摆线的参数方程为：

$\{\begin{array}{l}x=a\left(\theta -\sin \theta \right)\\ y=a\left(1-\cos \theta \right)\end{array}$

摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。a为圆的半径， $\theta$是圆的半径所经过的弧度(滚动角)，当 $\theta$由0变到 $2\pi$时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

见 图1 为 $a=2,\theta :0\to 2\pi$的图像。

摆线在生活中较为常见，补充两种特殊摆线：心形线(外摆线的一种)、星形线(内摆线的一种)摆线图像作为一种直观的几何表示，能够将摆线的复杂概念转化为可视化的形式，使学生更易于理解和掌握。例如，通过摆线图像，学生可以直观地观察到摆线的周期性、对称性等特点，从而深入理解摆线的定义和性质。通过观察和学习具有独特的几何美感和动态特性的摆线图，将复杂的数学方程以直观、生动的方式呈现出来，有助于学生更好地理解和接受，提升空间想象能力。

心形线的参数方程为：

$\{\begin{array}{l}x=16\sin 3t\\ y=13\cos t-5\cos 2t-2\cos 3t-\cos 4t\end{array}$

星形线的方程为

$\{\begin{array}{l}x=3\cos t^3-\cos 2t\sin t\\ y=3\sin t^3-\cos t\sin 2t,其中t\in \left(-2\pi ,2\pi \right)\end{array}$

绘制图如 图2 和 图3 。

资源库中心形线和星形线图像属于特殊的摆线，其形状和变化规律能够吸引学生的注意力，增强他们对高等数学的学习兴趣。通过探索和研究摆线图像，学生可以感受到数学的趣味性和实用性，从而更加积极地投入到数学的学习中。

螺线，也称为螺旋线，是一种围绕一个中心点或一条轴旋转，同时又逐渐远离的动点的轨迹。

资源库中的螺线图有助于学生更好地明白数学概念，如旋转、距离、切线等。学生能够通过观察螺线的形状和性质，更直观地理解这些抽象概念，从而增强对数学的理解和应用能力，教师可引导学生尝试将螺线的概念与其他知识相结合，这样不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，还可以培养他们的实际应用能力和创新思维。因此，将资源库中螺线模型融入课堂教学，作为一种教学工具能够提高教学质量和效果。

对数螺线： $r={\text{e}}^{a\theta }$

双曲螺线： $r\theta =a$

阿基米德螺线： $r=a\theta$

下面是三种螺线的展示，见 图4~6 。

生活中有许多曲线可以用数学知识进行描绘，比如三叶玫瑰线和四叶玫瑰线。

MATLAB是一款功能强大的科学计算软件，提供了丰富的数学函数和工具箱，能进行高效的数值计算、数据分析和算法开发。用户可以在其直观的编程环境中编写代码，并利用其数据可视化功能制作高质量的图形。此外，MATLAB还支持与多种编程语言混合编程，具有良好的可扩展性，方便用户根据需求进行功能扩展。MATLAB的特点在于其简单易懂的编程语言和丰富的功能工具箱，能满足不同领域的需求，如信号处理、图像处理、控制系统等。同时，其强大的数据可视化和图形处理能力使得复杂数据得以直观展示。这些优势使得MATLAB成为科研、数学设计和数据分析等领域的首选工具，广泛应用于各种复杂计算和仿真任务中。

在绘制曲线的过程中我们使用MATLAB编写绘制玫瑰线程序，打开MATLAB软件，创建新的脚本文件；编写程序，输入玫瑰线的数学方程；运行程序，绘制数学图像，并通过修改方程参数绘制对应的三叶玫瑰线和四叶玫瑰线。调整图像属性，如三叶玫瑰线颜色为红色，四叶玫瑰线颜色为蓝色，线型为2.5磅等，确保图像准确且美观；导出图像为数字文件。

三叶玫瑰线MATLAB代码为：

线资源库中，通过欣赏、学习和研究这些玫瑰线，可以使学生的数学思维更加发散，观察生活中的事物，试着应用数学知识通过计算机来描绘出来；学生也可以更深入地理解数学和自然的奥秘，欣赏数学和艺术之间的美妙连接。

