[2] 假设构造风险最小的组合，则目标函数为：

$\min {\sigma }_p^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{w}_j{\sigma }_{ij}}}$(1)

式中， $w_i$、 $w_j$分别为证券i和证券j所占的比重(权数)； ${\sigma }_{ij}={\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_{ij}$， ${\rho }_{ij}$为证券i和证券j的相关系数。

约束条件为：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i=1}$(2)

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{r}_i}=E\left(r_p\right)$(3)

$w_i\ge 0$(允许卖空)

约束中， $r_i$为证券i的期望收益， $E\left(r_p\right)$为组合的期望收益。

${\sigma }_p^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i^2{\sigma }_i^2}+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{w}_j{\sigma }_{ij}}}$(4)

式中， ${\sigma }_p^2$是投资组合的方差， ${\sigma }_i^2$是第i个资产的方差， $w_i$是第i个资产所占的投资比例， ${\sigma }_{ij}$是资产i和资产j的协方差 [2] [3] 。

本文通过东方财富数据中心选取五只股票，提取2024年1月2日至2024年3月28日每日收盘价数据作为研究对象。五只股票分别是计算机软件行业的科大讯飞(002230)、电力行业的长江电力(600900)、饮料行业的五粮液(000858)、基本金属行业的中国铝业(601600)、贸易行业的中国中免(601888)。部分数据展示见 表1 。

续表

以股票收益最大化为目标，故利用五只股票的收盘价数据计算出收益率，部分数据见 表2 。

相关系数是反映两个变量之间相关关系的程度，是两个变量之间线性关系的度量。相关系数的值越接近1，说明两个变量之间的相关性越强；相关系数的值越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。当两只股票的相关系数大于0时，则两只股票呈正相关，当两只股票的相关系数小于0时，则两只股票呈负相关，股票之间相关系数的大小影响投资组合模型的方差大小，也影响股票投资组合的风险分散化程度。两只股票之间的相关系数越小，股票投资组合的标准差和方差也越小，故股票投资组合分散化的效果越好，两只股票之间的相关系数越大，股票投资组合的标准差和方差也越大，故股票投资组合分散化的效果越差。

首先利用EViews 10软件计算五只股票两两之间的相关系数，见 表3 。

从 表3 可以看出：以长江电力为例，选取的五只股票中，只有股票中国铝业与长江电力的相关系数值大于0，故中国铝业与长江电力呈正相关。其余三只股票与长江电力的相关系数值均小于0，故长江电力与股票科大讯飞、五粮液、中国中免均表现为负相关。就相关系数绝对值大小来看，长江电力与股票中国铝业之间的相关系数值较大，故长江电力与中国铝业两只股票的投资组合分散化效果较弱，且两只股票的相关系数值接近1，说明长江电力与科大讯飞两只股票之间的相关性较强。反之，长江电力与股票科大讯飞之间的相关系数值较小，故长江电力与科大讯飞两只股票投资组合分散化的效果较强，且两只股票的相关系数值较小，说明长江电力与科大讯飞两只股票之间的相关性较弱。

以五粮液为例，选取的五只股票中，有三只股票与其相关系数值大于0，分别是股票科大讯飞、中国铝业、中国中免，故股票科大讯飞、中国铝业、中国中免均与五粮液呈正相关关系，股票长江电力与五粮液之间的相关系数值小于0，则说明五粮液与股票长江电力呈负相关关系。就相关系数绝对值大小来看，五粮液与中国中免的相关系数值较大，故五粮液与中国中免两只股票的投资组合分散化效果较弱，且两者股票的相关系数接近于1，说明五粮液与中国中免两只股票之间的相关性强。反之，五粮液与长江电力的相关系数值较小，故五粮液与长江电力两只股票投资组合分散化的效果较强，且两者股票的相关系数较小，说明五粮液与长江电力两只股票之间的相关性较弱。以此类推，可得出五只所选股票两两之间的相关关系程度以及股票投资组合风险分散化的效果大小 [4] 。

均值和标准差方差是描述一个总体的两个统计量，用来衡量一组数据的平均水平，用来衡量一组数据在总体中所占比例，用来衡量一组数据的离散程度。通常，由马科维茨投资组合模型可知，标准差与方差越大，说明股票的投资风险越大，投资的收益波动越大，该股票投资者的收益越不稳定。

