磁流体动力学(Magnetohydrodynamics, MHD)方程是通过流体力学中的Navier-Stokes方程和电动力学中的Maxwell方程耦合而成，其写成守恒律的形式为

$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F\left(U\right)}{\partial x}=0$, (1)

该式中，

$U=\left[\begin{array}{c}\rho \\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ \rho e\\ B_1\\ B_2\\ B_3\end{array}\right]$, $F\left(U\right)=\left[\begin{array}{c}\rho u\\ \rho u^2+p+\frac{1}{2}{\Vert B\Vert }^2-B_1^2\\ \rho uv-B_1{B}_2\\ \rho uw-B_1{B}_3\\ u\left(\rho e+p+\frac{1}{2}{\Vert B\Vert }^2\right)-B_1\left(u\cdot B\right)\\ 0\\ u{B}_2-v{B}_1\\ u{B}_3-w{B}_1\end{array}\right]$. (2)

$\rho$、p分别为流体密度和压力， $u=\left(u,v,w\right)$为流体速度矢量， $B=\left(B_1,B_2,B_3\right)$为磁感应强度矢量， $\rho e$表示总能量，即

$\rho e=\frac{p}{\gamma -1}+\frac{\rho }{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert B\Vert }^2$, (3)

式中 $\gamma$为比热比， ${\Vert B\Vert }^2=B_1^2+B_2^2+B_3^2$。对于理想MHD方程而言，一个额外的无散度条件 $\nabla \cdot B=0$需要被满足，否则在进行数值模拟时会出现数值不稳定 [13] ；又由于 $B=\left(B_1,B_2,B_3\right)$，则根据散度的向量形式以及空间变量x可知，此时有 $\partial B_1/\partial x=0$成立，即 $B_1$为常数。

方程(1)的Jacobi矩阵 $\partial F/\partial U$的特征值系统在文献 [14] 中有详细叙述：包含一条散度波，波速为 ${\lambda }_D=u$；一条熵波，波速为 ${\lambda }_E=u$；两条快波，波速为 ${\lambda }_{\pm f}=u\pm c_f$；两条慢波，波速为 ${\lambda }_{\pm s}=u\pm c_s$；两条Alfvén波，波速为 ${\lambda }_{\pm a}=u\pm c_a$，其中

$c_a^2=\frac{B_1^2}{\rho }$, $c_{f,s}^2=\frac{1}{2}\left({\frac{\gamma \rho +\Vert B\Vert }{\rho }}^2\pm \sqrt{{\left({\frac{\gamma \rho +\Vert B\Vert }{\rho }}^2\right)}^2-4\frac{\gamma \rho B_1^2}{{\rho }^2}}\right)$. (4)

与之对应的Jacobi矩阵的右特征向量矩阵为

$R=\left[\begin{array}{cccccccc}\rho & 0& \rho & 1& 0& \rho & 0& \rho \\ -c_f& 0& -c_s& 0& 0& c_s& 0& c_f\\ \frac{c_f{b}_1{b}_2}{c_f^2-b_1^2}& B_3& \frac{c_s{b}_1{b}_2}{c_S^2-b_1^2}& 0& 0& -\frac{c_s{b}_1{b}_2}{c_S^2-b_1^2}& -B_3& \frac{c_f{b}_1{b}_2}{c_f^2-b_1^2}\\ \frac{c_f{b}_1{b}_3}{c_f^2-b_1^2}& -B_2& \frac{c_s{b}_1{b}_3}{c_s^2-b_1^2}& 0& 0& -\frac{c_s{b}_1{b}_3}{c_s^2-b_1^2}& B_2& -\frac{c_f{b}_1{b}_3}{c_f^2-b_1^2}\\ \rho a^2& 0& \rho a^2& 0& 0& \rho a^2& 0& \rho a^2\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ \frac{\sqrt{\rho }{c}_f^2{b}_2}{c_f^2-b_1^2}& -\sqrt{\rho }{B}_3& \frac{\sqrt{\rho }{c}_s^2{b}_2}{c_s^2-b_1^2}& 0& 0& \frac{\sqrt{\rho }{c}_s^2{b}_2}{c_s^2-b_1^2}& -\sqrt{\rho }{B}_3& \frac{\sqrt{\rho }{c}_f^2{b}_2}{c_f^2-b_1^2}\\ \frac{\sqrt{\rho }{c}_f^2{b}_3}{c_f^2-b_1^2}& \sqrt{\rho }{B}_2& \frac{\sqrt{\rho }{c}_s^2{b}_3}{c_s^2-b_1^2}& 0& 0& \frac{\sqrt{\rho }{c}_s^2{b}_3}{c_s^2-b_1^2}& \sqrt{\rho }{B}_2& \frac{\sqrt{\rho }{c}_f^2{b}_3}{c_f^2-b_1^2}\end{array}\right]$, (5)

