GM灰色系统模型是一种基于灰色系统理论的预测和分析方法。灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授提出的，旨在解决那些部分信息已知、部分信息未知或不确定的小样本、贫信息系统问题。GM灰色系统模型通过挖掘和利用系统内部已知的信息，建立差分微分方程来描述系统的动态行为，并据此进行预测和决策分析。该模型在处理数据量较少、信息不完全的复杂系统时，展现出了较高的预测精度和实用性，因此在经济、社会、环境等多个领域得到了广泛应用。在预测分析方面，GM灰色系统模型特别适用于那些具有非线性、非平稳特征的数据序列，能够较为准确地捕捉和预测系统的变化趋势和发展规律。

GM(1,1)模型是最简单的灰色系统模型，其基础是常微分方程的解析解，GM(1,1)微分方程直接求解的建立过程如下：

假设有一个变量x(t)是时间变量t的函数，它满足一阶常微分方程条件：

$\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}+ax\left(t\right)=b$ (1)

这里，参数a和b是两个常系数。假设参数C是任意常数，那么，该微分方程的解析解或者通解为：

$x\left(t\right)=\frac{b+{\text{e}}^{a\left(C-t\right)}}{a}$ (2)

如果x(t)有一个初值，在t = 0时，初值为x(0)，那么，x(0)也满足这个解，因此，参数C满足关系式：

${\text{e}}^{aC}=ax\left(0\right)-b$ (3)

代入微分方程的通解，就有：

$x\left(t\right)=\frac{b}{a}+\left(x\left(0\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-at}$ (4)

该函数具有指数函数的特征，由于其对于参数a和b的依赖性很强，而参数a和b又是未知的，且在正常情况下不易估计，因此，该模型也被称为灰色系统。由于只有一个变量 x(t)，且是一阶微分，所以记为GM(1,1)。

设原始数据离散序列为：

$x^{\left(0\right)}=\left\{x_0^{\left(0\right)},x_1^{\left(0\right)},\cdots ,x_{n-1}^{\left(0\right)}\right\}\left(n\ge 3;x_k^{\left(0\right)}\ge 0;k=0,1,\cdots ,n-1\right)$ (5)

一次累加后得到如下序列：

$x^{\left(1\right)}=\left\{x_0^{\left(1\right)},x_1^{\left(1\right)},\cdots ,x_{n-1}^{\left(1\right)}\right\}\left(n\ge 3;x_k^{\left(1\right)}\ge x_{k-1}^{\left(1\right)};k=1,2,\cdots ,n-1\right)$ (6)

$x_k^{\left(1\right)}={\displaystyle {\sum }_{i=0}^k{x}_i^{\left(0\right)}}\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$ (7)

生成x(1)的近邻均值等权序列：

$z^{\left(1\right)}=\left\{z_1^{\left(1\right)},z_2^{\left(1\right)},\cdots ,z_{n-1}^{\left(1\right)}\right\}\left(n\ge 3;k=1,2,\cdots ,n-1\right)$ (8)

$z_k^{\left(1\right)}=\frac{1}{2}\left(x_k^{\left(1\right)}+x_{k-1}^{\left(1\right)}\right)$ (9)

一阶微分方程求解过程转化如下：

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\text{d}t}+a{x}^{\left(0\right)}\left(t\right)=b$ (10)

其中：a，b为待定参数，然后运用最小二乘法求解可得：

${\left(a,b\right)}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{Y}_N$ (11)

$B=\left[\begin{array}{cc}-z_1^{\left(1\right)}& 1\\ -z_2^{\left(1\right)}& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z_{n-1}^{\left(1\right)}& 1\end{array}\right],Y_N=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\\ x_2^{\left(0\right)}\\ ⋮\\ x_{n-1}^{\left(0\right)}\end{array}\right]$ (12)

求解a，b后，进而得出方程的时间响应式：

${\hat{x}}_k^{\left(1\right)}=\left(x_1^{\left(0\right)}-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}+\frac{b}{a}$ (13)

${\hat{x}}_k^{\left(0\right)}={\hat{x}}_k^{\left(1\right)}-{\hat{x}}_{k-1}^{\left(1\right)}$ (14)

GM(2,1)和GM(1,1)的区别在于GM(2,1)是二阶常微分方程，GM(1,1)为一阶常微分方程，GM(2,1)微分方程模型建立过程如下：

假设变量x(t)是关于时间t的二阶常微分方程的解，满足条件：

$\frac{{\text{d}}^{2}x\left(t\right)}{\text{d}{t}^2}+a\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}+bx\left(t\right)=0$ (15)

则该微分方程的通解为：

$x\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{\frac{\left(-a-\sqrt{a^2-4b}\right)t}{2}}+C_2{\text{e}}^{\frac{\left(-a+\sqrt{a^2-4b}\right)t}{2}}$ (16)

