近年来，具有对数非线性项或Choquard项的偏微分方程在量子力学、量子光学、核物理、输运和扩散现象、开放系统、有效量子引力、超流体理论和玻色–爱因斯坦凝聚中得到了许多应用 [1] - [3] ，关于相应的偏微分方程的定性性质、解的存在性和多重性已有许多结果，如对数项偏微分方程的研究见 [4] - [9] 及其中参考文献，对含Choquard项偏微分方程的研究见 [10] - [14] 及其中参考文献。在文献 [4] 中，Tian考虑了如下方程：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=a\left(x\right)u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$(1)

其中 $\Omega$是 ${ℝ}^N$中的有界光滑区域且 $N\ge 1$，当

$\underset{\bar{\Omega }}{\max }\left|a\left(x\right)\right|<2\pi {\text{e}}^{2-\frac{4{\left|\Omega \right|}_N}{Ne}},$

其中 ${\left|\Omega \right|}_N$为 $\Omega$在 ${ℝ}^N$中的体积，作者通过Nehari流形和对数Sobolev不等式证明了方程(1)至少存在两个非平凡解。

在文献 [6] 中，Squassina和Szulkin研究了下列方程解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+V\left(x\right)u=Q\left(x\right)u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$(2)

其中 $V\left(x\right),Q\left(x\right)\in C\left({ℝ}^N\right)$并且满足 $\underset{\Omega }{\min }V\left(x\right)>0$， $\underset{\Omega }{\min }\left(V\left(x\right)+Q\left(x\right)\right)>0$，作者将泛函分解为一个 $C^1$泛函和一个凸下半连续泛函的和，从而得到不同几何解的存在性。Avenia [15] 利用非光滑临界点理论证明了问题(2)存在唯一正解。

Yang [16] 研究了以下拟线性Choquard方程：

$-\Delta u+V\left(x\right)u-u\Delta \left(u^2\right)=\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u\right|}^p\right){\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N,$(3)

其中 $\mu \in \left(0,\frac{N+2}{2}\right)$， $N\ge 3$和 $p\in \left(2,\frac{4N+4\mu }{N-2}\right)$，势函数V满足 $V\in C\left({ℝ}^N,ℝ\right)$和 $0<V_0\le V\left(x\right)$，且 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }V\left(x\right)=\infty$。作者通过摄动法，得到了问题(3)正解、负解和高能解的存在性。

在文献 [17] 中，Wen和Tang利用约束变分方法、拓扑度理论和新的能量估计不等式分析了以下方程：

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u={\left|u\right|}^{p-2}u\log \left|u\right|,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$(4)

其中参数 $a,b$为两个正常数， $4<p<2^{*}$， $\Omega \subset {ℝ}^3$是一个光滑有界区域并且满足 $V:\Omega \to ℝ$，作者得到了问题(4)具有两个基态解和基态变号解的存在性。

据我们所知，Kirchhoff方程为偏微分方程的经典问题，Choquard方程的理论和应用研究被广大学者所关注，己经逐渐成为了一个国际研究的前沿问题，但研究Kirchhoff-Choquard方程的文献还比较少。本文基于以上文献的分析，引发出一个很自然的问题：含有对数非线性问题的Kirchhoff-Choquard方程在 $\Omega$中是否存在非平凡解？这对用非线性泛函分析去研究非线性偏微分方程具有实际意义。而问题中非线性对数项的出现使得能量泛函不满足单调性条件，Choquard项的处理也很关键。因此，本文考虑使用经典不等式和一些放缩技巧来解决这个问题。因此，我们考虑这个方程所对应的能量泛函是否会满足山路引理和Palais-Smale (PS)条件。

本文讨论如下含有对数非线性问题的Kirchhoff-Choquard方程：

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda u\log \left|u\right|+\beta \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{p-2}u,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$(5)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$是一个光滑有界区域，并且 $a>0,b\ge 0,0<\mu <N，N\ge 3,\lambda ,\beta$是正实参数， $2<p<2_{\mu }^{*}$，此时 $2_{\mu }^{*}=\frac{2N}{N-2}$。下面给出本文的主要结果：