式中 $b=\left(b_1,b_2,b_3\right)=B/\sqrt{\rho }$， $a^2=\gamma p/\rho$。

根据文献 [3] 的理论，可以通过定义熵函数、熵通量函数和熵变量等，构造出保持熵守恒的数值格式；再根据 [3] [4] [17] 的理论，在熵守恒格式的基础上，适当加上一定量的数值耗散，即可得到熵稳定格式，从而更准确地模拟这些物理过程 [3] 。因此，为了方便一维MHD方程熵相容格式的构造，我们对一维MHD方程的熵函数、熵通量函数和熵变量进行定义。

定义熵函数 $E\left(U\right)=-\rho s/\left(\gamma -1\right)$，熵通量函数 $Q\left(U\right)=-\rho us/\left(\gamma -1\right)$，其中物理熵 $s=\ln \left(p\right)-\gamma \ln \left(\rho \right)$，相应的熵变量 $\nu$和熵势 $\phi$为

$\nu =E^{\prime }\left(U\right)={\left[\frac{\gamma -s}{\gamma -1}-\frac{\rho {\Vert u\Vert }^2}{2p},\frac{\rho u}{p},\frac{\rho v}{p},\frac{\rho w}{p},-\frac{\rho }{p},\frac{\rho B_1}{p},\frac{\rho B_2}{p},\frac{\rho B_3}{p}\right]}^{\text{T}}$, (6)

$\phi \left(\nu \right)=\nu \cdot F-Q=\rho u+\frac{\rho u{\Vert B\Vert }^2}{2p}-\frac{\rho B_1\left(u\cdot B\right)}{p}$. (7)

熵是热力学中表征物质状态的参量之一，其物理意义是系统混乱程度的度量。在双曲守恒律系统中，当解连续时，熵在整个系统中保持不变，称为熵守恒；但当出现间断解时，熵会增加，从而熵守恒格式的数值解会出现伪振荡，因此需要对总熵进行耗散。如果熵耗散过程满足熵稳定条件，则称它是熵稳定的。

设 $\left(E,Q\right)$为双曲守恒律方程(1)的一组熵对，将(1)式的两端同时乘 $E^{\prime }{\left(U\right)}^T$，得到

$E{\left(U\right)}_t+E^{\prime }{\left(U\right)}^T{F}^{\prime }\left(U\right)U_x=0$, (8)

如果 $Q^{\prime }{\left(U\right)}^T=E^{\prime }{\left(U\right)}^T{F}^{\prime }\left(U\right)$，则有

$E{\left(U\right)}_t+Q{\left(U\right)}_x=0$, (9)

我们称(9)式为熵等式。

当间断发生时，熵会有所增加，熵等式(9)不再成立。为此，我们从弱解的角度出发，将 $U^{\epsilon }$作为带有粘性机制的双曲守恒律方程 [12] ：

$U_t^{\epsilon }+F{\left(U^{\epsilon }\right)}_x=\epsilon U_{xx}^{\epsilon }$, (10)

的极限解。假设 $\left(E,Q\right)$为双曲守恒律方程(1)的一组熵对，对方程(10)的两端同时左乘 $E^{\prime }{\left(U^{\epsilon }\right)}^T$，由于熵函数 $E\left(U\right)$为凸函数 [15] 可以得到：

