1、理想模型

若地震波以脉冲 $b\delta \left(t\right)$形式激发，经过地层时无吸收、透射和多次反射等因素的影响，而且整个传播过程不存在随机干扰，检波器记录下地表质点随时间的振动图像，即地震记录或者地震道

$x\left(t\right)=b\left(t\right)\ast \xi \left(t\right)$(1)

这里*表示褶积运算， $x\left(t\right)$为地震记录， $\xi \left(t\right)$为反射系数序列， $b\left(t\right)$指的是地震子波。这时得到的实际上是反射系数序列，同实际的地震记录相比，具有更高的分辨率，高频信息更加丰富[2]。

2、实际模型

实际地震记录由有效波 $s\left(t\right)$和干扰波 $n\left(t\right)$组成。且有

$x\left(t\right)=s\left(t\right)+n\left(t\right)$(2)

这里的有效波主要指一次反射波，一次反射波可由以下褶积模型表示。

$s\left(t\right)=b\left(t\right)\ast \xi \left(t\right)$(3)

反褶积主要通过数学方法，提高地震记录分辨率，从而更加接近反射系数剖面，得到地下介质精确的物理性质与结构。在假设地震记录不含干扰的情况下，由(2)、(3)两式可得：

褶积过程： $x\left(t\right)=b\left(t\right)\ast \xi \left(t\right)$。

对应频率域形式滤波过程： $X\left(\omega \right)=b\left(\omega \right)\Xi \left(\omega \right)$。

令

$A\left(\omega \right)=\frac{1}{B\left(\omega \right)}$

则可得到反滤波过程： $\Xi \left(\omega \right)=A\left(\omega \right)X\left(\omega \right)$。

写成时间域形式反褶积过程： $\xi \left(t\right)=a\left(t\right)\ast x\left(t\right)$。

1、反褶积结果存在多解性

对于反褶积方程 $\xi \left(t\right)=a\left(t\right)\ast x\left(t\right)$，一般情况下只有地震记录 $x\left(t\right)$已知的。而另外两个函数是未知的，因此存在多样解。

2、分辨率与信噪比相互制约

反褶积的目的是得到反射系数(频谱很宽，接近白谱)。但是实际的地震资料不可能没有噪音，反褶积把分辨率提高的同时，把有些频段(高频段和低频段)的噪声也放大了，使信噪比下降。采用均方根误差(Root Mean Square Error, RMSM)来衡量反褶积效果 [15]

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{nt\times nx}\underset{i=1}{\overset{nt}{{\displaystyle \sum }}}\underset{j=1}{\overset{nx}{{\displaystyle \sum }}}{\left({\xi }_{i,j}-{\hat{\xi }}_{i,j}\right)}^2}$(4)

式中， ${\hat{\xi }}_{i,j}$代表第i个采样点、第j道的真实反射系数，nt和nx分别代表采样点数和地震导数。RMSE越小，意味着反褶积效果越好 [16] 。

最佳维纳滤波通过滤波器实际输入与期望输出的误差平方和最小从而计算滤波因子。基本原理如下：

1、求解关系

输入信号： $x\left(t\right)=\left(x\left(0\right),x\left(1\right),\cdots ,x\left(n\right)\right)$

滤波因子： $h\left(t\right)=\left(h\left(0\right),h\left(1\right),\cdots ,h\left(m\right)\right)$

实际输出：

$y\left(t\right)=h\left(t\right)\ast x\left(t\right)=\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\ast x\left(t-\tau \right)=\left(y\left(0\right),h\left(1\right),\cdots ,h\left(M\right)\right),M=m+n$

期望输出： $d\left(t\right)=\left(d\left(0\right),d\left(1\right),\cdots ,d\left(m\right),d\left(M\right)\right)$

输出误差： $e\left(t\right)=d\left(t\right)-y\left(t\right)$

误差能量：

$Q\left(t\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}{e}^2\left(t\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}{\left[d\left(t\right)-y\left(t\right)\right]}^2=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}{\left[\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\ast x\left(t-\tau \right)-d\left(t\right)\right]}^2$

