(4.5)

由(2.2)式及 $\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$有，

$f\left(\phi \left(x_0\right)\right)=\langle \bar{\beta },\phi \left(x_0\right)\rangle -f^{\ast }\left(\bar{\beta }\right).$

将(4.5)式与上式相加，化简可得

$\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)+f^{\ast }\left(\bar{\beta }\right)+{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)+{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)=\langle p,x_0\rangle .$(4.6)

由 $x_0\in S\left(R{P}_P\right)$知， $x_0$是原问题 $\left(R{P}_P\right)$的最优解，即

$\left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle =v\left(R{P}_P\right).$(4.7)

将上式代入(4.6)式可得，

$\begin{array}{c}v\left(R{P}_P\right)=-f^{\ast }\left(\bar{\beta }\right)-{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)\\ \le \underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H,\\ \beta \in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right),y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }\end{array}}{\sup }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)\right\},\end{array}$

即 $v\left(R{D}_P\right)\ge v\left(R{P}_P\right)$，从而，由 式可得 $v\left(R{D}_P\right)=v\left(R{P}_P\right)$且 $\left(\bar{H},\bar{\mu },{\bar{v}}_{\bar{H}},\bar{\beta },{\bar{y}}^{\ast },{\bar{z}}^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(\bar{H}\right)}\times V_{\bar{H}}\times \text{dom}{f}^{\ast }\times X^{\ast }\times X^{\ast }$是对偶问题 $\left(R{D}_P\right)$的最优解。因此，问题 $\left(RP\right)$与问题 $\left(RD\right)$之间的Fenchel-Lagrange稳定全对偶成立。

(ii) $\Rightarrow$(i) 假设(ii)成立。设 $x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，由注3.1可知，欲证(i)，只需证(3.5)式成立。为此，设 $p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)$，则由(2.3)式可得， $x_0\in S\left(R{P}_P\right)$，故(4.7)式成立。由于(ii)成立，则存在 $\bar{H}\in \mathscr{H}$， $\bar{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\bar{H}\right)}$， ${\bar{v}}_{\bar{H}}\in V_{\bar{H}}$， $\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$， $y^{\ast },z^{\ast }\in X^{\ast }$使得

$v\left(R{P}_P\right)=-f^{\ast }\left(\bar{\beta }\right)-{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{z}}^{\ast }-{\bar{y}}^{\ast }\right).$

注意到 ${\delta }_A\left(x_0\right)=0$，结合(4.7)式及上式可得，

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle =-f^{\ast }\left(\bar{\beta }\right)-{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)-{\delta }_C{}^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right).$(4.8)

再结合(2.1)式和(4.8)式可得，

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle \le \left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}+{\delta }_C\left(x_0\right)-\langle p,x_0\rangle .$

由于 ${\delta }_C\left(x_0\right)=0$，所以有 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\ge 0$。又因 $x_0\in A$，有 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\le 0$，故 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}=0$。因此，

$\begin{array}{l}\left(\left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+{\left(\bar{\beta }\phi \right)}^{\ast }\left({\bar{y}}^{\ast }\right)-\langle {\bar{y}}^{\ast },x_0\rangle \right)+\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}+{\left({\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t{h}_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}\right)}^{\ast }\left({\bar{z}}^{\ast }\right)-\langle {\bar{z}}^{\ast },x_0\rangle \right)\\ +\left({\delta }_C\left(x_0\right)+{\delta }_C^{\ast }\left(p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\right)-\langle p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast },x_0\rangle \right)=0.\end{array}$

由(2.2)式可得 ${\bar{y}}^{\ast }\in \partial \left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)$， ${\bar{z}}^{\ast }\in {\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)\left(x_0\right)}$， $p-{\bar{y}}^{\ast }-{\bar{z}}^{\ast }\in \partial {\delta }_C\left(x_0\right)$。因此，(3.5)式成立。证毕。

定理5.1 设 $x_0\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，则以下命题等价：

(i) 系统 $\left\{f,\phi ,{\delta }_C;h_t:t\in H\right\}$在 $x_0$点满足松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件。