$\begin{array}{c}E{\left(U^{\epsilon }\right)}_t+Q{\left(U^{\epsilon }\right)}_x=\epsilon E^{\prime }\left(U^{\epsilon }\right)U_{xx}^{\epsilon }\\ =\epsilon \left(E{\left(U^{\epsilon }\right)}_{xx}-{\left(U_x^{\epsilon }\right)}^T{E}^{″}\left(U^{\epsilon }\right)U_x^{\epsilon }\right)\\ \le \epsilon E{\left(U^{\epsilon }\right)}_{xx}\end{array}$, (11)

当 $\epsilon \to 0$时，得到熵不等式

$E{\left(U\right)}_t+Q{\left(U\right)}_x\le 0$, (12)

我们称上述不等式为熵稳定条件。

熵守恒格式，即保持总熵不变，在离散的情况下满足离散熵等式：

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}E\left(U_i\left(t\right)\right)+\frac{1}{\Delta x}\left(Q_{i+1/2}-Q_{i-1/2}\right)=0$, (13)

式中， $E\left(U_i\left(t\right)\right)$为凸的熵函数， $Q_{i+1/2}$为与熵通量函数Q相容的数值熵通量函数 [3] 。2015年，Winters等 [16] 在Tadmor提出的逐段分解显式构造方法的基础上，通过引入参数向量

$z=\left[z_1,z_2,\cdots ,z_8\right]=\left[\sqrt{\frac{\rho }{p}},\sqrt{\frac{\rho }{p}}u,\sqrt{\frac{\rho }{p}}v,\sqrt{\frac{\rho }{p}}w,\sqrt{\rho p},B_1,B_2,B_3\right]$, (14)

和Ismail公式

$\hat{p}=\left\{\left\{z_1\right\}\right\}{z}_5^{\ln }$, ${\hat{p}}_1=\frac{\left\{\left\{z_5\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1\right\}\right\}}$, ${\hat{p}}_2=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\frac{z_5^{\ln }}{z_1^{\ln }}+\frac{\gamma -1}{2\gamma }\frac{\left\{\left\{z_5\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1\right\}\right\}}$,

${\hat{u}}_1=\frac{\left\{\left\{z_2\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1\right\}\right\}}$, ${\hat{v}}_1=\frac{\left\{\left\{z_3\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1\right\}\right\}}$, ${\hat{w}}_1=\frac{\left\{\left\{z_4\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1\right\}\right\}}$, ${\hat{u}}_2=\frac{\left\{\left\{z_1{z}_2\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1^2\right\}\right\}}$, ${\hat{v}}_2=\frac{\left\{\left\{z_1{z}_3\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1^2\right\}\right\}}$, ${\hat{w}}_2=\frac{\left\{\left\{z_1{z}_4\right\}\right\}}{\left\{\left\{z_1^2\right\}\right\}}$,

${\hat{B}}_1=\left\{\left\{z_6\right\}\right\}$, ${\hat{B}}_2=\left\{\left\{z_7\right\}\right\}$, ${\hat{B}}_3=\left\{\left\{z_8\right\}\right\}$, ${\stackrel{\dot{}}{B}}_1=\left\{\left\{z_6^2\right\}\right\}$, ${\stackrel{\dot{}}{B}}_2=\left\{\left\{z_7^2\right\}\right\}$, ${\stackrel{\dot{}}{B}}_3=\left\{\left\{z_8^2\right\}\right\}$,

$\widehat{B_1{B}_2}=\left\{\left\{z_6{z}_7\right\}\right\}$, $\widehat{B_1{B}_3}=\left\{\left\{z_6{z}_8\right\}\right\}$,