利用EViews 10软件分别计算出五只股票的均值(平均收益率) (从2024年1月2日至2024年3月28日)，见 表4 ，然后分别计算出五只股票的标准差和方差，见 表5 和 表6 。

从 表5 和 表6 可以看出，长江电力的标准差与方差最小，故长江电力的投资风险最小，投资的收益波动最小，该股票投资者的收益在五只股票中最稳定；科大讯飞在五只股票中的标准差与方差最大，故科大讯飞的投资风险最大，投资的收益在五只股票中波动最大，该股票投资者的收益在五只股票中最不稳定。以此类推，由标准差和方差的大小可以得出剩余三只股票的投资风险排名、投资收益波动幅度的排名，投资者收益稳定性的排名从小到大分别是五粮液、中国铝业、中国中免 [4] 。

计算协方差是利用马科维茨模型的一个重要步骤，是实现投资组合选择的基础。协方差是对收益的非对称分布，即对收益进行非对称分析时得到的方差。协方差矩阵和期望方差矩阵一样，也具有对称性。

在马科维茨模型中，计算协方差时必须用到马科维茨风险模型中的一个重要性质：期望收益率大于零。也就是说，投资组合中必须有一个或几个股票有正的期望收益率，否则不能实现预期收益。协方差越大，说明两只股票的相关性越强，该股票投资者所面临的风险也越大，简单来说，当协方差大于0时，说明两只股票中一只股票表现为盈利，另一只股票亏损；当协方差小于0时，说明两只股票表现为同时盈利或亏损；当协方差等于0时，则表现为两只股票的投资组合没有相关性。通过EViews 10软件计算出五只股票间的协方差，如下 表7 所示。

以中国铝业为例，从上表可以看出，中国铝业与长江电力、科大讯飞、五粮液、中国中免四只股票的协方差均大于0，故股票中国铝业与其余四只股票的投资组合均表现为一只盈利，一只亏损，则股票中国铝业与剩余四只股票的投资组合均没有表现为同时盈利或亏损的情况。其中，中国铝业与股票中国中免的协方差值最大，说明中国铝业与中国中免的股票投资组合与其他四只股票的投资组合相比相关性最强。

以科大讯飞为例，从上表可以看出，科大讯飞与四只股票之间的协方差值均大于0或等于0，则科大讯飞与长江电力、五粮液、中国铝业、中国中免四只股票的投资组合均表现为一只盈利，一只亏损的情况。其中，科大讯飞与股票中国中免的协方差值最大，说明科大讯飞与中国铝业的股票投资组合与其他四只股票的投资组合相比相关性最强。以此类推，可以分别得出其他三只股票与其自身的最强相关性投资组合，分别是长江电力与中国铝业、五粮液与中国中免、中国中免与科大讯飞以及五粮液 [4] 。

马科维茨模型假设投资者是理性的，能够处理不确定性和风险，并追求期望效用最大化。然而，实际中投资者可能受到心理和行为偏差的影响，导致决策偏离理性。

该模型还假设市场是完全竞争的，但现实中市场往往存在不完全竞争的情况，投资者难以获得完全的信息和准确的预期收益率和风险。

马科维茨模型主要使用历史数据来测量风险，但这种方法可能无法准确反映未来的风险。该模型使用标准差(即波动率)来衡量风险，但标准差既包含了价格下降产生的风险，也包括了价格上涨带来的机会，这可能并不完全符合投资者对风险的定义。

此外，模型未考虑到不同投资者对风险的承受能力和偏好可能不同。

当股票数量基数特别大时，计算证券的协方差矩阵将变得极为复杂，这限制了模型在大型投资组合中的应用。模型对输入变量的准确性要求较高，而统计估计方法在计算期望数据时可能会产生误差，影响最终的投资组合方案。模型存在“蝴蝶效应”，即输入的细微变化可能导致输出结果的巨大差异，这使得模型在实际应用中的稳定性受到挑战。

虽然马科维茨模型为投资者提供了一种科学的投资组合选择方法，但在实际操作中，由于市场的不确定性和交易成本等因素，投资者很难完全按照该模型进行操作。

重新配置投资组合可能涉及高成本，有时维持现状而非急于调整可能是更明智的选择。

综上所述，虽然马科维茨模型为股票投资组合研究提供了一种理论框架，但在实际应用中需要考虑到其局限性，并结合实际情况进行灵活调整。