本文数据来自《中国统计年鉴》–国民经济核算–地区生产总值板块数据，时间跨度1998年~2022年25年间的数据，包含全国人均GDP、重庆市人均GDP、生产总值构成及指数(上年100)等，部分数据结构如 表1 所示。

1998年以来，重庆市人口从3060万增长到2022年的3213万，25年间人口增长153万(5.0%)；重庆市GDP从1429.3亿元增长到2022年的29,129亿元，25年间GDP增长27699.7亿元(19.4倍)。

如 图1 所示，结合地区生产总值指数分析。从1998年到2022年，重庆市人均GDP持续走高，从1998年的人均4670元，到2005年首次突破万元大关人均10,982元，再到2022年的人均90,663元，直辖25年来，人均GDP增长了18.4倍，增长速度可观。25年期间人均GDP指数(上年100)出现了5个小高峰，分别是2004年(133.3)、2009年(127.2)、2011年(125.0)、2019年(115.0)、2021年(111.1)，呈现出3个比较完整的经济周期，1998年到2004年行政独立初期经济增长缓慢；2005年到2011年，历经了7年探索逐步找到经济发展的方向，这个阶段经济迎来了高速增长；2011年至今，经济增长速度放缓，特别是疫情三年，人均GDP增长速度波动，艰难前进，但人均GDP整体呈现稳步增长的良好态势。

从产业结构看，GDP主要由第一、二、三产业构成，我国的三次产业划分是：第一产业主要指农业，包括渔业、畜牧业、林业和种植业等；第二产业主要指工业，其中包括制造业、建筑业等；第三产业主要是指服务业，具体包括金融业、旅游业、房地产业等 [5] 。

如 图2 所示，结合地区生产总值构成分析。1998年到2022年，重庆市国内生产总值构成不断发生变化并趋于稳定。党的十八大以来，重庆市坚持把经济结构调整作为转型发展的关键，三次产业总产值由1998年的21:41:38发展为2022年的7:40:53，呈现一、二产业总产值下降，三产业总产值提升的产业发展趋势。总产值的构成变化主要分为三个阶段，第一阶段是1998年到2004年，生产总值结构相对稳定，第一产业生产总值占比小幅度下降，第二、三产业生产总值占比相当，总产值构成结构没有较大的波动；第二阶段是2005年到2011年，第二产业发展迅猛，占国内生产总值的比例迅速提升，从2005年的41%到2011年的55%，增长14 pp，尤其是汽车摩托车行、装备制造业、材料工业等支柱产业发展速度显著；第三个阶段是2012年到2022年，第三产业发展迅速，在2014年第三产业占比反超第二产业位居首位并一直保持至今，第一、二产业生产总值占比逐年下降，近几年趋于稳定。

如 图3 所示，从全国各省市横向比较。2022年全国人均GDP为84,461元，同比增长4.3%，重庆市人均GDP为90,663元，同比增长4.4%，重庆市人均GDP高于全国平均水平7.3%，增长速度与全国平均水平持平。全国TOP 3省市分别为北京市(190,313元/人)、上海市(179,907元/人)、江苏省(144,390元/人)，重庆市全国排名第十，处于中上游水平，但与全国排名前列的省市相比，依然存在较大的差距。

如 图4 所示，从人均GDP排名前三省市的国内生产总值构成情况对比分析。北京市、上海市、江苏省三个省市的第三产业均超过50%，尤其是北京市第三产业占比83.9%，上海市第三产业占比74.1%，第三产业发展相对成熟，是地区生产总值的主要来源。但是同为直辖市的重庆第三产业仅53%，低于北京30.9 pp、上海21.1 pp，第三产业发展不充分。重庆市的生产总值结构与江苏基本相似，但江苏省的GDP总量却是重庆市的4.2倍，人口仅是重庆市的2.7倍，人均GDP相差甚远，进一步说明重庆市的第三产业发展不充分。

如 图5 所示，从第三产业细分行业的人均增加值分析。四个省市的行业人均增加值，发展结构基本相当，明显差异表现在金融业和其他两个行业。就房地产行业而言，北京和上海的房地产行业发展结构更为接近，江苏和重庆的房地产发展结构更为相似，但总体情况差距不明显；就住宿和餐饮业，交通运输、仓储和邮政业，批发和零售业三个行业而言，四个省市发展基本相当；就个性化发展其他类行业而言，北京的个性化其他类行业发展异军突起，远超其他三个省市；就金融行业而言，上海与北京的金融行业难分伯仲，重庆市与江苏省金融业发展类似，比较靠后。而城市经济的发展，就行业的人均增加值而言，拉开差距的主要集中在城市个性化发展的其他类别行业和金融业两个行业，重庆市均表现欠佳。

经济的发展离不开劳动力，而人口结构的变化直接影响到劳动力的供给和需求 [6] 。如 图6 所示，从人口结构情况分析，重庆的劳动人口比例为67.13%，与优势省市相比劳动力短缺，特别是北京(72.82%)和上海(71.56%)，劳动人口比例均超过70%，明显高于重庆，重庆劳动力不足，制约了生产力的发展，使经济增长速度受到限制。重庆的总负担系数为48.96%，远高于北京(37.33%)和上海(39.74%)；重庆负担少儿系数21.70%，高于三个优势省份，从长远来看，劳动力的储备较其他省市相对充足；重庆负担老年系数为27.26%，同样高于三个优势省份，特别是北京仅20.76%。较低的劳动人口比例和较高的负担系数，导致重庆的整体劳动力短缺，制约经济增长，经济发展速度稍缓。