为了求取合适的滤波因子 $h\left(t\right)$，采用最小平方法，即令误差平方和(总能量误差) Q为最小。这样，滤波因子的求解问题就转换为一个误差能量Q对滤波因子 $h\left(t\right)$求极值的问题。

将Q对滤波因子 $h\left(t\right)$求偏导，并令其等于零

$\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial h\left(s\right)}=\frac{\partial }{\partial h\left(s\right)}\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}{\left[\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\ast x\left(t-\tau \right)-d\left(t\right)\right]}^2\\ =\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}\frac{\partial }{\partial h\left(s\right)}{\left[\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\ast x\left(t-\tau \right)-d\left(t\right)\right]}^2\\ =2\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}\left[\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\ast x\left(t-\tau \right)-d\left(t\right)\right]x\left(t-s\right)=0\end{array}$

由此得出

$\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}h\left(\tau \right)\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}x\left(t-\tau \right)x\left(t-s\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}d\left(t\right)x\left(t-s\right)\left(s=0,1,\cdots ,m\right)$

令

$r_{xx}\left(\tau -s\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}x\left(t-\tau \right)x\left(t-s\right)$

$r_{dx}\left(s\right)=\underset{\tau =0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}d\left(t\right)x\left(t-s\right)$

即有

$\underset{\tau =0}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}{r}_{xx}\left(\tau -s\right)x\left(t-s\right)=r_{dx}\left(s\right)$(5)

上式 $r_{xx}\left(\tau -s\right)$是延迟为 $\tau -s$的输入信号自相关， $r_{dx}\left(s\right)$是延迟为s的输入信号与期望输出的互相关。则上式可写成矩阵形式

$\left[\begin{array}{cccc}{r}_{xx}\left(0\right)& r_{xx}\left(1\right)& \cdots & r_{xx}\left(m\right)\\ r_{xx}\left(1\right)& r_{xx}\left(0\right)& \cdots & r_{xx}\left(m-1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{xx}\left(m\right)& r_{xx}\left(m-1\right)& \cdots & r_{xx}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\left(0\right)\\ a\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ a\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{dx}\left(0\right)\\ r_{dx}\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ r_{dx}\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]$(6)

通过(6)式，可以得到滤波因子 $a\left(t\right)$，再与输入信号 $x\left(t\right)$褶积，最后可得输出信号 $y\left(t\right)$上式中， $x\left(t\right)$自相关矩阵为Toeplitz矩阵。

将最佳维纳滤波原理应用于反褶积，即为最小平方反褶积。地震子波 $b\left(t\right)$相当于输入信号 $x\left(t\right)$，期待输出 $d\left(t\right)$可以是任意期望的波形。 $b\left(t\right)$未知，无法得知Toeplitz矩阵，下面推导子波自相关与地震道自相关的关系 [16] 。

褶积模型可以表示为： $x\left(t\right)=b\left(t\right)\ast \xi \left(t\right)$；

上式在频率域可以表示为： $X\left(\omega \right)=B\left(\omega \right)\Xi \left(\omega \right)$；

即有

${\left|X\left(\omega \right)\right|}^2={\left|B\left(\omega \right)\right|}^2{\left|\Xi \left(\omega \right)\right|}^2$

如果假设反射系数为白噪，其自相关函数为：

${\varphi }_{rr}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}e\left(t=0\right)\\ 0\left(t\ne 0\right)\end{array}$(t为常数)

则有 ${\left|X\left(\omega \right)\right|}^2=e{\left|B\left(\omega \right)\right|}^2$。

上式表明：地震道自相关函数与地震子波自相关系数相差一个比列系数e。e为常数，相当于在反滤波因子上乘以一个常数，因此可以用地震道自相关代替子波自相关。

反滤波因子 $a\left(t\right)$求解方程如下：

$\left[\begin{array}{cccc}{\varphi }_{xx}\left(0\right)& {\varphi }_{xx}\left(1\right)& \cdots & {\varphi }_{xx}\left(m\right)\\ {\varphi }_{xx}\left(1\right)& {\varphi }_{xx}\left(0\right)& \cdots & {\varphi }_{xx}\left(m-1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\varphi }_{xx}\left(m\right)& {\varphi }_{xx}\left(m-1\right)& \cdots & {\varphi }_{xx}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\left(0\right)\\ a\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ a\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\varphi }_{dx}\left(0\right)\\ {\varphi }_{dx}\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ {\varphi }_{dx}\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]$(7)

有一种特殊情况，当 $d\left(t\right)=\delta \left(t\right)$时

$\delta \left(t\right)=\{\begin{array}{l}1\left(t=0\right)\\ 0\left(t\ne 0\right)\end{array}$.