推导出MHD方程的熵守恒通量：

$F_{i+1/2}^C=\left[\begin{array}{c}\hat{\rho }{\hat{u}}_1\\ {\hat{p}}_1+\hat{\rho }{\hat{u}}_1^2+\frac{1}{2}\left({\stackrel{\dot{}}{B}}_1+{\stackrel{\dot{}}{B}}_2+{\stackrel{\dot{}}{B}}_3\right)-{\stackrel{\dot{}}{B}}_1\\ \hat{\rho }{\hat{u}}_1{\hat{v}}_1-\widehat{B_1{B}_2}\\ \hat{\rho }{\hat{u}}_1{\hat{w}}_1-\widehat{B_1{B}_3}\\ \frac{\gamma {\hat{u}}_1{\hat{p}}_2}{\gamma -1}+\frac{\hat{\rho }{\hat{u}}_1}{2}\left({\hat{u}}_1^2+{\hat{v}}_1^2+{\hat{w}}_1^2\right)+{\hat{u}}_2\left({\hat{B}}_2^2+{\hat{B}}_3^2\right)-{\hat{B}}_1\left({\hat{v}}_2{\hat{B}}_2+{\hat{w}}_2{\hat{B}}_3\right)\\ 0\\ {\hat{u}}_2{\hat{B}}_2-{\hat{v}}_2{\hat{B}}_1\\ {\hat{u}}_2{\hat{B}}_3-{\hat{w}}_2{\hat{B}}_1\end{array}\right]$, (15)

其中 $\left\{\{·\}\right\}=\frac{{(·)}_{i+1}+{(·)}_i}{2}$， ${(·)}^{\ln }=\frac{{(·)}_{i+1}-{(·)}_i}{\ln {(·)}_{i+1}-\ln {(·)}_i}$。

由于Euler方程的解在跨过激波时产生密度跳跃的立方级的熵增 [17] ，熵守恒格式在激波处会出现伪振荡现象。因此需要构造满足熵稳定条件的数值格式。首先用熵增推导出的耗散项去修正熵守恒格式，得到熵稳定格式；对熵稳定格式的熵增进一步精确估计，即可得到Ismail和Roe定义的熵相容格式 [17] ，即对熵增估计更精确的熵稳定格式格式。

对于双曲守恒律方程组来说，选择路径积分

$U=\left(1-\xi \right)U_i+\xi U_{i+1},0\le \xi \le 1$, (16)

来连接左状态 $U_i$和右状态 $U_{i+1}$时，解在跨越激波时产生的熵增 [17] 为：

$\stackrel{\dot{}}{E}=\frac{1}{2}{\left[\nu \right]}_{i+1/2}^{\text{T}}{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)R\Lambda R^{-1}\text{d}\xi }{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (17)

我们知道，熵增总是正的，即 $\stackrel{\dot{}}{E}>0$。由于熵变量 $\nu =E^{\prime }\left(U\right)$且E为凸函数，则有

${\left[\nu \right]}_{i+1/2}=E^{″}\left(\xi \right){\left[U\right]}_{i+1/2}$, (18)

式中 $E^{″}\left(\xi \right)>0$，表明 ${\left[\nu \right]}_{i+1/2}$和 ${\left[U\right]}_{i+1/2}$具有相同的正负号，因此要使式(17)满足 $\stackrel{\dot{}}{E}>0$，只需保持中间矩阵 ${\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)R\Lambda R^{-1}\text{d}\xi }$的正定性，为此本文做出如下修正：

$\stackrel{\dot{}}{E}=\frac{1}{2}{\left[\nu \right]}_{i+1/2}^{\text{T}}\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)R\Lambda R^{-1}\text{d}\xi }\right|{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (19)

其对应的数值耗散为

$D^{EP}=\frac{1}{2}\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)R\Lambda R^{-1}\text{d}\xi }\right|{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (20)

在计算过程中，由于矩阵积分 ${\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)R\Lambda R^{-1}\text{d}\xi }$计算量大且形式复杂，为了简便计算，使用Gauss-Legendre积分公式进行近似，得到

$D^{EP}=\frac{1}{2}{R}_{i+1/2}\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_k\left(2S_k-1\right)\Lambda \left(S_k{U}_{i+1}+\left(1-S_k\right)U_i\right)}\right|R_{i+1/2}^{-1}{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (21)

其中 $S_k$是高斯点， ${\omega }_k$是与高斯点对应的系数，整个积分区间为 $\left[0,1\right]$。通常情况下我们采用三点Gauss-Legendre积分公式进行积分，此时

$S_{1,3}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{15}}{10}$, $S_2=\frac{1}{2}$, ${\omega }_{1,3}=\frac{5}{9}$, ${\omega }_2=\frac{8}{9}$. (22)