为了编程方便，我们对该关系式予以简化：

$x\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{mt}+C_2{\text{e}}^{nt}$ (17)

这里，存在关系式：

$m=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$ (18)

$n=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$ (19)

$C_1=\frac{x\left(0\right){\text{e}}^n-x\left(1\right)}{{\text{e}}^n-{\text{e}}^m}$ (20)

$C_2=\frac{x\left(1\right)-x\left(0\right){\text{e}}^n}{{\text{e}}^n-{\text{e}}^m}$ (21)

对于GM(1,1)模型通解而言，由于其具有指数函数特点，且只有a，b两个参数，适用于最小二乘法，本文运用python中的Curve-Fit函数进行拟合求解， 图1 为GM(1,1)模型通解数据拟合效果图：

由于在预测时，进行了5次拟合，各拟合结果相关参数如下 表2 所示：

在所有五次观测中，参数a的值均为−0.08，而参数b的值均为171.9。模型的拟合效果极佳，表现为R_Square值接近1 (在0.9708至0.970826之间)，同时R_Square_Sqrt和Adjusted R_Square也保持了高水平。结合各参数该模型为：

$x\left(t\right)=\frac{171.9}{-0.08}+\left(x\left(0\right)+\frac{171.9}{0.08}\right){\text{e}}^{0.08t}$ (22)

通过模型拟合生成结果我们可知福清市的人均GDP在预测期间即23至27年内呈现出稳步增长的趋势。从2023年的121381.11元增长到2027年的预测值约169611.84元，显示了其经济持续增长的态势，其结果如 表3 ：

邓聚龙解是将原来离散序列x(0)的一阶微分方程的求解过程转化成了对其一次累加序列x(1)和x(0)的一阶微分方程，从而最终通过线性代数来求解的一个线性矩阵方程，获得参数(a, b)的估计值。本文仅运用邓聚龙解拟合一次，其参数为[a, b] = [−0.0868, 16135.4527]。这与采用通解算的参数值完全不同，两者不同的主要原因有两方面，一是算法不同，通解所采用的为最小二乘法，而邓聚龙解采用的是线性矩阵乘法；二是样本不同，通解所计算的为原始数据样本，而邓聚龙解所计算的是经过处理后的一次累加序列样本。结合各参数，该模型为：

${\hat{x}}_k^{\left(1\right)}=\left(x_1^{\left(0\right)}-\frac{16135.4527}{-0.0868}\right){\text{e}}^{0.0868\left(k-1\right)}-\frac{16135.4527}{0.0868}$ (23)

图2 为GM(1,1)邓聚龙解模型的数据拟合效果图：

本文同样进行了五次拟合，模型的拟合效果通过R_Square (决定系数)来评估，其值为0.928588表明模型能够解释数据中约92.86%的变异。进一步地，Adjusted R_Square (调整后的决定系数)为0.925考虑到模型中的变量数量后，模型的效果仍然相当好。该模型在解释数据变异和进行预测方面具有良好的表现。所得指标如 表4 ：

通过模型拟合生成结果我们可知福清市的人均GDP在预测期间即23至27年内也呈现出稳步增长的趋势。

如 表5 所示是邓聚龙解所预测的后五年数据：

经过对比灰色模型通解进行福清市人均GDP预测的数据比较分析，我们发现两者都呈现出人均GDP逐年增长的趋势，但具体的预测数值存在一定差异。灰色模型邓聚龙方法进行预测的，预测值从2023年的113900.877万元逐年递增至2027年的161154.863万元，显示了相对稳定的增长态势。灰色模型通解进行预测的，其给出的预测值范围较为宽泛，但同样显示出人均GDP逐年上升的趋势。在相同的年份下，灰色模型通解的预测值范围通常高于灰色模型邓聚龙的预测值，这反映了不同模型在处理数据和预测未来趋势时的差异，邓聚龙解所拟合的预测的增长速度较为保守。

同样地，本文将模型循环拟合5次，并生成如 图3 所示的拟合图形。

通过Curve-Fit函数得到的20组拟合参数发现，目标参数a，b完全不能收敛到同一组值，类似的m参数的取值也不同。但是，参数k，C₁，C₂在20组中有多组保持一致，且不一致值都近似相等，并未出现太大偏差，故说明说明尽管a，b，m不是收敛的，但k，C₁，C₂的值是收敛的。因为R的平方值都相同，故本文选取以第一次拟合结果为例，其拟合效果良好，具体模型如下：

$x\left(t\right)=689.2518{\text{e}}^{-480.0573t}+15763.748{\text{e}}^{0.0898t}$ (24)

运行得到参数结果如 表6 。

优化解决对数据的预测如 表7 。

优化解在预测值上与通解模型较为接近，但整体预测值略高于通解模型。优化解在预测时可能采用了更为精细的算法或考虑了更多的影响因素，从而得到了更高的预测值。与邓聚龙模型相比，优化解的预测值也呈现出更高的水平。