VMD是一种自适应、非递归的模态分解和信号处理方法。将全球气温序列分解成多个模态，每个模态代表了不同的时间气温尺度，通过分析不同模态的特征来预测未来全球气温的趋势和变化趋势。通过VMD分解，有利于降低建模复杂度，不移受到噪声干扰，提供预测精度。

VMD方法的优化问题如下所示：

$\{\begin{array}{l}\underset{u_k,{\omega }_k}{\min }\left\{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{\Vert {\partial }_t\left[\left({\delta }_t+\frac{j}{\pi t}\right)\ast u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{w}_{k}t}\Vert }_2^2}\right\}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{u}_k}=f\left(t\right)\end{array}$(1)

其中， $\left\{u_k\right\}=\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}$， $\left\{{\omega }_k\right\}=\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_k\right\}$分别表示分解后第k个本征模态函数与对应的中心频率；K表示提前设置的本征模函数总数； ${\partial }_t$表示对t进行微分处理； ${\delta }_t$为冲激函数，该函数在零点附近无限大，在除零点外的其他点的值都为0； $f\left(t\right)$代表原始信号经过局部加权回归后得到的信号。

为求得上述问题的最优解，引入增广拉格朗日函数L将约束变分分解问题转换为无约束变分分解问题，得到无约束变分分解问题表达式：

$L\left(\left\{u_k\right\},\left\{{\omega }_k\right\},\lambda \right)=\alpha {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{\Vert {\partial }_t\left[\left({\delta }_t+\frac{j}{\pi t}\right)\ast u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{w}_{k}t}\Vert }_2^2}+{\Vert f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{u}_k\left(t\right)}\Vert }_2^2+\langle \lambda \left(t\right),f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{u}_k\left(t\right)}\rangle$(2)

其中，α为二次惩罚因子， $\lambda \left(t\right)$为Lagrange乘数因子。为得到Lagrange函数的极值点，使用交替方向乘子算法进行迭代搜索，从而得到各本征模态函数及其中心频率：

${\hat{u}}_k^{n+1}\left(\omega \right)=\frac{\hat{f}\left(\omega \right)-{\displaystyle \underset{i<k}{\sum }{\hat{u}}_i^{n+1}\left(\omega \right)}-{\displaystyle \underset{i>k}{\sum }{\hat{u}}_i^n\left(\omega \right)}+\frac{\hat{\lambda }\left(\omega \right)}{2}}{1+2\alpha {\left(\omega -{\omega }_k^n\right)}^2}$(3)

${\hat{\omega }}_k^{n+1}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\omega {\left|{\hat{u}}_k^{n+1}\left(\omega \right)\right|}^2\text{d}\omega }}{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left|{\hat{u}}_k^{n+1}\left(\omega \right)\right|}^2\text{d}\omega }}$(4)

具体迭代步骤如下：

1) 初始化 $\left\{u_k^1\right\},\left\{{\omega }_k^1\right\},\left\{{\lambda }_k^1\right\}$， $n=0$，并选取适当的本征模函数总数K；

2) 通过公式(3)和(4)更新 $u_k$和 ${\omega }_k$；

3) 频率在非负范围内时更新λ的值：

${\hat{\lambda }}^{n+1}={\hat{\lambda }}^n+\tau \left[\hat{f}\left(\omega \right)-{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\hat{u}}_k^{n+1}\left(\omega \right)}\right]$(5)

4) 给定精度 $\epsilon >0$，若满足：

$\frac{{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\Vert {\hat{u}}_k^{n+1}-{\hat{u}}_k^n\Vert }_2^2}}{{\Vert {\hat{u}}_k^n\Vert }_2^2}<\epsilon$(6)

则停止迭代，否则返回步骤2。

通过以上步骤可以得到VMD分解后的各本征模态函数IMFS以及残差项R。

LSTM是一种具有长期依赖捕捉能力强 [11] 、灵活性和适应性好、稳定性高等优势的神经网络模型。在LSTM每个单元结构中共包含3个门：遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$和输出门 $o_t$。遗忘门通过学习得到合适的遗忘比例，使得模型能够根据当前的输入和上一时刻的单元动态地决定遗忘或保留哪些信息，丢弃非关键信息；输入门控制本时刻输入和上一时刻隐藏状态中哪些信息会添加进单元中；输出门控制单元中哪些信息会输出给隐藏状态。

设当前时刻为t，输入为 $x_t$， $s_{t-1}$为上一时刻的记忆单元状态， $h_{t-1}$为上一时刻网络输出， $s_{t-1}$和 $h_{t-1}$共同完成对历史信息的传递。LSTM各单元计算公式如下所示。

$f_t=\sigma \left(W_f\left[h_{t-1},x_t\right]+b_f\right)$(7)

$i_t=\sigma \left(W_i\left[h_{t-1},x_t\right]+b_i\right)$(8)

