设 $X_{it}^{*}$为 $X_{it}^{}$的观测值，根据文献 [13] ，记

${\pi }_{kl}=p\left(X_{it}^{*}=k|X_{it}^{}=l\right),$(1)

其中 $k,l=0,1$。显然， ${\pi }_{00}$和 ${\pi }_{11}$为正确分类概率， ${\pi }_{10}$和 ${\pi }_{01}$为误分类概率， ${\pi }_{11}+{\pi }_{01}=1$， ${\pi }_{00}+{\pi }_{10}=1$。误分类存在时， ${\pi }_{10}$和 ${\pi }_{01}$不全为零。

令 $p_j^{*}=p\left(X_{it}^{*}=1\right)$， $q_j^{*}=1-p_j^{*}=p\left(X_{it}^{*}=0\right)$， $p_j$它们分别为质量检测过程中和 $q_j$的观测值，由全概率公式可得

$p_j^{*}={\pi }_{11}{p}_j+{\pi }_{10}{q}_j$(2)

$q_j^{*}={\pi }_{01}{p}_j+{\pi }_{00}{q}_j$(3)

整理式(2)和(3)得到

$\left(\begin{array}{c}{p}_j^{*}\\ q_j^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{\pi }_{11}\hfill & {\pi }_{10}\hfill \\ {\pi }_{01}\hfill & {\pi }_{00}\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_j\\ q_j\end{array}\right)={\displaystyle \prod \left(\begin{array}{c}{p}_j\\ q_j\end{array}\right)},$(4)

其中， $\prod =\left(\begin{array}{cc}{\pi }_{11}& {\pi }_{10}\\ {\pi }_{01}& {\pi }_{00}\end{array}\right)$为误分类矩阵。

由公式(4)可知，如果观测数据中存在误分类(即 ${\pi }_{10}或{\pi }_{01}\ne 0$)，那么 $p_j$和 $q_j$不等于其观测值 $p_j^{*}$和 $q_j^{*}$。且 ${\pi }_{10}$或 ${\pi }_{01}$越大时， $p_j$, $q_j$与 $p_j^{*}$, $q_j^{*}$的差异就越大。此外，带有误分类的不合格品率无偏估计为

${\hat{p}}_{j,t}^{*}\triangleq \frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_{it}^{*}}$， ${\hat{q}}_{j,t}^{*}=1-{\hat{p}}_{j,t}^{*}$。

根据文献 [12] [14] 可知二值型过程指标变量的DEWMA p图统计量如下：

$\{\begin{array}{c}{y}_{j,t}={\lambda }_1{\hat{p}}_{j,t}+{\lambda }_2{y}_{j,t-1},t\ge 1\\ y_{j,0}=p_j\\ z_{j,t}={\lambda }_1{y}_{j,t}+{\lambda }_2{z}_{j,t-1},t\ge 1\\ z_{j,0}=p_j\end{array},$(5)

其中 $t=1,2,\cdots ,\infty$， $j=0,1$； $p_j$是不合格品的比率， $t$时刻样本的不合格品率 $p_j$的无偏估计为 ${\hat{p}}_{j,t}$，平滑参数 ${\lambda }_1\in \left(0,1\right]$， ${\lambda }_2=1-{\lambda }_1$。图统计量 $z_{j,t}$的均值和方差分别为

$E\left(z_{j,t}\right)=p_j,$(6)

$Var\left(z_{j,t}^{}\right)=\frac{p_j^{}\left(1-p_j^{}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2t}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}.$(7)

如果过程处于OC状态，不合格品比率会向上漂移，高于IC状态，因此可将控制图的下控制限(LCL)设定为0，上控制限(UCL)设为

$UCL=p_j^{}+\rho \sqrt{\frac{p_j^{}\left(1-p_j^{}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2\text{t}}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}},$(8)

其中， $\rho$表示控制限系数。

本文称上述监控策略为DEWMA p控制图，当 $z_{j,t}$超出控制上限UCL时，DEWMA p控制图发出失控信号。

当质量过程的样本数据带有误分类时，记带有误分类的样本为 $X^{*}$，在公式(5)~(8)所示的DEWMA p控制策略中加入误分类的影响，构造带有误分类数据建模的DEWMA p统计量如下：

$\{\begin{array}{c}{y}_{j,t}^{*}={\lambda }_1{\hat{p}}_{j,t}^{*}+{\lambda }_2{y}_{j,t-1}^{*},t\ge 1\\ y_{j,0}^{*}=p_j^{*}\\ z_{j,t}^{*}={\lambda }_1{y}_{j,t}^{*}+{\lambda }_2{z}_{j,t-1}^{*},t\ge 1\\ z_{j,0}^{*}=p_j^{*}\end{array},$(9)

