图的完美匹配的强迫数与反强迫数等价于多环共轭分子的凯库勒结构的内、外自由度。Klein和Randić [1] [2] 在研究分子共振结构时发现分子的一个凯库勒结构可以由固定的部分双键来确定，而所需的最少的双键的个数称作这个凯库勒结构的内自由度。Harary和Klein [3] 称其为图的完美匹配的强迫数。Hansen等 [4] 和张福基等 [5] 分别用不同的方法独立的刻画了具有强迫边的六角系统。P. Adams等 [6] 定义了图的强迫谱 $Spe{c}_f\left(G\right)$。张和平等 [7] 在刻画图的所有完美匹配的强迫数时定义了图的强迫多项式。李学良 [8] 从匹配强迫的对立面出发刻画了具有反强迫边的六角系统。Vhukičević和Trinajstić [9] 进而提出了图的反强迫数，他们同时得到了平行四边形六角系统的反强迫数，并在之后计算了cata-型六角系统的反强迫数。张和平等 [10] 首次提出了完美匹配的反强迫数的概念，并给出了图的反强迫谱，还指出Vhukičević和Trinajstić给出的反强迫数实际上是完美匹配的最小反强迫数，H. Hwang和张和平等 [11] 引入了反强迫多项式的概念并给出了图的反强迫谱 $Spe{c}_{af}\left(G\right)$的定义，如今，一些图类的强迫多项式和反强迫多项式得到了精确的计算结果，例如cata-型六角系统 [7] [12] ，平行四边形六角系统 [13] ，特殊格子图 [14] ，芘系统 [15] ，还有一些富勒烯图 [16] - [18] 。

2022年，刘雨童，马聪聪，姚海元等 [19] 首次提出了能够同时刻画图的完美匹配的强迫数和反强迫数的二元计数多项式——图的双强迫多项式。马聪聪 [20] 首先计算了C₆₀的反强迫多项式，之后刘雨童 [21] 计算了C₆₀的1812个同分异构体的双强迫多项式并研究了C₆₀的强迫谱和反强迫谱的连续性等性质。韩慧等 [22] 计算并给出了梯子图的双强迫多项式的递推公式及阶数小于60的富勒烯图的所有双强迫多项式 [23] 。王彦通 [24] [25] 计算得到了循环梯状图的和Mӧbius梯状图的双强迫多项式的递推公式与生成函数。

相比于图的强迫多项式，图的反强迫多项式尤其是双强迫多项式的计算更为复杂。对于给定数目的苯环生成的六角系统的强迫多项式，反强迫多项式和双强迫多项式的计算，随着苯环数目的增加计算难度也随之上升。目前刘乙瑾等 [26] 仅计算得到了六个苯环生成的六角系统的强迫多项式。在此基础上，本文计算了所有苯环数目不超过六的六角系统的双强迫多项式，并得到了它们的反强迫多项式，并发现文献 [26] 中H₁₉，H₂₀，H₂₁，H₂₂，H₂₃的强迫多项式计算有误，本文已给出正确结果。

有限简单图G是指一个有序的二元组 $\left(V\left(G\right),E\left(G\right)\right)$，其中有限集 $V\left(G\right)$和 $E\left(G\right)$分别表示的G顶点集和边集。如果图G的一个边子集 $M\subseteq E\left(G\right)$中任意两条边都不邻接，那么称M为图G的一个匹配。图G完美匹配是指两两无公共端点且关联G中所有顶点的匹配。设M为图G的一个完美匹配美，若M的子集S不包含在G的其他任何完美匹配中，则称S为M的强迫集。M的最小强迫集的大小称作M的强迫数，记为 $f\left(G,M\right)$。图G中所有完美匹配的强迫数之和称为G的内自由度，记为 $IDF\left(G\right)$。图G中所有完美匹配的强迫数的最小值和最大值，分别叫做G (最小)强迫数和最大强迫数。分别记为 $f\left(G\right)$和 $F\left(G\right)$。设 $S^{\prime }\subseteq E\left(G\right)\backslash M$，若M是 $G\backslash S^{\prime }$中唯一的完美匹配，则称 $S^{\prime }$为M的反强迫集。其中 $G\backslash S^{\prime }$表示从图G中删除边集合 $S^{\prime }$中后剩余的支撑子图。M的最小反强迫集的大小称作M的反强迫数，记为 $af\left(G,M\right)$。图G中所有完美匹配的反强迫数之和称为G的外自由度，记为 $ADF\left(G\right)$。图G中所有完美匹配的反强迫数的最小值和最大值，分别叫做G的(最小)反强迫数和最大反强迫数。分别记为 $af\left(G\right)$和 $Af\left(G\right)$。