其红色和蓝色的双纽线方程分别为

$\{\begin{array}{l}{\left(x^2+y^2\right)}^2=2a^{2}xy\\ r^2=a^2\sin 2\theta \end{array}$， $\{\begin{array}{l}{\left(x^2+y^2\right)}^2=a^2\left(x^2-y^2\right)\\ r^2=a^2\cos 2\theta \end{array}$

伯努利双纽线(见 图9 )是一种具有特殊对称性质和美观形状的曲线，在数学乃至多个领域都有广泛的应用。该曲线不仅可以帮助学生用于研究拓扑和流形等方面的问题，还可以作为其他复杂曲线的特例，帮助学生更好地理解和研究这些曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$的正态分布，记为 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$。其概率密度函数为正态分布的期望值 $\mu$决定了其位置，其标准差 $\sigma$决定了分布的幅度。当 $\mu =0,\sigma =1$时的正态分布是标准正态分布。

使用GeoGebra软件绘制正态分布及卡方分布的图像。创建和编辑数学对象，如点、线等，并设置动画展示数学图像的变化过程。打开GeoGebra软件，创建新的工作区；在工作区中创建和编辑正态分布曲线、卡方分布曲线，设置方程参数，增加不同参数的曲线，引导学生观察在不同参数下的曲线的区别；导出图像为图片。

正态分布(Normal distribution)的图像如下 图10 所示，观察图像，理解正态分布中的期望值和标准差(即 $\mu$、 $\sigma$)改变时分布的图像。

图10. 正态分布曲线

对于大学中概率论与数理统计的初学者而言图像的表述比文字更为直观易理解，利用GeoGebra作出能够改变具体参数的标准正态分布和一般正态分布的图像，利用滑动条对 $\mu$、 $\sigma$进行赋值，可以动态的展示 $\mu$、 $\sigma$改变对其分布的影响，进一步加深学生对正态分布的认识，提高学生的理解程度。

卡方分布是一种常见的概率分布，描述的是n个相互独立的随机变量，当这些随机变量都服从标准正态分布时，它们的平方和所构成的新随机变量的分布规律。

卡方分布图像如 图11 ，分布在第一象限，且呈正偏态。随着自由度(参数n)的增加，卡方分布逐渐趋向于对称。当自由度很大时，它接近正态分布；当自由度趋向于正无穷大时，分布即为正态分布。

利用卡方分布在不同自由度下的图像帮助学生检验观察到的数据与理论预期数据之间的差异，让学生在使用卡方分布评估预测性能，测量关联性，判断独立性，以及计算变量的置信区间等情况时易于分析问题。

对顶圆锥面方程：

${\left(x-h_x\right)}^2+{\left(y-h_y\right)}^2+{\left(z-h_z\right)}^2=r^2\left(1+\frac{{\left(z-h_z\right)}^2}{d^2}\right)$

在解析几何中，当用平面去截对称的对顶圆锥时，平面和圆锥侧面相交的曲线统称为圆锥曲线。这表明对顶圆锥面与平面相交时可以产生不同的几何形状，表现了了其几何特性的丰富性。

对顶圆锥面的概念和应用在数学、物理、工程等领域都有所体现。如圆锥状灯罩的设计也利用了圆锥面的特性，使得光线在散射时更加柔和和均匀。见 图12 。

对顶圆锥面的形成可以看成是两条相交的直线旋转得到的，资源库中对顶圆锥面图像可以帮助学生深入理解圆锥、截面、曲线等几何元素。在教学中，教师可以利用资源库中所给对顶圆锥面图像引导学生进行观察和思考，进而锻炼她们的空间想象以及立体感知能力。

作为一种立体交互式教学工具有助于提高学生的几何素养和问题解决能力，同时也可以培养学生的空间想象能力，通过合理的教学设计和引导，教师可以充分利用对顶圆锥的特性来丰富教学内容和提升教学质量。

直纹面是由一根直线在三维空间中运动所经过的轨迹所形成的曲面，这根运动的直线被称为该直纹面的直母线。如果曲面方程为 $r\left(u,v\right)=a\left(u\right)+v\ast l\left(u\right)$，其中 $l\left(u\right)$为单位变量，称此时的曲面为直纹面(见 图13 )。此时的v曲线为直线，因此直纹面是由一条条直线所织成的。