其中 $t=1,2,\cdots ,\infty$， $j=0,1$； $p_j^{*}$是误分类样本不合格品的比率， $p_j^{*}$在 $t$时刻的无偏估计为 ${\hat{p}}_{j,t}^{*}$，平滑参数 ${\lambda }_1\in \left(0,1\right]$， ${\lambda }_2=1-{\lambda }_1$。此时，图统计量 $z_{j,t}^{*}$的均值和方差分别为

$E\left(z_{j,t}^{*}\right)=p_j^{*},$(10)

$Var\left(z_{j,t}^{*}\right)=\frac{p_j^{*}\left(1-p_j^{*}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2t}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}.$(11)

对应的上下控制限为

${\text{UCL}}^{*}=p_j^{*}+{\rho }^{*}\sqrt{\frac{p_j^{*}\left(1-p_j^{*}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2\text{t}}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}},$(12)

${\text{LCL}}^{*}=0.$(13)

其中， $\rho *$为控制限系数，本文称此图为带有误分类数据建模的(Mis-DEWMA p)控制图，当 $z_{j,t}^{*}$超出控制上限 ${\text{UCL}}^{*}$时，Mis-DEWMA p控制图发出失控信号。

通过比较控制图Mis-DEWMA p与DEWMA p的控制限(计算方法见公式(12)与(8))可知，如果生产过

程存在误分类，那么在不合格品率 $p<\frac{1}{2}$时， $UC{L}^{*}>UCL$，这正是原本应处于OC状态的样本可能被错判为处于IC状态的原因，这里对不合格品率 $p<\frac{1}{2}$的要求显然是合理的。所以有必要对误分类样本数据

按照误分类概率进行修正，再作为控制图的输入，判断过程是否处于受控状态。

在公式(2)和(3)中，误分类矩阵 $\prod$的元素涉及到过程指标变量 $X$，因此通常是未知的。现有文献中 $\prod$的元素一般可利用辅助信息估计得到，其中一种常见的辅助信息是外部验证数据 [15] [16] 。这里我们利用外部验证数据 $r_1$、 $r_0$，也就是误分类的相对比率来确定误分类概率，估计 $\prod$中各元素的取值。

当过程指标变量 $X_{it}=1$时，误分类相对比率为

$r_1=\frac{{\pi }_{11}}{1-{\pi }_{11}},$(14)

显然 $r_1\in \left[0,\infty \right)$， $r_1$越大，说明产品被正确分类的概率越大。在给定 $r_1$后，可得 ${\pi }_{11}=\frac{r_1}{1+r_1}$， ${\pi }_{01}=\frac{1}{1+r_1}$。同理，当 $X_{it}=0$时， $r_0=\frac{{\pi }_{00}}{1-{\pi }_{00}}$， $r_0\in \left[0,\infty \right)$，给定 $r_0$，可得 ${\pi }_{00}=\frac{r_0}{1+r_0}$， ${\pi }_{10}=\frac{1}{1+r_0}$。所以，可得到误分类矩阵的估计，为方便起见仍记为 $\prod$，

$\prod =\left(\begin{array}{cc}\frac{r_1}{1+r_1}& \frac{1}{1+r_0}\\ \frac{1}{1+r_1}& \frac{r_0}{1+r_0}\end{array}\right).$(15)

到此，我们利用误分类概率量化了误分类，并借助外部验证数据计算了误分类矩阵 $\prod$，接下来将应用误分类矩阵进行误分类数据修正 [13] 。

显然 $\prod$与其估计值(公式(15))都是可逆矩阵，

${\left(\begin{array}{cc}{\pi }_{11}& {\pi }_{10}\\ {\pi }_{01}& {\pi }_{00}\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\pi }_{11}{\pi }_{00}-{\pi }_{10}{\pi }_{01}}\left(\begin{array}{cc}{\pi }_{00}& -{\pi }_{10}\\ -{\pi }_{01}& {\pi }_{11}\end{array}\right),$(16)

所以公式(4)等价于

$\left(\begin{array}{c}{p}_j\\ q_j\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\pi }_{11}& {\pi }_{10}\\ {\pi }_{01}& {\pi }_{00}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{p}_j^{*}\\ q_j^{*}\end{array}\right),$(17)

计算可得

$p_j=\frac{p_j^{*}-{\pi }_{10}}{1-{\pi }_{10}-{\pi }_{01}},$(18)