设M为图G的一个完美匹配，如果图G中的一个圈C的边交替地出现在M和 $E\left(G\right)\backslash M$中，则称C是M-交错圈。设 $\mathcal{A}$为M-交错圈的集合，若 $\mathcal{A}$中任意两个M-交错圈不交或独立，则称 $\mathcal{A}$为不交M-交错圈集。若 $\mathcal{A}$中任意两个M-交错圈不交或仅相交于M中的边，则称 $\mathcal{A}$为相容M-交错圈集。记 $c\left(M\right)$为图G中最大不交M-交错圈集的大小，记 $c^{\prime }\left(M\right)$为图G中最大相容M-交错圈集的大小。设A和B是两个集合，则A和B作对称差可以定义为 $A\oplus B=\left(A\cup B\right)\backslash \left(A\cap B\right)$。

若图G不能通过去掉少于k个顶点而分成两个分支，则称G是k-连通的。若 $X\subseteq V\left(G\right)$中任意两个顶点都不相邻，则称X是图G的一个独立集。如果图G的顶点集可划分成两个非空的独立集，则称G是二部图。若图G可以画在平面上使得G的任意两条边不相交或只在它们的端点处相交，则称G是可平面图。这样的画法称为G的平面嵌入。平面图是某个可平面图的平面嵌入。设G是一个平面图，将G从平面上删除之后得到一些连通区域，这些区域称作G的面，其中唯一一个无限区域称作G的外面，G的外面的边界，记为 $\partial \left(G\right)$，其他区域称作G的内面，内面边界称作G的面圈。

引理1 [6] 设M为图G的一个完美匹配，则 $S\subseteq M$是M的强迫集当且仅当S包含G的每个M-交错圈的至少一条(匹配)边。

引理2 [11] 设M为图G的一个完美匹配，则 $S^{\prime }\subseteq E\left(G\right)\backslash M$是M的反强迫集当且仅当 $S^{\prime }$包含G的每个M-交错圈的至少一条(非匹配)边。

引理3 [27] 设M为图G的一个完美匹配，则 $f\left(G,M\right)\ge c\left(M\right)$。若图G是平面二部图，则 $f\left(G,M\right)=c\left(M\right)$。

引理4 [11] 设M为图G的一个完美匹配，则 $af\left(G,M\right)\ge c^{\prime }\left(M\right)$。若图G是平面二部图，则 $af\left(G,M\right)=c^{\prime }\left(M\right)$。

强迫多项式和反强迫多项式分别是图G关于所有完美匹配的强迫数和反强迫数的计数多项式。

定义1 [7] 图G的强迫多项式：

$F\left(G,x\right)=\underset{M\in ℳ\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}{x}^{f\left(G,M\right)}=\underset{i=f\left(G\right)}{\overset{F\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}}\omega \left(G,i\right)x^i,$(1)

其中 $\omega \left(G,i\right)$是G的强迫数为i的完美匹配的个数。

定义2 [11] 图G的反强迫多项式：

$Af\left(G,y\right)=\underset{M\in ℳ\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}{y}^{af\left(G,M\right)}=\underset{i=af\left(G\right)}{\overset{Af\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}}v\left(G,i\right)y^i,$(2)