$r_{dx}\left(s\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}d\left(\tau \right)x\left(t-s\right)=\underset{t=0}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}\delta \left(\tau \right)x\left(t-s\right)=\{\begin{array}{l}b\left(0\right)s=0\\ 0s\ne 0\end{array}$

方程组可以进一步简化

$\left[\begin{array}{cccc}{r}_{xx}\left(0\right)& r_{xx}\left(1\right)& \cdots & r_{xx}\left(m\right)\\ r_{xx}\left(1\right)& r_{xx}\left(0\right)& \cdots & r_{xx}\left(m-1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{xx}\left(m\right)& r_{xx}\left(m-1\right)& \cdots & r_{xx}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\left(0\right)\\ a\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ a\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}b\left(0\right)\\ 0\\ \begin{array}{c}⋮\\ 0\end{array}\end{array}\right]$(8)

其中， $b\left(0\right)$为一个系数，这样求出的反子波来做反褶积处理，输出统一乘上了一个比例系数。因此上式可以化简为：

$\left[\begin{array}{cccc}{r}_{xx}\left(0\right)& r_{xx}\left(1\right)& \cdots & r_{xx}\left(m\right)\\ r_{xx}\left(1\right)& r_{xx}\left(0\right)& \cdots & r_{xx}\left(m-1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{xx}\left(m\right)& r_{xx}\left(m-1\right)& \cdots & r_{xx}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\left(0\right)\\ a\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ a\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ \begin{array}{c}⋮\\ 0\end{array}\end{array}\right]$(9)

因此，只要知道地震子波的自相关，即可求出反子波，在得出反褶积的输出，由于期待输出为 $\delta$脉冲，这种反褶积方式被称为脉冲反褶积。上式使用的前提条件是地震子波为最小相位子波，为了计算稳定，需要于柏华处理，给Toeplitz的对角线元素加上一个常数 $\lambda r_{xx}\left(0\right)$，可得

$\left[\begin{array}{cccc}\left(1+\lambda \right)r_{xx}\left(0\right)& r_{xx}\left(1\right)& \cdots & r_{xx}\left(m\right)\\ r_{xx}\left(1\right)& \left(1+\lambda \right)r_{xx}\left(0\right)& \cdots & r_{xx}\left(m-1\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{xx}\left(m\right)& r_{xx}\left(m-1\right)& \cdots & \left(1+\lambda \right)r_{xx}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\left(0\right)\\ a\left(1\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ a\left(m\right)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ \begin{array}{c}⋮\\ 0\end{array}\end{array}\right]$(10)

以上方程组可以看出， $\lambda$太小，对方程求取稳定解帮助不大， $\lambda$太大，反褶积的作用变小。特别地，当 $\lambda \to \infty$， $a\left(t\right)\to \delta \left(t\right)/c$，其中 $c=\left(1+\lambda \right)r_{xx}\left(0\right)$。这时反褶积输出就等于地震记录本身，反褶积根本不起作用。在实际操作中，白噪系数一般取0.5%~5%，最多不超过10%。

脉冲反褶积程序实现过程中应注意主要参数的选择：

(1) 反滤波算子长度的选择：

反滤波算子 $a\left(t\right)$的长度m理论上可以任意选择。在一个剖面上，可以通过试验来选择最佳的长度，但是通常情况下选择为与地震子波长度接近，一般为80~200 ms。同时，计算时根据地震数据的采样率换算为采样点数。