其中 $j=0,1$，式(18)给出了不合格品率 $p_j$的“修正”值，记为 $p_j^{**}$， $X_{it}$对应的修正观察值为 $X_{it}^{**}=\frac{X_{it}^{*}-{\pi }_{10}}{1-{\pi }_{10}-{\pi }_{01}}$。此外， $p_j^{**}$在 $t$时刻的无偏估计为 ${\hat{p}}_{j,t}^{**}\triangleq \frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_{it}^{**}}$。

2022年Chen和Yang (2022) [11] 提出了带有误分类修正的EWMA p控制图，用 ${\hat{p}}_{j,t}^{**}$修正 ${\hat{p}}_{j,t}^{}$，对应的EWMA p修正统计量为

${\text{EWMA}}_{j,t}^{**}=\lambda {\hat{p}}_{j,t}^{**}+\left(1-\lambda \right){\text{EWMA}}_{j,t-1}^{**},$(19)

其中， $t=1,2,\cdots ,\infty$， $j=0,1$；平滑参数 $\lambda \in \left(0,1\right]$。图统计量 ${\text{EWMA}}_{j,t}^{**}$的初始值 ${\text{EWMA}}_{j,0}^{**}=p_j^{**}$，上下控制限分别记为 $\text{UC <msup> L <mo> ′ </mo> </msup>}$和 $\text{LC <msup> L <mo> ′ </mo> </msup>}$，

$\text{UC <msup> L <mo> ′ </mo> </msup>}=p_j^{**}+\rho \sqrt{\frac{p_j^{*}\left(1-p_j^{*}\right)\lambda \left[1-{\left(1-\lambda \right)}^{2t}\right]}{n{\left(1-{\pi }_{10}-{\pi }_{01}\right)}^2\left(2-\lambda \right)}},$(20)

$\text{LC <msup> L <mo> ′ </mo> </msup>}=0,$(21)

其中， $\rho$表示控制限系数。我们把监控策略(19~21)称为MisC-EWMA p控制图，当 ${\text{EWMA}}_{j,t}^{**}$超出控制上限 $\text{UC <msup> L <mo> ′ </mo> </msup>}$时，MisC-EWMA p控制图发出失控信号。

如前所述，现有的DEWMA p控制图具有小飘移敏感性和小样本的宽容特性，但会受到样本数据误分类的影响；而MisC-EWMA p控制图修正了误分类，但由于EWMA控制图的共有特性对于过程的微小变化没有DEWMA敏感。因此，当样本数据带有误分类时，针对不合格品向上的微小漂移的监测问题，受文献的 [11] [12] 启发，我们将结合DEWMA p与MisC-EWMA p控制图的优点开发带有误分类修正的DEWMA p控制图。

根据公式(9) (12) (13) (18)，构建基于误分类修正的DEWMA p统计量为

$\{\begin{array}{c}{y}_{j,t}^{**}={\lambda }_1{\hat{p}}_{j,t}^{**}+{\lambda }_2{y}_{j,t-1}^{**},t\ge 1\\ y_{j，0}^{**}=p_j^{**}\\ z_{j,t}^{**}={\lambda }_1{y}_{j,t}^{**}+{\lambda }_2{z}_{j,t-1}^{**},t\ge 1\\ z_{j，0}^{**}=p_j^{**}\end{array},$(22)

其中， $t=1,2,\cdots ,\infty$， $j=0,1$；平滑参数 ${\lambda }_1\in \left(0,1\right]$， ${\lambda }_2=1-{\lambda }_1$。图统计量 $z_{j,t}^{**}$的均值和方差分别为

$E\left(z_{j,t}^{**}\right)=p_j^{**},$(23)

$Var\left(z_{j,t}^{**}\right)=\frac{p_j^{*}\left(1-p_j^{*}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2t}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\pi }_{10}-{\pi }_{01}\right)}^2{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}.$(24)

上下控制限分别为

${\text{UCL}}^{**}=p_j^{**}+{\rho }^{**}\sqrt{\frac{p_j^{*}\left(1-p_j^{*}\right){\lambda }_1^4\left[1+{\lambda }_2^2-{\left(t+1\right)}^2{\lambda }_2^{2\text{t}}+\left(2t^2+2t-1\right){\lambda }_2^{2t+2}-t^2{\lambda }_2^{2t+4}\right]}{n{\left(1-{\pi }_{10}-{\pi }_{01}\right)}^2{\left(1-{\lambda }_2^2\right)}^3}},$(25)

${\text{LCL}}^{**}=0,$(26)

其中， ${\rho }^{**}$表示控制限系数 $\rho$的修正值。

本文称公式(22) (25) (26)为MisC-DEWMA p控制图模型，当 $z_{j,t}^{**}$超出控制上限 ${\text{UCL}}^{**}$时，MisC-EWMA p控制图发出失控信号。