$o_t=\sigma \left(W_o\left[h_{t-1},x_t\right]+b_o\right)$(9)

${\hat{s}}_t=\tanh \left(W_s\left[h_{t-1},x_t\right]+b_s\right)$(10)

$s_t=f_t{s}_{t-1}+i_t{\hat{s}}_t$(11)

$h_t=o_t\tanh s_t$(12)

其中，W为各个门的权重向量，b为偏置向量，σ为sigmoid函数，tanh为双曲正切函数。

为了衡量模型的预测效果，本文选用拟合系数R²、平均绝对百分比误差(Mean Absolute Percentage Error, MAPE)和均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)对模型的预测效果进评估，具体计算如式(13)、式(14)、式(15)所示：

${\text{R}}^2=1-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(y_t-{\hat{y}}_t\right)}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(y_t-{\bar{y}}_t\right)}}$(13)

$\text{MAPE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left|y_t-{\hat{y}}_t\right|}{y_t}}\times 100\%$(14)

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_t-{\hat{y}}_t\right)}^2}}{n}}$(15)

式中，n为样本量； $y_t$、 ${\hat{y}}_t$和 ${\bar{y}}_t$分别表现时刻数据的真实值、平均值与预测值。

首先采用VMD对全球月平均气温进行分解，其中将分解层数 $K=7$，二次惩罚因子 $\alpha =500$，初始中心频率 $\omega =0$，收敛判据 $e={10}^{-7}$。分解结构如 图2 所示。

由 图2 可知，本文通过VMD分解将全球平均气温分离成了7个分量。IMF1与全球平均气温的变化趋势保持一致，它是VMD分解出的全球平均气温的发展趋势；IMF2、IMF3与IMF4包含全球平均气温的周期性与季节性信息，它们在0.25到−0.25间呈现一定规律性变化。而IMF5、IMF6与IMF7只是在较小数值间波动，它们是VMD分解出的非稳定性波动。将影响全球平均气温变化的分量进行剥离成7个分量后，利用LSTM对每个分量进行一步预测。

本研究以前一年的全球月平均气温(共12个采样点)作为输入，预测未来一个月的全球月平均气温值，将前70%的数据作为训练集，后30%的数据作为测试集。现对全球月平均气温原始序列与7个VMD分量建立LSTM预测模型。得全球平均气温与部分VMD分量预测效果图与全球平均气温与部分VMD分量预测误差表。

从 图3 中可知，子图a中LSTM能较好地预测出全球平均气温的发展趋势，但在气温变化的突变上仍存在一定差异，说明LSTM对于全球平均气温的精度仍存在不足。子图b、c、d分别是VMD分量1、VMD分量4与VMD分量7的预测效果图，从效果图中可知，分量的预测效果能较好地把握住VMD分量的变化趋势。

由 表1 可知原序列与各VMD分量的预测误差，从预测误差来看，原序列的拟合系数与RMSE要低于VMD各分量的拟合系数，原序列的MAPE却比VMD各分量的MAPE要小很多，这是由于原序列经过VMD分解后分量的数值要远小于原序列，所以将导致分量的MAPE偏大。结合三种评价指标结果分析，分量的预测效果优于原序列的预测效果。

将VMD分类预测结果重组，后得到LSTM与VMD-LSTM的全球气温预测对比图。

由 图4 可知，VMD-LSTM预测气温十分接近真实的全球平均气温，而LSTM预测气温与真实气温则有真实气温高预测气温低的情况，相较于VMD-LSTM的预测结果LSTM的预测还存在较大偏差。因此，VMD-LSTM组合的预测效果要优于单LSTM的预测结果。以上两种预测算法的误差如 表2 所示。

从 表2 可知，VMD-LSTM预测模型的R²比LSTM的R²高0.034，且MAPE与RMSE都要小于单LSTM预测模型，说明VMD-LSTM的预测效果更好。

现将LSTM、VMD-LSTM、GRU与LSTM-GRU4种预测算法进行比较，验证VMD在面对序列中存在非稳态因子具有一定优越性。上述4中算法的预测曲线如 图5 所示，误差评价指标结果如 表3 所示。

图5 可知，经过VMD处理后的气温预测模型的拟合效果更佳，它们更贴合真实值。结合了VMD的预测模型的误差指标都得到了降低，其中，结合VMD的LSTM模型R²提升0.034，MAPE降低了11.2%，RMSE降低了12.3%，结合VMD的GRU模型R²提升了0.036，MAPE降低了11.0%，RMSE降低了12.1%。说明，在全球气温预测上VMD分解后的预测结果精度更高，基于VMD分解后的深度学习组合预测模型能更好地学习到序列中非稳态性波动。预测结果表明，VMD-LSTM的预测效果最好，其R²为0.872，MAPE为0.664%，RMSE为0.121。VMD-LSTM预测效果与VMD-GRU差距不大，总体上VMD与神经网络的组合预测模型要由于其单神经网络预测模型。