定理1.1 如果 $V\in L^{3/2}\left(\Omega \right)$，且 $V_0=\underset{u\in \Omega }{\inf }V\left(x\right)>-\infty$，则问题(5)至少存在一个非平凡解。

本文对 $H_0^1\left(\Omega \right)$空间的范数做出以下定义：

${\Vert u\Vert }_{H_0^1\left(\Omega \right)}=:\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{1/2}.$

定义 $H_0^1\left(\Omega \right)$空间的内积为：

$\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\text{d}x}.$

$L^p\left(\Omega \right)\left(1\le p<\infty \right)$为具有范数的Lebesgue空间并有以下定义：

${\left|u\right|}_p={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}.$

$C,C_i,i=1,2,\cdots$表示不同的正常数。

定理 2.1 假设E是一个实的Banach空间， $I\in C^1\left(E,ℝ\right)$满足PS条件且 $I\left(0\right)=0$。若I满足山路结构，即

i) 存在常数 $r,\eta >0$，当 $\Vert u\Vert =r$时，有 $I\left(u\right)\ge \eta$成立。

ii) 存在 $e\in H_0^1\left(\Omega \right)$，当 $\Vert e\Vert >r$时，有 $I\left(e\right)<0$成立。

定义

$\Gamma =\left\{\gamma \in C\left[0,1\right],E:\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=e\right\},$

那么， $c:={\inf }_{\gamma \in \Gamma }{\max }_{t\in \left[0,1\right]}I\left(\gamma \left(t\right)\right)$是I的一个临界值。

为了得到我们的结果满足定理2.1，问题(5)的能量泛函I可以定义为

$I\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

为了方便，我们不妨定义

$G\left(u\right)=:{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

任给的 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$是问题(5)的弱解，是指如下等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(a\nabla u\cdot \nabla v+Vuv\right)\text{d}x}+b{\Vert u\Vert }^2\left(u,v\right)\\ =\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }uv\log \left|u\right|\text{d}x}+\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^{p-2}u\left(y\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y},v\in H_0^1\left(\Omega \right).\end{array}$

为了证明本文的主要结论，需要如下几个引理。

引理2.2 (对数Sobolev不等式 [18] )设任意 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$，c是任意正常数，那么有

$2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\left(x\right)\right|}^2\log \left(\frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\right)\text{d}x}+N\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2\le \frac{c^2}{\pi }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x},$

不妨定义当 $x\in {ℝ}^N\backslash \Omega$时，都有 $u\left(x\right)=0$成立。由对数Sobolev不等式，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\left(x\right)\right|}^2\log \left(\frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\right)\text{d}x}\le \frac{N}{2}\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{c^2}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}.$(6)

引理2.3 ( [19] ，引理2.13)设 $N\ge 3$， $a\in L^{N/2}\left(\Omega \right)$，则泛函 $\psi :H_0^1\left(\Omega \right)\to ℝ$，

$\psi \left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }a{u}^2\text{d}x},u\in H_0^1\left(\Omega \right),$

是弱连续的。

引理2.4 ( [20] ，定理4.3)设 $t,q>1,0<\mu <N$并且 $\frac{1}{t}+\frac{1}{q}+\frac{\mu }{N}=2,f\left(x\right)\in L^t\left({ℝ}^N\right),h\left(x\right)\in L^q\left({ℝ}^N\right)$，则存在一个正常数 $C\left(t,\mu ,N,q\right)$使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{\left|f\left(x\right)\right|\left|h\left(x\right)\right|}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|f\right|}_t{\left|h\right|}_q.$

令 $f\left(x\right)={\left|u\left(x\right)\right|}^p,h\left(x\right)={\left|u\left(y\right)\right|}^p$，我们有

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\left(x\right)\right|}_t^p{\left|u\left(y\right)\right|}_q^p.$(7)

利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，存在一个常数 $\tilde{C}\left(t,\mu ,N,q\right)>0$使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le \tilde{C}\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\right|}_{2_{\mu }^{*}}^{{22}_{\mu }^{*}},\forall u\in H_0^1\left(\Omega \right).$

通过Sobolev嵌入定理，我们可以得到存在 $C\left(t,\mu ,N,q\right)>0$使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right|\le C\left(t,\mu ,N,q\right){\left|u\right|}^{{22}_{\mu }^{*}}.$