在求解理想MHD方程的过程中，将熵耗散项 $D^{EP}$添加到熵稳定格式的数值通量 [4]

$F_{i+1/2}^{ES}=F_{i+1/2}^C-\frac{1}{2}{R}_{i+1/2}\left|\Lambda \right|R_{i+1/2}^{-1}{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (23)

中，从而产生足够的熵耗散来抵消熵增，得到一种MHD方程的新的熵相容格式的数值通量：

$F_{i+1/2}^{EC}=F_{i+1/2}^C-\frac{1}{2}{R}_{i+1/2}\left(\left|\Lambda \right|+\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_k\left(2S_k-1\right)\Lambda \left(U\left(S_k\right)\right)}\right|\right)R_{i+1/2}^{-1}{\left[U\right]}_{i+1/2}$, (24)

式中，特征值对角矩阵

$\Lambda =diag\left({\hat{u}}_1-c_f,{\hat{u}}_1-c_a,{\hat{u}}_1-c_s,{\hat{u}}_1,{\hat{u}}_1,{\hat{u}}_1+c_s,{\hat{u}}_1+c_a,{\hat{u}}_1+c_f\right)$. (25)

$\left|\Lambda \right|=diag\left(\left|{\hat{u}}_1-c_f\right|,\left|{\hat{u}}_1-c_a\right|,\left|{\hat{u}}_1-c_s\right|,\left|{\hat{u}}_1\right|,\left|{\hat{u}}_1\right|,\left|{\hat{u}}_1+c_s\right|,\left|{\hat{u}}_1+c_a\right|,\left|{\hat{u}}_1+c_f\right|\right)$， $R_{i+1/2}$是与之对应的右特征向量矩阵， $R_{i+1/2}^{-1}$是矩阵 $R_{i+1/2}$的逆矩阵。

首先引入关于守恒型差分格式的如下的定理3.1。

定理3.1 [3] 若与 $F$相容的数值通量 $F_{i+1/2}\left(U_i,U_{i+1}\right)$关于 $U_i$， $U_{i+1}$Lipschits连续，那么一定存在一个矩阵 $K_{i+1/2}$使得 $F_{i+1/2}$可以写成如下形式：

$F_{i+1/2}=\frac{1}{2}\left(F\left(U_i\right)+F\left(U_{i+1}\right)\right)-\frac{1}{2}{K}_{i+1/2}\left(U_{i+1}-U_i\right)$. (26)

由上述定理可知，守恒型熵守恒格式的数值通量 $F_{i+1/2}^C$为

$F_{i+1/2}^C=\frac{1}{2}\left(F\left(U_i\right)+F\left(U_{i+1}\right)\right)-\frac{1}{2}{K}_{i+1/2}^C\left(U_{i+1}-U_i\right)$, (27)

其中， $K_{i+1/2}^C$是与之相对应的数值粘性矩阵。

定理3.2熵相容格式满足熵稳定条件。

证明：本文中提到的熵格式都是守恒型三点格式，因此熵相容格式的数值通量可以写为带有粘性的形式：

$F_{i+1/2}^{EC}=\frac{1}{2}\left(F\left(U_i\right)+F\left(U_{i+1}\right)\right)-\frac{1}{2}{K}_{i+1/2}^{EC}\left(U_{i+1}-U_i\right)$, (28)

其中 $K_{i+1/2}^{EC}=K_{i+1/2}^C+R_{i+1/2}\left(\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|\right)R_{i+1/2}^{-1}$，根据Barth在文献 [18] 中证明的 $U_v\approx R{R}^T$， $v$为熵变量 $v=E^{\prime }\left(U\right)$，(28)式可以写为

$F_{i+1/2}^{EC}=\frac{1}{2}\left(F\left(U_i\right)+F\left(U_{i+1}\right)\right)-\frac{1}{2}{\tilde{K}}_{i+1/2}^{EC}\left(v_{i+1}-v_i\right)$, (29)

其中 ${\tilde{K}}_{i+1/2}^{EC}=K_{i+1/2}^C+R_{i+1/2}\left(\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|\right)R_{i+1/2}^T$。