直纹面的形成过程可以看成是由一根直线在三维空间中运动所经过的轨迹所形成的曲面，这条直线被称为是直纹面的直母线。当直线在空间中连续运动时，其经过的点集合就构成了直纹面。直纹面在建筑、机械等领域有着广泛的应用。例如，飞机机翼、汽轮机叶轮、流体机械中的叶片类零件通常就采用直纹面作为型面；在建筑领域，单叶双曲面和双曲抛物面常用于大型建筑结构的设计，如发电厂的冷却塔、电视塔，以及仓库、礼堂、站台的屋面等。

球面是指与球心距离相等的所有点的轨迹，通常用S表示。球面可以看作是平面绕着同一中心点旋转形成的曲面。在三维空间中，球面是一个二维曲面，它的特点是曲率处处相等。

球面的方程可以表示为：

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=r^2$，其中， $\left(a,b,c\right)$为球心的坐标，r是球的半径。

该 图14 展示了球面的形成，它可以看作是平面上固定的一个圆绕其圆心旋转得到的，该平面的圆心就是球面的球心。

球面作为一种特殊的图像形式，具有直观展示三维空间信息的特性，在资源库中占据重要地位。它以静态的方式呈现出球面的完整形态，使观察者可以直观地理解球面的结构、特征和分布。这种直观性使得球面静图在资源库中成为一种重要的信息展示工具。此外，球面在资源库中还具有教学辅助的作用。对于研究数学、地理等学科的学生，该图可以帮助他们更好地理解和掌握地球、星球等球体的形态。

动直线沿着一条定曲线进行平行移动所形成的曲面为柱面。当准线是圆时所得柱面称为圆柱面。其中，动直线称为柱面的直母线，定曲线称为柱面的准线 [2] 。

圆柱面的方程： $x^2+y^2=r^2,z=1$

圆柱面(见 图15 )的形成可以看作是一个圆在竖直方向上上下运动所形成的，其构成相对而言较为简单。通过绘图让学生直观的感受圆柱面的形成。教师可以引导学生通过观察资源库中圆柱面模型进而探索更多与圆柱面相关的数学问题和应用场景，对圆柱面有更深更直观的理解，从而培养创新精神和实践能力。它不仅有助于提高学生的数学素养，还能培养学生的空间观念、几何直观能力、创新思维和实践能力。因此，资源库中立体交互式模型工具的引用对教育教学有重要作用。

利用程序制作出一个可以动态变换的曲面，分析曲面的波动情况。打开MATLAB，创建新的脚本文件；编写程序，输入曲面方程；运行程序，绘制数学图像，并调整图像属性；在软件操作过程中，记录参数设置，确保实验的可复现性；对于动态图像，使用软件自带的导出功能，提取关键帧作为数字图像进行展示。观察数学图像的变化规律和特征得出此动态面的相关结论。

MATLAB程序代码如下：

上下振动的动态面作为一种动态图像或动画，能够直观地展示一个面在垂直方向上的振动情况。图像的直观展示使学生在观察时能够迅速捕捉到动态面的振动特征、振幅和频率等信息，从而更加深入地理解其运动规律。学生通过观察和分析这种动态面，他们可以更加直观地理解振动的基本概念、原理和应用。同时，在资源库中，这种动态面可以为研究或教学展示提供有力的视觉支持，帮助学生将理论知识与实际现象相结合，提高学习效果。

马鞍面，也被称为双曲抛物面，是一个三维空间中的曲面，其形状类似于马鞍。马鞍面是一个典型的直纹面，它可以通过一系列直线(直母线)来构造。

马鞍面的标准表达式为： $z=a^2{x}^2-b^2{y}^2$

其中，a和b为常数，它们决定了马鞍面在x和y方向上的曲率。当a和b取不同的值时，马鞍面的形状会有所不同 [3] 。

代码

图10 是使用Python作出的动态图形，从此图的绘制中可以看出，它是一条抛物线开始顺着第二条抛物线上滑动。随着这条抛物线的滑动，它扫的面就形成了一个特殊的曲面，这个曲面就被形象的称为“马鞍面”。在物理学中，马鞍面函数可用来建立一些物理现象的模型，例如在电场和磁场的分析中，可以使用马鞍面函数来描述电势和磁势的分布。