最后，通过计算可以得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}_{}^{\mu \frac{p}{2_{\mu }^{*}}}}\frac{1}{{\left|x-y\right|}_{}^{\mu \left(1-\frac{p}{2_{\mu }^{*}}\right)}}\text{d}x\text{d}y}\\ \le C_1{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{*}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\right)}^{\frac{p}{2_{\mu }^{*}}}\\ \le C_2{\Vert u\Vert }^{2p},\end{array}$(8)

其中 $2<p<2_{\mu }^{*}$。

在本节中，我们首先利用一些常用的不等式和一些分析技巧来证明泛函I满足山路结构和PS条件。

引理3.1 存在常数 $r,\eta >0$，当 $\Vert u\Vert =r$时，有 $I\left(u\right)\ge \eta$成立。

证明

$\begin{array}{l}I\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \frac{\left|u\right|}{{\left|u\right|}_2}\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log {\left|u\right|}_2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ \ge \frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\lambda c^2}{4\pi }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+\frac{\lambda N}{4}\left(1+\log c\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log {\left|u\right|}_2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ =\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\left|u\right|}_2-\frac{\lambda c^2}{4\pi }{\Vert u\Vert }^2+\left[\frac{\lambda N}{4}\left(1+\log c\right)-\frac{\lambda \log {\left|u\right|}_2}{2}\right]{\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right).\end{array}$

取 $c=\sqrt{\frac{\pi a}{\lambda }}$，并利用(7)，我们有

$\begin{array}{l}I\left(u\right)\ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{8}\left(8+4V_0+3\log \left(\pi a\right)-4\log {\left|u\right|}_2\right){\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta }{2p}G\left(u\right)\\ \ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{8}\left(8+4V_0+3\log \left(\pi a\right)-4\log {\left|u\right|}_2\right){\left|u\right|}_2^2-C_3{\left|u\left(x\right)\right|}_t^p{\left|u\left(y\right)\right|}_q^p\\ \ge \frac{a}{4}{\Vert u\Vert }^2-C_4{\Vert u\Vert }^{2p}.\end{array}$

只要正数r足够小且满足 $\Vert u\Vert =r$和 ${\left|u\right|}_2^2\le C_5{\Vert u\Vert }^2\le {\left(\pi a\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{4+2V_0}$时，则存在 $\eta >0$使得 $I\left(u\right)\ge \eta$成立。

引理3.2 存在 $e\in H_0^1\left(\Omega \right)$，当 $\Vert e\Vert >r$时，有 $I\left(e\right)<0$成立。

证明

$\begin{array}{l}I\left(tu\right)=\frac{a{t}^2}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b{t}^4}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda t^2}{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\text{d}x}-\frac{\beta t^2}{2p}G\left(u\right)\\ =\frac{a{t}^2}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b{t}^4}{4}{\Vert u\Vert }^4+\frac{t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}^2\text{d}x}-\frac{\lambda t^2\log t}{2}{\left|u\right|}_2^2-\frac{\lambda t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\log \left|u\right|\text{d}x}+\frac{\lambda t^2}{4}{\left|u\right|}_2^2-\frac{\beta t^2}{2p}G\left(u\right)\end{array}$

当 $p>2$且 $t\to \infty$时，我们有 $I\left(tu\right)\to -\infty$成立。当 $t_0$足够大时，存在 $\Vert t_{0}u\Vert >r$且 $I\left(tu\right)<0$成立，显然存在 $e=t_{0}u$使得 $I\left(e\right)\to 0$，引理3.2的证明就完成了。

引理3.1和引理3.2的证明说明能量泛函I满足山路结构，接下来只要证明泛函I满足PS条件就完成了证明。

引理3.3 泛函I满足PS条件。

证明 假设 $\left\{u_n\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$是I的一个PS序列，那么存在 $z>0$使得对于所有的n，都有 $I\left(u_n\right)\to z$成立，而且当 $n\to \infty$时， $I\left(u_n\right)\to 0$。首先，我们证明 $\left\{u_n\right\}$在 $H_0^1\left(\Omega \right)$中有界。事实上，对所有的n，通过Sobolev嵌入定理和式(8)，可得