令 $P_{i+1/2}^{EC}={\tilde{K}}_{i+1/2}^{EC}-K_{i+1/2}^C=R_{i+1/2}\left(\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|\right)R_{i+1/2}^T$，则有：

$\begin{array}{l}{\left(v_{i+1}-v_i\right)}_{i+1/2}^{{\rm T}}{P}_{i+1/2}^{EC}\left(v_{i+1}-v_i\right)\\ ={\left(v_{i+1}-v_i\right)}_{i+1/2}^{{\rm T}}{R}_{i+1/2}\left(\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|\right)R_{i+1/2}^T\left(v_{i+1}-v_i\right)\\ ={\left(R_{i+1/2}^T\left(v_{i+1}-v_i\right)\right)}^{{\rm T}}\left(\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|\right)R_{i+1/2}^T\left(v_{i+1}-v_i\right)\end{array}$, (30)

我们知道， $R_{i+1/2}^T$为可逆矩阵， $\left(v_{i+1}-v_i\right)$为非零向量， $\left|{\Lambda }_{i+1/2}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^1\left(2\xi -1\right)\Lambda \left(U\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi }\right|$为对角矩阵。

因此，由(30)式可以得到 ${\left(v_{i+1}-v_i\right)}_{i+1/2}^{{\rm T}}{P}_{i+1/2}^{EC}\left(v_{i+1}-v_i\right)>0$，也就是 ${\left(v_{i+1}-v_i\right)}_{i+1/2}^{{\rm T}}{\tilde{K}}_{i+1/2}^{EC}\left(v_{i+1}-v_i\right)>{\left(v_{i+1}-v_i\right)}_{i+1/2}^{{\rm T}}{K}_{i+1/2}^C\left(v_{i+1}-v_i\right)$，这表明熵相容格式比熵守恒格式包含更多的数值粘性。由定理3.1可知，熵相容格式满足熵稳定条件。

光滑Alfvén波算例经常用来计算理想MHD方程数值格式的精度。本文考虑一维情况下的光滑Alfvén波的如下初值问题：

$\rho \left(x,0\right)=1$, $u\left(x,0\right)=0$, $v\left(x,0\right)=0.1\sin \left(2\pi x\right)$, $w\left(x,0\right)=1$, $p\left(x,0\right)=0.1$, $B_1\left(x,0\right)=1$, $B_2\left(x,0\right)=v\left(x,0\right)$, $B_3\left(x,0\right)=0.1\cos \left(2\pi x\right)$.

该算例的精确解为：

$\rho \left(x,t\right)=1$, $u\left(x,t\right)=0$, $v\left(x,t\right)=0.1\sin \left(2\pi \left(x+t\right)\right)$, $w\left(x,t\right)=1$, $p\left(x,t\right)=0.1$, $B_1\left(x,t\right)=1$, $B_2\left(x,t\right)=v\left(x,t\right)$, $B_3\left(x,t\right)=0.1\cos \left(2\pi \left(x+t\right)\right)$.

在计算时采用周期性边界条件，计算区间为 $\left[0,1\right]$，绝热指数 $\gamma =5/3$。

见 表1 展示了计算该算例到 $t=5$时刻的不同网格数下变量v的数值误差以及收敛阶。见 表1 结果来看，EC-MHM格式在L¹、L²范数意义下收敛阶均超过二阶，具有高精度特性。

控制方程为式(1)、(2)，在计算区域 $\Omega =\left[-1,1\right]$上给定初始条件

$\left[\rho ,u,v,w,p,B_1,B_2,B_3\right]=\{\begin{array}{l}\left[1,0,0,0,1,0.75,1,0\right],x\le 0.5,\\ \left[0.125,0,0,0,0.1,0.75,-1,0\right],x>\mathrm{0.5.}\end{array}$

其中 $\gamma =5/3$，空间网格数为 500，计算至 $t=0.12$。计算结果与参考解见 图1 。将EC-MHM格式与ES格式和EC格式进行比较，可发现EC-MHM格式对每个间断都能准确地捕捉，跨越间断所需的单元个数也明显减少，提高了解的分辨率。从图中可以看出，ES格式和EC格式的总熵耗散大致相同，EC-MHM格式相较于ES格式而言熵耗散更小，既有效地抑制抹平现象，还避免了间断附近的伪振荡，数值解更加贴近参考解。