其中 $v\left(G,i\right)$是G的反强迫数为i的完美匹配的个数。

图G的双强迫多项式是能够同时刻画G的所有完美匹配的强迫数和反强迫数的一个二元计数多项式。

定义3 [19] 图G的双强迫多项式：

$Faf\left(G;x,y\right)=\underset{M\in ℳ\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}{x}^{f\left(G,M\right)}{y}^{af\left(G,M\right)}=\underset{i,j}{{\displaystyle \sum }}\mu \left(G;i,j\right)x^i{y}^j,$(3)

其中 $\mu \left(G;i,j\right)$是G的强迫数为i，反强迫数为j的完美匹配的个数。

推论1 [19] 图G的双强迫多项式的性质：

(1) $Faf\left(G;x,1\right)=F\left(G;x\right)$；

(2) $Faf\left(G;1,y\right)=Af\left(G;y\right)$；

(3) $Faf\left(G;1,1\right)=\Phi \left(G\right)$，其中 $\Phi \left(G\right)$表示G的完美匹配的个数；

(4) ${\frac{\partial }{\partial x}Faf\left(G;x,y\right)|}_{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}=IDF\left(G\right)$，其中 $IDF\left(G\right)$表示G的内自由度；

(5) ${\frac{\partial }{\partial y}Faf\left(G;x,y\right)|}_{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}=ADF\left(G\right)$，其中 $ADF\left(G\right)$表示G的外自由度。

图G在其自同构群作用下，所有的完美匹配被划分为不同的等价类。而在每个等价类中选出一个完美匹配，就构成了G的完美匹配的一个相异代表系。又因为在每一个等价类中的完美匹配的强迫数和反强迫数都是相同的，所以双强迫多项式的另一表达为：

推论2 [19] 设图G的完美匹配等价类的相异代表系构成的集合为 $ℛ\left(G\right)$，包含完美匹配M的等价类的大小为 $s\left(M\right)$，则有：

$Faf\left(G;x,y\right)=\underset{M\in ℛ\left(G\right)}{{\displaystyle \sum }}s\left(M\right)x^{f\left(G,M\right)}{y}^{af\left(G,M\right)}.$(4)

六角系统是一个2-连通的有限平面二部图，其中每个内面边界都是全等的正六边形。一个六角系统可分为cata-型和peri-型这两类。构造六角系统H的内对偶图 $T\left(H\right)$， $T\left(H\right)$以H中六角形的中心为顶点， $T\left(H\right)$的两顶点相邻当且仅当它们对应的六角形有公共边。如果 $T\left(H\right)$是树，那么称H为cata-型六角系统，若 $T\left(H\right)$不是树，即在H中只要有三个六角形相邻，则H是peri-型六角系统。

在苯类碳氢化合物的研究中，如果将碳原子看做顶点，碳原子之间的键看做边，并忽略氢原子和碳氢键，那么就得一个碳氢化合物的碳原子骨架或分子图。苯类碳氢化合物的碳原子骨架图可以表示为六角系统，其中的碳碳双键就是一个凯库勒结构(即完美匹配)。而一个六角系统可以对应一个苯类碳氢化合物当且仅当它有完美匹配 [28] 。

由给定数目的六角形生成的不同构的六角系统有完美匹配的计数问题，就等价于给定数目的苯环生成苯类碳氢化合物同分异构体的计数问题，该计数问题目前仍然是公开的 [29] [30] 。六角形数目不超过六的六角系统有115个，其中有完美匹配的有76个(等价于苯环生成的六角系统)，没有完美匹配的有39个。先介绍一种数学记法，用H_m-n表示不同的六角系统，其中m表示六角形的个数，n表示m个六角形生成的不同构的六角系统的编号。例如H_6-18表示六个六角形生成的第18号六角系统，由于一个六角形和两个六角形生成的六角系统是唯一的，所以直接记为H₁和H₂。 表1 是六个及六个以下六角形生成的不同构的六角系统的计数汇总，其中cata-型和有完美匹配的peri-型的六角系统可以求其双强迫多项式。

由于cata-型六角系统无内部顶点，其所有顶点都在外面边界上，又因为六角系统是平面二部图，显然它的外面边界是一个偶长Hamilton圈，必然包含一个完美匹配。因此得如下命题。