$\begin{array}{c}z+o\left(1\right)\Vert u_n\Vert \ge I\left(u_n\right)-\frac{1}{p}\left(I\left(u_n\right),u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}_n^2\text{d}x}\\ -\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_n^2\log \left|u_n\right|\text{d}x}+\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_n^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2p}G\left(u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }V{u}_n^2\text{d}x}-\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{p}\right){\left|u_n\right|}_3^3-\frac{\beta }{2p}G\left(u_n\right)\\ \ge \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{p}-C_6\right){\Vert u_n\Vert }^2-\left(\frac{b}{4}-\frac{b}{p}\right){\Vert u_n\Vert }^4+C_7{\Vert u_n\Vert }^3-C_8{\Vert u_n\Vert }^{2p}.\end{array}$

所以 $\left\{u_n\right\}$在 $H_0^1\left(\Omega \right)$中有界。其次，我们证明 $\left\{u_n\right\}$在 $H_0^1\left(\Omega \right)$中有收敛子列. 因为 $\left\{u_n\right\}$在 $H_0^1\left(\Omega \right)$中有界，所以不妨设子列 $u_n\to u,n\to \infty$。于是有

$\begin{array}{l}{o}_n=\left(I^{\prime }\left(u_n\right)-I^{\prime }\left(u\right),u_n-u\right)\\ =a\Vert u_n-u\Vert +{\displaystyle {\int }_{\Omega }V{\left(u_n-u\right)}^2\text{d}x}+b\left[{\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^4\right]\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}-G_n\left(x,y\right),\end{array}$

其中

$G_n\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\left({\left|u_n\left(x\right)\right|}^p{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}{u}_n\left(y\right)-{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^{p-2}u\left(y\right)\right)\left(u_n\left(y\right)-u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}.$

当 $2\le \frac{2Np}{2N-\mu }<{22}^{*}$时，在空间 $L^{\frac{2Np}{2N-\mu }}$中有 $u_n\to u$，那么我们可以得到存在函数 $Q\in L^{\frac{2Np}{2N-\mu }}\left(\Omega \right)$使得 $\left|u_n\left(x\right)\right|,\left|u\left(x\right)\right|\le Q\left(x\right)$成立。通过文献 [19] 中的定理A.1和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，有

$\left|G_n\left(x,y\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{2{\left|Q\left(x\right)\right|}^p{\left|Q\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\in L^1\left(\Omega \times \Omega \right).$

事实上 $G_n\left(x,y\right)$在 $\left(x,y\right)\in \Omega \times \Omega$几乎处处都为0，这意味着

$G_n\left(x,y\right)=o_n\left(1\right).$(9)

通过Hölder不等式，我们有

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}\right|\le {\left|u_n\log \left|u_n\right|-u\log \left|u\right|\right|}_2{\left|u_n-u\right|}_2\to 0,$(10)

并且

$\begin{array}{c}{\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^2\left(u_n,u\right)+{\Vert u\Vert }^4\ge {\Vert u_n\Vert }^4-{\Vert u_n\Vert }^3\Vert u\Vert +{\Vert u\Vert }^3\Vert u_n\Vert +{\Vert u\Vert }^4\\ =\left({\Vert u_n\Vert }^3-{\Vert u\Vert }^3\right)\left(\Vert u_n\Vert -\Vert u\Vert \right)\ge 0.\end{array}$(11)

因为 $V\in L^{3/2}\left(\Omega \right)$，由命题2.2，我们有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }V{\left(u_n-u\right)}^2\text{d}x}\to 0.$(12)

根据(9)~(11)，我们得到 $\Vert u_n-u\Vert \to 0$，这样我们就找到了一个收敛子列，即 $H_0^1\left(\Omega \right)$中任意PS序列都存在收敛子列。证毕。

引理3.1、引理3.2和引理3.3表明，能量泛函I满足山路结构和PS条件。根据定理2.1，泛函I在 $H_0^1\left(\Omega \right)$内至少有一个非平凡临界点，也就是方程(5)至少存在一个非平凡解。因此，定理1.1的结论成立。