在计算机视觉的相关领域中，寻找使模型点集(即移动点集)与目标点集(即固定点集)这两组点之间最优对齐的变换是一个基本而重要的问题，被称为点集配准问题，其求解主要分为获取对应关系和估计变换参数两个部分。点集配准作为计算机视觉的关键组成部分，已被应用于众多领域，如图像配准 [1] 、遥感 [2] 、目标识别 [3] 等。在非刚性点集配准中，两个点集对齐的变换未知，求解难度大，且点集可能含有变形、噪声等失真使其求解更加复杂，因此，学者们提出了不同的方法来解决点集配准问题。

近年来，将非刚性点集配准看作概率密度估计问题，其中概率密度函数使用高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)，在非刚性点集配准模型中得到了广泛的应用。使用GMM求解点集配准的算法有两类：一类是用两种高斯混合分别表示模型点集和目标点集，通过最小化两种高斯混合之间的差异来解决点集配准问题 [4] ；另一类是将一个点集表示为高斯混合建模的模板密度，另一个点集作为样本数据，然后将点集配准解释为混合密度估计问题，采用期望最大化(Expectation Maximization, EM)算法 [5] [6] 解决，其中本文关于非刚性点集配准问题的求解属于第二类。

1998年由Gold [7] 等人提出鲁棒点匹配(Robust Point Matching, RPM)算法，后面由Chui [8] 等人对RPM算法进行优化，该文献研究表明，RPM算法中点集之间对应关系的估计和空间变换的更新相当于GMM中EM算法的实现，实际上，很多学者如Cross和Hancock [9] ，Luo和Hancock [10] 等都是将点集配准问题转化为基于GMM的最大似然(maximum likelihood estimation, ML)估计问题。2010年，Myronenko等人 [6] [11] 针对刚性和非刚性点集配准提出了相干点漂移(Coherent Point Drift, CPD)算法，该算法通过最大化似然函数将高斯混合模型的中心(即模型点集)拟合到数据(即目标点集)，并约束高斯混合模型的中心需一致性移动，以保持点集的拓扑结构。CPD算法对点集配准具有较显著的鲁棒性，其中鲁棒性指的是在当点集含有噪声、遮挡等失真时，该算法都能较准确的估计两个点集的对应关系。

本文借鉴Myronenko等人的思想，在CPD算法基础上，使用EM算法进行模型的求解，并在迭代过程中对引入的Tikhonov正则化框架中核函数的参数以一定步长逐步减小的方法对模型进行迭代求解，进而优化了非刚性点集配准的模型，提高点集配准结果的精度。

本文将 $X$与 $Y$两个点集之间的配准看作概率密度估计问题，其中 $X$表示GMM质心， $Y$表示由GMM生成的数据点，GMM拟合观测数据点集 $Y$，这样GMM密度的质心约束转化为模型点 $\mathrm{T}\left(X\right)$，在最优状态下，两个点集对齐，并利用给定数据点的GMM后验概率的最大值得到对应关系。

给定两个点集，分别为含有N个点的模型点集 $X={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_M\right)}^{\text{T}}\in R^{M\times D}$以及含有M个点的目标点集 $Y={\left(y_1,y_2,\cdots ,y_M\right)}^{\text{T}}\in R^{M\times D}$，其中每一个点用 $1\times D$的行向量表示，D表示空间维数。点集配准的目的是估计两个点集之间的对应关系以及变换 $\mathrm{T}:I{R}^D\to I{R}^D$，该变换T作用于 $X$，使得点集 $Y$与变换后的 $\mathrm{T}\left(X\right)$最佳对齐。

在本文中引入一组潜在变量 $Z=\left\{z_m\in {{\rm N}}_{N+1}:m\in {{\rm N}}_M\right\}$，其中 $z_m=n$， $1\le n\le N$表示观测值 $y_m$与模型点 $x_n$相匹配，而 $z_m=N+1$表示观测值 $y_m$为离群值，则GMM概率密度函数可以表示为：

$P\left(y_m\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N+1}{\sum }}P\left(z_m=n\right)P}\left(y_m|z_m=n\right).$(1)

其中 $P\left(y_m|z_m=n\right)$为正态分布密度函数，即

$P\left(y_m|z_m=n\right)=\frac{1}{2\pi {\delta }^2}{\text{e}}^{-\frac{{\Vert y_m-\mathrm{T}\left(x_n\right)\Vert }^2}{2{\delta }^2}}.$(2)