马鞍面–作为资源库中一种复杂的几何形状，有助于培养学生的空间想象能力和几何直观能力。通过学习资源库中马鞍面图像模型，学生可以更深入地理解三维空间中几何体的构造和性质，提升对空间形状的认识和理解。此外，教师可以利用资源库中模型作为教学工具设计一些与马鞍面相关的创新性问题，可以让学生深入理解多元微积分中的概念和技巧，提高学生的兴趣和参与度，引导学生自主探索和解决问题，从而培养学生的创新精神。

抛物柱面是指一个二次曲面，其平面截面是平行于某个坐标轴的一条二次曲线。我们可以将其形象地比喻为一个沿着该坐标轴方向无限延伸的抛物线。

抛物柱面的表达式可以表示为： ${\left(x-h\right)}^2=4\ast p\ast \left(y-k\right)$其中 $\left(h,k\right)$为抛物线的顶点，p为抛物线的焦距。这个表达式可以简化为：

$y=\frac{{\left(x-h\right)}^2}{4p}+k$

抛物柱面的截面是一条抛物线，焦点为 $\left(h,k\right)$。抛物柱面的形状取决于焦距p的大小，当 $p>0$时，抛物柱面开口向上，当 $p<0$时，抛物柱面开口向下。下 图18 为抛物柱面的静态展示和动态展示。

图18. 抛物柱面

从图中可以看出抛物柱面是由一条抛物线和一条直线沿着抛物线上滑动而形成的曲面，且此对称轴与抛物线的对称轴重合，利用动态图形让学生对抛物柱面的形成较好理解。

在立体资源库中，抛物柱面作为重要的教学资源，通过展示抛物柱面的图像和模型，教师可以让学生更为直观地理解其形状和性质，从而更好地掌握相关的数学和物理知识。此外，抛物柱面还可以作为学生实验和研究的对象，用于探索其在实际应用中的表现和优化方法。

通过绘制椭球面的图像，加深学生对椭球面的理解。在空间直角坐标系下，椭球面的方程为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(a,b,c>0\right)$，

其中 $\left|x\right|\le a$， $\left|y\right|\le b$， $\left|z\right|\le c$，其中a，b，c按其大小，分别称为椭圆的长半轴、中半轴和短半轴。

MATLAB程序如下：

在直角坐标系下，椭圆抛物面的标准方程：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z\left(a>0,b>0\right)$

使用GeoGebra软件，创建新的三维演示工作区；在工作区中创建和编辑数学对象，设置动画效果；拨动滑动条，观察数学图像的变化过程。在实验过程中，使用软件自带的截图或导出功能保存数学图像。通过GeoGebra调整椭圆抛物面的参数观察图像，a为x轴方向上的半轴长度，b为y轴方向上的长度，通过参数轴的滑动调整a、b的值让曲面放大或缩小，通过改变参数出来的图像可以让学生进一步认识到椭圆抛物面(见 图20 )形状的改变是随参数改变的，体会数学中“数形结合”思想 [5] 。

除了以上常见的曲面，还有一个特殊的曲面，水在生活中不可缺少，则水滴就会构成一个水滴形状的曲面。水滴形曲面方程比较特殊，它是一种描述水滴形状的数学模型，其方程式可以写为：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

其中a、b分别代表椭圆的主轴长度。这个方程实际上是一个椭圆型曲线方程(或者为水滴形椭圆方程)。当 $a=b$时，这个椭圆就变为了圆形。

绘制水滴面的MATLAB程序如下

教师引导学生通过观察和分析资源库中水滴面模型的形态，可以更直观地理解三维空间中几何体的构造和特性，利用资源库中水滴面(见 图21 )模型可以帮助检验学生对数学知识的掌握程度，还可以锻炼他们的计算能力和问题解决能力；水滴面在教学中可以帮助学生深化对空间几何的理解、提升数学建模和计算能力、拓宽知识视野以及激发学习兴趣。所以在教学中应充分利用水滴面这一教学资源，发挥其独特的教育价值。