命题1 cata-型六角系统都有完美匹配。

但是peri-型六角系统是否也都有完美匹配，目前仍无好的判断方法，文献 [30] 给出的用六角系统2-染色顶点集大小的差不等于0判断peri-型六角系统无完美匹配是一个必要条件。本文给出一个更简单的判断peri-型六角系统无完美匹配的必要条件。

命题2 若peri-型六角系统内部点个数为奇数，则该peri-型六角系统无完美匹配。

证 设H是由n个六角形生成的不同构的peri-型六角系统，由于H是平面二部图，所以H的外面边界必然是偶圈，当有一个饱和外面边界顶点的完美匹配时，内部的奇数个3度点不能被饱和。当有一个饱和内部的奇数个顶点的匹配时，则边界圈上剩余的奇数个顶点也无法被饱和，因此命题成立。

图1 给出了苯环数目不超过五的六角系统，其中peri-型六角系统为H_4-7，H_5-13，H_5-14，H_5-13其余的都是cata-型六角系统。六个苯环生成的六角系统已有文献 [26] 给出，本文对其重新编号并给出了六角形数目不超过六的无完美匹配的六角系统(见 附录图1 ， 附录图2 )。

目前计算图的双强迫多项式的方法有两种：穷举法和整数线性规划法。穷举法简单直接但耗时，这里我们根据文献 [19] [20] 给出的整数线性规划法用计算机软件Mathematica直接计算得到苯环数目不超过六的六角系统的双强迫多项式。下面先介绍求解双强迫多项式的整数线性规划法。

首先生成图G的所有M-交错圈，例如，用一个完美匹配M和其他完美匹配依次作对称差，从而收集所有的连通分支，得到的每个连通分支必是一个M-交错圈。

令 $M=\left(m_{ij}\right)$是一个 $l\times m$的矩阵，其中l表示的是M-交错圈的数目，M的每个行向量 $\left\{m_{i1},m_{i2},\cdots ,m_{im}\right\}$对应于一个M-交错圈 $C_i$的0-1关联向量， $m_{ij}=1$当且仅当 $e_j\in C_i\cap M$， $i=1,2,\cdots ,l$， $j=1,2,\cdots ,m$。称M为完美匹配M的强迫系数矩阵。令 $b={\left(1,1,\cdots ,1\right)}^{\text{T}}$， $c={\left(1,1,\cdots ,1\right)}^{\text{T}}$，其b的维数为l，c的维数为m。因此有整数线性规划(ILP)：

$\begin{array}{l}\left(ILP\right):\min c^{\text{T}}x,\\ \text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}Mx\ge b,\\ x\in {\left\{0,1\right\}}^m.\end{array}\end{array}$(5)

(ILP)的最优解恰好就是M的强迫数，最优解x就是最小强迫集S的关联向量，即 $e_i\in S$当且仅当 $x_i=1$。如果在交错圈上非匹配边的位置上写1，其他位置写0，即 $m_{ij}=1$当且仅当 $e_j\in C_i\backslash M$， $i=1,2,\cdots ,l$， $j=1,2,\cdots ,m$。得到矩阵 $M^{\prime }$称为M的反强迫系数矩阵，则上面的(ILP)得到的解 $c^{\text{T}}{x}^{\prime }$就是完美匹配M的反强迫数。因此通过推论2就可以得到图G的双强迫多项式了。

下面以六角系统H_6-49为例，求解其双强迫多项式。H_6-49有9个完美匹配(见 图2 ，蓝色边表示匹配边)，根据其对称性这个9个完美匹配被划分为6个等价类：M₁，M₂，M₃，M₄，M₆，M₈，分别求出M₁，M₂，M₃，M₄，M₆，M₈的强迫系数矩阵和反强迫系数矩阵，通过求解(ILP)，得到这6个匹配等价类的强迫数与反强迫数，我们用图示表示M₁，M₂，M₃，M₄，M₆，M₈的强迫集和反强迫集(见 图3 ，f表示强迫边，af表示反强迫边)。则容易得到H_6-49的双强迫多项式为：