本文对所有GMM分量使用相等的各向同性协方差 ${\delta }^2$，文献 [12] 中使用全高斯模型，需要注意的是，数据中各向异性高斯噪声的一个更一般的假设。假设离群值分布 $P\left(y_m|z_m=N+1\right)$为均匀分布，本文将离群概率密度设为1/a，其中a在二维空间中表示面积，在三维空间中表示体积。GMM的概率密度函数被表示为：

$P\left(y_m|\eta \right)=\gamma \frac{1}{a}+\left(1-\gamma \right){\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{C_{mn}}{{\left(2\pi {\delta }^2\right)}^{D/2}}{\text{e}}^{-\frac{{\Vert y_m-\text{T}\left(x_n\right)\Vert }^2}{2{\delta }^2}}}.$(3)

其中 $\gamma \in \left[0,1\right]$表示异常值的百分比， $C_{mn}$表示GMM的隶属度概率，本文设 $C_{mn}=1/M$使得 ${\displaystyle \underset{m=1}{\overset{M}{\sum }}{C}_{mn}}=1$， $\eta =\left\{\mathrm{T},{\delta }^2,\gamma \right\}$为一组未知参数。

使得两个点集对齐的变换T是未知的和非刚性的，其变换广泛，可能会导致一个不适定问题，因此，使用Tikhonov正则化框架来解决该问题。在Tikhonov正则化框架中，变换T可以定义为

$T\left(X\right)=X+\mathrm{v}\left(X\right).$(4)

其中 $\mathrm{v}\left(X\right)=GW$表示位移函数，本文对位移函数进行正则化以加强该函数的平滑性。关于非刚性点集变换T的求解可以通过最小化负对数似然函数来估计：

$\begin{array}{c}L\left(\eta ,{\eta }^{old}\right)=\frac{1}{2{\delta }^2}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{M}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}P\left(z_m=n|y_m,{\eta }^{old}\right){\Vert y_m-\mathrm{T}\left(x_n\right)\Vert }^2}}+\frac{M_{p}D}{2}\ln {\delta }^2\\ -M_p\ln \left(1-\gamma \right)-\left(M-M_p\right)\ln \gamma +\frac{\lambda }{2}\phi \left(\mathrm{v}\right).\end{array}$(5)

其中 ${\eta }^{old}$表示当前的参数值， $M_p={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{M}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}P\left(n|y_m,{\eta }^{old}\right)}}\le M$， $\lambda$为正则化参数， $\phi \left(v\right)$是一个相干约束，

$\phi \left(v\right)=tr\left(W^{\text{T}}GW\right).$(6)

其中 $W$是一个系数矩阵， $G$是一个核矩阵， $G$的第 $\left(i,j\right)$个元素 $G_{ij}=\exp \left\{-\frac{{\Vert x_i-x_j\Vert }^2}{2{\beta }^2}\right\}$， $tr(\cdot )$表示矩阵的迹。

估计混合模型的参数有几种方法，如EM算法、梯度下降和变分推理。EM算法 [13] 是一种在潜在变量的背景下进行学习和推理的技术，它在期望步骤(E-step)和最大化步骤(M-step)两个步骤之间交替进行。下面讨论通过EM算法在E-step和M-step迭代求解未知变量 $\gamma ,{\delta }^2,\mathrm{T}$。

为了评估所提出的在CPD算法基础上对参数 $\beta$进行迭代求解方法的有效性，对改进算法进行实验并与CPD算法进行定量比较，其中CPD算法的实现是使用公开的代码。本文实验是在MATLAB R2022a软件上进行的，与原始的CPD算法相比，本文算法在合成数据中得到更优的结果。

本文受GMM模型中的方差设置的启发，将核函数中的标准差 $\beta$通过类似模拟退火的方法在迭代过程中逐渐缩小，从而优化了位移函数模型。合成数据实验结果表明，优化模型后的方法与CPD算法对点集变形、噪声和缺失的失真都具有鲁棒性，并且其配准误差更小；优化模型后点集配准的变换求解精度更高，更接近真实变换，整体效果更优。由于其改进算法鲁棒性相较于CPD算法并没有明显的改进，未来考虑进一步对点集配准算法中的各类失真情况的鲁棒性进行改进。