图1. Brio-Wu激波管问题的计算结果

控制方程为式(1)、(2)，在计算区域 $\Omega =\left[-1,1.5\right]$上给定初始条件

$\left[\rho ,u,v,w,p,B_1,B_2,B_3\right]=\{\begin{array}{l}\left[3,0,0,0,1,1.5,1,0\right],x\le 0;\\ \left[1,0,0,0,1,1.5,\cos \left(1.5\right),\sin \left(1.5\right)\right],x>0.\end{array}$

其中 $\gamma =5/3$，空间网格数为500，计算至 $t=0.4$。计算结果与精确解见 图2 。可以看出，相较ES格式和EC格式而言，EC-MHM格式能够准确地捕捉到解的结构，解的分辨率明显提高，使得数值结果更加贴近参考解。通过总熵的变化来看，随着时间的推移，ES格式和EC格式的耗散较多，表明其数值结果在间断处抹平现象严重；相较而言，EC-MHM格式对总熵耗散控制地更加合理，说明其数值结果对解的捕捉更加锐利。

图2. Torrihon黎曼问题的计算结果

控制方程为式(1)、(2)，在计算区域 $\Omega =\left[-1,1\right]$上给定初始条件

$\left[\rho ,u,v,w,p,B_1,B_2,B_3\right]=\{\begin{array}{l}\left[1,0,0,0,1,0.7,0,0\right],x\le 0,\\ \left[0.3,0,0,1,0.2,0.7,1,0\right],x>0.\end{array}$

其中 $\gamma =2$，空间网格数为500，计算至 $t=0.4$。计算结果与精确解见 图3 。此问题的解包括：稀疏波、慢速稀疏波、接触间断、慢速激波和快速稀疏波。结果表明，ES格式的计算结果和EC格式的计算结果几乎相同，在间断处的抹平现象比较严重；而EC-MHM格式对每个间断捕捉更加准确，跨越间断时所需的单元个数也明显减少。从总熵图来看，ES格式和EC格式的总熵耗散大致相同，EC-MHM格式的总熵耗散比EC格式小，对总熵耗散控制的更加合理，有效改善了严重的抹平现象，从侧面说明新构造的高分辨率熵相容格式的优良性质。

计算区域 $\Omega =\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$， $\gamma =1.4$，记 $r=\sqrt{{\left(x-0.5\right)}^2+{\left(y-0.5\right)}^2}$， $r_0=0.1$， $r_1=0.115$， $u_0=2$，初始条件为：

$\{\begin{array}{l}\rho =10,\left(u,v\right)=\frac{u_0}{r_0}\left(-\left[y-0.5\right],\left[x-0.5\right]\right),r<r_0,\\ \rho =1+9f,\left(u,v\right)=\frac{f{u}_0}{r_0}\left(-\left[y-0.5\right],\left[x-0.5\right]\right),f=\frac{r_1-r}{r_1-r_0},r_0<r<r_1,\\ \rho =1,\left(u,v\right)=\left(0,0\right),r>r_1,\\ w=0,p=1,B=5/\sqrt{4\pi }{\left(1,0,0\right)}^{{\rm T}}.\end{array}$

图3. Ryu and Jones黎曼问题的计算结果

在本算例中选用周期性边界条件，计算至 $t=0.15$，空间网格数为200 × 200。采用逐维推广的方法将熵相容格式和高分辨率熵相容格式分别应用于First Rotor问题数值模拟中，计算结果的云图见 图4 和 图5 。其中 $Ma=\Vert u\Vert /a$表示马赫数， $a=\sqrt{\gamma p/\rho }$。

图4. First Rotor问题的熵稳定格式计算结果

图5. First Rotor问题的高分辨率熵相容格式计算结果

见 图4 与 图5 比较可知，高分辨率熵相容格式对激波等间断的捕捉效果较为清晰锐利；验证了运用新型斜率限制器得到的高分辨率熵相容格式具有一定的优良特性。