(ii) 对任意的 $p\in X^{\ast }$， $x_0$是问题 $\left(R{P}_P\right)$的最优解当且仅当存在 $\bar{H}\in \mathscr{H}$， $\bar{\mu }\in {ℝ}_{+}^{\left(\bar{H}\right)}$， ${\bar{v}}_{\bar{H}}\in V_{\bar{H}}$， $\bar{\beta }\in \partial f\left(\phi \left(x_0\right)\right)$使得 ${\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t\partial h_t\left(x_0,{\bar{v}}_t\right)}=0$且

$p\in \partial \left(\bar{\beta }\phi \right)\left(x_0\right)+\partial {\delta }_C\left(x_0\right)+{\displaystyle \underset{t\in \bar{H}}{\sum }{\bar{\mu }}_t\partial h_t\left(\cdot ,{\bar{v}}_t\right)}\left(x_0\right).$

证明 由(2.3)式知，(ii)等价于

$0\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A-p\right)\left(x_0\right)\iff p\in \Phi \left(x_0\right),\forall p\in X^{\ast },$

即

$p\in \partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x_0\right)\iff p\in \Phi \left(x_0\right),\forall p\in X^{\ast }.$

显然，上式与(3.4)式等价，因此，(i) $\iff$(ii)。证毕。

定理5.2 以下命题等价。

(i)

$N_A\left(x\right)=N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right),\forall x\in X.$(5.1)

(ii) 若存在 $x\in X$使得f和 $\phi$分别在 $\phi \left(x\right)$和x处连续且 $x_0\in A$为问题(RP)的最优解，则

$\left(f\circ \phi \right)\left(x_0\right)=\underset{\begin{array}{l}\left(H,\mu ,v_H,\beta ,y^{\ast },z^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}\\ \times V_H\times \text{dom}{f}^{\ast }\times X^{\ast }\times X^{\ast }\end{array}}{\max }\left\{-f^{\ast }\left(\beta \right)-{\left(\beta \phi \right)}^{\ast }\left(y^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)-{\delta }_C{}^{\ast }\left(-y^{\ast }-z^{\ast }\right)\right\}.$(5.2)

(iii) 对任意的 $p\in X^{\ast }$，若 $x_0\in A$为 $p(\cdot )$在集合A上的最小值点，则

$p\left(x_0\right)=\underset{\left(H,\mu ,v_H,z^{\ast }\right)\in \mathscr{H}\times {ℝ}_{+}^{\left(H\right)}\times V_H\times X^{\ast }}{\max }\left\{-{\delta }_C^{\ast }\left(p-z^{\ast }\right)-{\left({\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(\cdot ,v_t\right)}\right)}^{\ast }\left(z^{\ast }\right)\right\}.$(5.3)

证明 (i) $\Rightarrow$(ii) 假设(i)成立且设 $\bar{x}\in X$使得f和 $\phi$分别在 $\phi \left(\bar{x}\right)$和 $\bar{x}$处连续，则由引理2.1知，对任意的 $x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)=\partial \left(f\circ \phi \right)\left(x\right)+N_A\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_A\left(x\right).$

由 式可得，对任意的 $x\in A\cap {\phi }^{-1}\left(\text{dom}f\right)$，

$\partial \left(f\circ \phi +{\delta }_A\right)\left(x\right)=\underset{\beta \in \partial f\left(\phi \left(x\right)\right)}{\cup }\partial \left(\beta \phi \right)\left(x\right)+N_C\left(x\right)+\underset{\begin{array}{l}H\in \mathscr{H},\mu \in {ℝ}_{+}^{\left(H\right)},v_H\in V_H\\ {\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t{h}_t\left(x,v_t\right)=0}\end{array}}{\cup }{\displaystyle \underset{t\in H}{\sum }{\mu }_t\partial h_t\left(\cdot ,v_t\right)}\left(x\right),$

再由注3.1得，松弛型 ${\left(BCQ\right)}_f$条件成立。于是，由定理4.1可得(5.2)式成立。

(ii) $\Rightarrow$(iii) 假设命题(ii)成立。设 $p\in X^{\ast }$，则 $\text{dom}{p}^{\ast }=\left\{p\right\}$。从而由定理4.1的命题(ii) ( $\left\{p,{\text{Id}}_X\right\}$替代 $\left\{f,\phi \right\}$)易知(5.3)式成立。

(iii) $\Rightarrow$(i) 假设命题(iii)成立，则由定理4.1的(ii) $\Rightarrow$(i) $\left(f=\phi =0\right)$可得(5.1)式成立。证毕。

^*通讯作者。