(2) 相关时窗长度的选择；时窗长度 $m+n$至少应大于反滤波算子长度m的两倍。

综上所述，实现脉冲反褶积主要有以下几个步骤：

选取合适的时间窗和地震道范围的地震数据，对每一道地震数据进行如 图1 步骤的处理：

脉冲反褶积需要假设子波为最小相位，并且反射系数为白噪。如果不满足条件，反褶积效果会不理想，进行脉冲反褶积过程中，提高分辨率的同时会降低信噪比。稀疏脉冲反褶积对地震子波的相位没有要求，只需要加入反射系数序列的先验信息，将反褶积问题转化为极值问题，最后利用数值迭代算法就可以求解 [16] 。

首先考虑褶积模型：

$x=b\ast \xi +n$

其中，地震记录表示为x，地震子波表示为b，反射系数表示为 $\xi$，n为干扰。矩阵表示为

$X=B\ast \xi +n$

$X$为地震列向量， $\xi$为反射系数列向量， $B$为子波褶积矩阵， $n$为随机噪声列向量。若设地震道长度为k，则：

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{k-1}\\ x_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_0& b_{-1}& \cdots & \cdots & b_{-\left(k-1\right)}\\ b_1& b_0& b_{-1}& \ddots & ⋮\\ ⋮& b_1& b_0& b_{-1}& ⋮\\ ⋮& \ddots & b_1& b_0& b_{-1}\\ b_{k-1}& \cdots & \cdots & b_1& b_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ⋮\\ {\xi }_{k-1}\\ {\xi }_k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ ⋮\\ n_{k-1}\\ n_k\end{array}\right]$

在矩阵 $B$已知的情况下，希望找到反射系数 $\xi$，即寻找使得下列函数J取最小值时的 $\xi$。

$J=\underset{\xi }{\min }{\Vert X-B\xi \Vert }_2^2$(11)

对上式进行求导，并令导数为0，可得：

$\frac{\partial J}{\partial {\xi }_i}=0$

上式可变形化简为：

$B^{\text{T}}\left(B^{\text{T}}\xi -X\right)=0$

即：

$\xi ={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}X$(12)

$B^{\text{T}}B$称为协方差矩阵， ${\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}$称为最小平方逆。地球物理问题中， $B^{\text{T}}B$一般没有逆，上式为一个病态问题，不能得到适定的解。所以需要对模型 $\xi$进行正则化约束。目标函数可以改为：

$J=\underset{\xi }{\min }\frac{1}{2}{\Vert X-B\xi \Vert }_2^2+\lambda \phi \left(\xi \right)$(13)

上式中的 $\phi \left(\xi \right)$为正则化项，对模型 $\xi$的解做先验条件约束， $\lambda$为权衡因子，用来调节目标函数中拟合误差项与正则化项的比重。正则化的选取取决于反射系数满足的先验条件。一般认为反射系数序列由较大的稀疏反射系数和服从高斯分布的微小反射系数背景组成。忽略微小的高斯背景，可认为反射系数具有稀疏性 [16] 。

对于(10)式中求解 $X$存在不稳定的情况下，因此考虑加入正则项。正则项包括L₁。正则项和L₂正则项，L₁正则项可使某些模型参数为0，用于特征提取；L₂正则项可防止过度拟合。本文的稀疏性采用L₁范数衡量 [17] 。

因此目标函数的正则项可以设置为：

$\phi \left(\xi \right)={\Vert \xi \Vert }_1$

目标函数可修改为：

$J=\underset{\xi }{\min }\frac{1}{2}{\Vert X-B\xi \Vert }_2^2+\lambda {\Vert \xi \Vert }_1$(14)

式中， ${\Vert \cdot \Vert }_1$表示一范数。

利用匹配追踪算法对加入L₁范数的稀疏脉冲反褶积方法进行求解。匹配追踪算法是一种稀疏分解算法，它的基本原理是通过不断的迭代，从原子库中匹配出最好的原子，然后通过线性叠加组合实现对信号的不断逼近。给定一个信号长度为N的待分解信号 $f\in H$，用匹配追踪算法对信号进行稀疏表示的步骤如下：