$Faf\left(H_{6\text{-}49};x,y\right)=x^2{y}^4+4x^2{y}^3+4x^2{y}^2.$

类似上述例子，通过计算机求解(ILP)，再利用推论2.2，可以得到所有苯环数目不超过六的六角系统的双强迫多项式(见 表2 和 表3 )。

图3. H_6-49的6个匹配等价类的最小强迫集和最小反强迫集

根据以上结果可以得到下面同一括号内六角系统的双强迫多项式相等：{H_4-3, H_4-4},{H_5-4, H_5-5}，{H_5-6, H_5-7}，{H_5-8, H_5-9, H_5-10}，{H_6-4, H_6-5}，{H_6-6, H_6-7}，{H_6-8, H_6-9}，{H_6-10, H_6-11}，{H_6-13, H_6-14, H_6-15, H_6-16}，{H_6-17, H_6-18, H_6-19, H_6-20}，{H_6-21, H_6-22, H_6-23, H_6-24, H_6-25}，{H_6-26, H_6-27}，{H_6-31, H_6-32, H_6-33}，{H_6-35, H_6-36}，{H_6-44, H_6-45}。

再由双强迫多项式的性质，直接得到苯环数目不超过六的六角系统的强迫多项式和反强迫多项式(见 附录表1 )，文献 [26] 中H₁₉，H₂₀，H₂₁，H₂₂，H₂₃的强迫多项式计算有误，在本文中对应H_6-25，H_6-20，H_6-21，H_6-22，H_6-23，正确的计算结果参照 附录表1 。

由双强迫多项式定义可知，确定个数的苯环生成的不同构的六角系统的双强迫多项式相等，则其强迫多项式和反强迫多项式对应相等。因此，上面同一括号内六角系统的强迫多项式相等反强迫多项式也相等。除此之外以下同一括号内强迫多项式也相同{H_5-2, H_5-13}，{H_6-4, H_6-5, H_6-38}，{H_6-6, H_6-7, H_6-40}，{H_6-12, H_6-41}，{H_6-13, H_6-14, H_6-15, H_6-16, H_6-30}，{H_6-42, H_6-43}，同样地除上述外，H_6-37，H_6-40的反强迫多项式也相等。由此可知三种多项式可以用来区分六角系统，下面列表(见 表4 )给出三种多项式对图的区分情况。(其中打勾的表示能够区分图，打差的表示不能区分图)，由汇总结果可知双强迫多项式能够区分37个苯环数目不超过六的六角系统，反强迫多项式能够区分35个苯环数目不超过六的六角系统，强迫多项式能够区分28个苯环数目不超过六的六角系统，因此双强迫多项式苯环数目不超过六的六角系统的区分度最高。

下面用苯环数目不超过六的六角系统的双强迫多项式与强迫多项式和反强迫多项式之间的相等关系构造三种多次式在相等关系下的生成图(见 图4 )，其中用黄色边相连表示两个六角系统之间的强迫多项式相等，蓝色边相连表示两个六角系统之间的反强迫多项式相等，黑色边相连表示两个六角系统之间的双强迫多项式相等。

图4 表明了苯环数目不超过六的六角系统的双强迫多项式与强迫多项式和反强迫多项式之间的相等关系构成了19个连通分支，而有黑色边相连(双强迫多项式相等)必有黄色边和蓝色边相连(强迫多项式和反强迫多项式对应相等)，并且当只有黄色边相连(强迫多项式对应相等)或蓝色边相连(反强迫多项式对应相等)时一定不会出现黑色边相连(双强迫多项式相等)，因此是否会有蓝色和黄色边同时相连(强迫多项式和反强迫多项式对应相等)一定会有黑色边相连(双强迫多项式相等)，就目前得出的结果，这个答案是肯定的。由于给定数目的苯环生成的六角系统的计数与图结构目前仍然是公开的，对于更大数目的苯环生成的六角系统是否有这样的结果是一个值得研究的问题。

国家自然科学基金(12161081)。