生活中的时间序列大部分都是非平稳序列，但在时间序列分析中研究的对象往往都是在平稳序列的基础上。目前对于平稳序列的研究及建模方法都较为完善，相对成熟，那非平稳序列如何转化为平稳序列，且尽可能多地提取它的随机信息 [7] 。Cramer分解定理中表明，序列中的确定性信息能够通过差分方法进行充分的获取 [8] 。 $d$阶差分表示：

${\nabla }^d{x}_t={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{d}{\sum }}{\left(-1\right)}^{i+1}{C}_d^i{x}_{t-i}}$

求和自回归移动平均模型的结构如下所示，简记为ARIMA(p, d, q)：

${\nabla }^d{x}_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{x}_{t-1}+{\varphi }_1{x}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}-\cdots -{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$

模型中有三个限制条件：

1) ${\varphi }_p$、 ${\theta }_q$不能同时为零。

2) $E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_{\epsilon }^2,E\left({\epsilon }_s\cdot {\epsilon }_t\right)=0,\left(s\ne t\right)$，要求随机干扰项为零均值的纯随机序列。

3) $E\left({\epsilon }_s\cdot {\epsilon }_t\right)=0,\forall s<t$，过去的序列值与当期的干扰项无相关性。

其实，ARIMA模型就是进行差分后的ARMA模型，模型的条件和性质与ARMA保持一致。所以在实际应用中遇到非平稳的时间序列，通常是将非平稳的时间序列通过差分运算转化为平稳的时间序列，继而对平稳的时间序列进行建模分析 [9] 。

通常按照自相关系数和偏自相关系数标准差的2倍进行判断。假如一个样本的相关系数在最初的 $n$阶超过2倍标准差，但是后面阶的相关系数都在2倍标准差的范围内，且变化的过程非常突然，就可以判定为截尾，截尾的阶数为 $n$。如果衰减的过程比较缓慢或者是连续的，就可以判定为拖尾，拖尾的阶数为 $n$ [10] 。ARMA模型确定阶数的基本原则如 表2 所示。

第一步平稳性检验。观测值序列是否平稳，如果序列非平稳，则按上述方式通过差分运算将序列转化为平稳时间序列，如果序列为平稳序列，那么将对序列进行纯随机性检验。

第二步纯随机性检验。当序列为纯随机序列，序列之间没有联系，结束分析。

第三步当序列是非纯随机序列。通过拟合ARIMA模型，根据自相关系数图和偏自相关系数图，选择合适的ARIMA(p, d, q)模型参数，随后进行拟合分析。

第四步对模型进行有效性检验。如果模型通过检验，结束分析；如果模型未通过，则回到步骤三，对模型进行重新拟合分析。建模的基本步骤如 图7 所示。

下面就是通过时间序列分析，对重庆市1998年到2022年的人均GDP进行分析建模，最后预测未来5年的人均GDP情况。首先绘制1998年到2022年重庆市人均GDP的时序图，由 图8 观测，时序图为非平稳时间序列，且带有一定的指数趋势，同时未见明显的周期特征，仅需对序列进行简单的差分方法，就可以将非平稳序列转化为平稳的时间序列。

先对时间序列做一阶差分运算，如 图9 所示，发现一阶差分后的序列并未表现明显的平稳特征，

说明还需进一步做差分运算处理。再次对序列做差分运算，通过二阶差分之后，如 图10 所示，发现序列波动在0水平线，表明在二阶差分之后，序列趋于平稳。同时，延迟6期和12期的 $Q_{LB}$统计量的 $p$值分别为0.0008285和0.007177，如 表3 所示，均小于显著性水平0.05，即以95%的置信水平拒绝纯随机性的假设，确定二阶差分后的序列为非纯随机序列，通过纯随机性检验。说明该序列存在相关性，能够进行下一步建模分析。

接下来，需要通过自相关系数图和偏自相关系数图确定模型的具体阶数。ACF图显示，1~2阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其他均在2倍标准差范围内，而且趋于0的速度比较突然，可以认定该序列的自相关系数为2阶截尾，如 图11 所示。然而PACF图显示，趋于0的过程比较缓慢，可以认定该序列的偏自相关系数为拖尾，如 图12 所示。

通过对残差序列的纯随机性检验，如 表4 所示。延迟6期和12期的 $Q_{LB}$统计量的 $p$值分别为0.4565和0.8744，均大于显著性水平0.05，即以95%的置信水平接受纯随机性假设，认为残差序列为纯随机序列，不包含任何有用信息，说明模型显著性成立。说明ARIMA(0, 2, 2)模型对该序列拟合成功。拟合模型为：

$x_t=2x_{t-1}-x_{t-2}+{\epsilon }_t+0.9209{\epsilon }_{t-1}-0.4641{\epsilon }_{t-2},{\epsilon }_t\sim N\left(0,3312257\right)$

使用最终得到的ARIMA(0, 2, 2)模型，预测未来5年重庆市的人均GDP，预测结果及其95%的置信区间如 表5 所示。

预测图如 图13 所示，其中黑色表示1998年到2022年实际重庆市人均GDP，蓝色表示2023年到2027年重庆市人均GDP的预测值，分别为97197.76元、102888.78元、108579.80元、114270.82元、119961.84元，灰色表示置信区间为95%的重庆市的人均GDP的预测值范围。根据预测结果，2024年重庆市人均GDP突破10万大关。