① 构造恰当的过完备原子库 $D={\left\{g_{\gamma }\right\}}_{\gamma \in \Gamma }$：选原子→参数化→离散化→归一化。

利用非零相位Ricker子波建立完备原子库，公式为：

$r^{\prime }\left(t\right)=r\left(t\right)\cos \omega ˚-r^{*}\left(t\right)\sin \omega ˚$

在这里， $r\left(t\right)$为非零相位Ricker子波， $\omega ˚$为相位旋转角度， $r^{*}\left(t\right)$为 $r\left(t\right)$的Hilbert变换。上式可写为：

$g_{\gamma \in \Gamma }=r\left(t\right)\cos \omega ˚-r^{*}\left(t\right)\sin \omega ˚$

将非零相位Ricker子波公式离散化， $\Gamma$是时频参数的集合。 $f_p$为主频参数， $\omega$和u为相位参数和位移参数。时频参数按下式离散化：

$\gamma =\left(i\ast d{f}_p,j\ast d\omega ,n\ast du\right)$

对上式进行归一化，令 $\Vert g_{\gamma }\left(t\right)\Vert =1$。 $f_p$、 $\omega$和u确定子波的形状和位置。

② 在过完备原子库中寻找最佳匹配原子 $g_{{\gamma }_0}$， $g_{{\gamma }_0}$满足：

$\left|\langle f,g_{{\gamma }_0}\rangle \right|=\underset{\gamma \in \Gamma }{\sup }\left|\langle f,g_{\gamma }\rangle \right|$

其中， $\left|\langle f,g_{{\gamma }_0}\rangle \right|$是信号f与原子 $g_{{\gamma }_0}$的内积绝对值。此时，信号f可表示为：

$f=\langle f,g_{{\gamma }_0}\rangle g_{{\gamma }_0}+{\Vert R^{1}f\Vert }^2$

残差 $R^{1}f$越小， $\langle f,g_{{\gamma }_0}\rangle g_{{\gamma }_0}$与f越接近，即此时 $\langle f,g_{{\gamma }_0}\rangle g_{{\gamma }_0}$为原信号最佳逼近， $g_{{\gamma }_0}$为最佳匹配原子。

③ 分解残差信号，不断迭代，直至残差达到一定阈值或者迭代次数达到一定。

第 $k+1$次迭代表达式可以表示为： $R^{k}f=\langle R^{k}f,g_{{\gamma }_k}\rangle g_{{\gamma }_k}+R^{k+1}f$。

如 图2 展示了匹配追踪算法对残差进行连续正交分解的过程，当达到一定迭代次数，或者残差达到一定阈值，停止残差信号分解 [17] 。

④ 重构原始信号。

可得，原始信号可以表示为： $f\approx {\displaystyle {\sum }_{k=1}^M\langle R^{k}f,g_{{\gamma }_k}\rangle g_{{\gamma }_k}}$

采用脉冲反褶积处理该地震记录，稳定常数设置为0.02，滤波器的长度设置为60，处理结果如 图3 。

由 图4 可知，反射系数的强振幅在脉冲反褶积过程中得到较好恢复，但是反褶积过程在提高分辨率的同时，在反褶积结果中包含了不可忽略的随机噪声，反射系数不能完全恢复原样。通过均方误差的计算，脉冲反褶积处理前的均方误差为0.048，处理之后的均方误差下降到0.012。所以，脉冲反褶积可以拓宽地震记录的频带，提高地震数据的分辨率。

为了测试稀疏脉冲反褶积的处理效果，利用以上合成地震数据。通过褶积模型，与最小相位子波合成地震记录。最后采用L1范数约束的稀疏脉冲反褶积方法对合成地震记录进行处理。处理结果如 图5 所示。

由 图6 可知，该情况下的频谱对比展示于下图。反射系数的振幅在稀疏脉冲反褶积过程中得到较好恢复。但因为噪音不可忽略，一些振幅的反射系数没有很好地恢复过来。通过均方误差的计算，稀疏脉冲反褶积处理前的均方误差为0.086，处理之后的均方误差下降到0.014。所以，稀疏脉冲反褶积可以有效提高地震数据的分辨率。