正算，即由大地坐标(B, L)转换为直角坐标(x, y)。

数学上，圆锥投影平面直角坐标(x, y)的计算通式为 [21] - [23] ：

$\{\begin{array}{l}x={\rho }_s-\rho \cdot \cos \delta \\ y=\rho \cdot \sin \delta \end{array}$(1)

其中：

$\{\begin{array}{l}\rho =C\cdot \exp \left(-{\alpha }_c\cdot q\right)\\ \delta ={\alpha }_c\cdot l\end{array}$(2)

$\{\begin{array}{l}m=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}=-\frac{1}{M}\cdot \frac{d\rho }{dB}\\ n=\frac{A^{\prime }{E}^{\prime }}{AE}=-\frac{\rho }{r}\cdot \\ {\alpha }_c=\frac{d\delta }{dl}\end{array}$(3)

$\{\begin{array}{l}\delta ={\displaystyle {\int }_{L_0}^L{\alpha }_c\cdot dl}={\alpha }_c\cdot l\\ l=L-L_0\end{array}$(4)

$\{\begin{array}{l}e=\sqrt{1-{\left(1-f\right)}^2}\\ N=\frac{a}{\sqrt{1-{\left(e\cdot \sin B\right)}^2}}\\ r=N\cdot \cos B\\ U=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{B}{2}\right)\cdot {\left(\frac{1-e\cdot \sin B}{1+e\cdot \sin B}\right)}^{\frac{e}{2}}\end{array}$(5)

对于割圆锥投影，B₁、B₂两条纬线长度不变形，即：

$\{\begin{array}{l}{n}_1=1\\ n_2=1\end{array}$(6)

从而有：

$\{\begin{array}{l}{\alpha }_c=\frac{d\delta }{dl}=-\frac{\ln r{}_2-\ln r_1}{\ln U_2^{{\alpha }_c}-\ln U_1^{{\alpha }_c}}\\ C=\frac{r_1\cdot U_1^{{\alpha }_c}}{{\alpha }_c}=\frac{r_2\cdot U_2^{{\alpha }_c}}{{\alpha }_c}\\ \rho =\frac{C}{U^{{\alpha }_c}}\end{array}$(7)

式中：

确定α_c及C后，就可由式(1)将坐标(B, L)转换为直角坐标(x, y)。

反算，即由直角坐标(x, y)转换为大地坐标(B, L)。

由式(7)确定α_c、C、ρ_s参量后，就可由等量纬度q确定大地坐标(B, L) [14] [15] [18] ：

$\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{{\alpha }_c}\cdot \frac{\ln \left(C\right)}{\ln \left(\sqrt{{\left({\rho }_s-x\right)}^2+y^2}\right)}\\ l=\frac{1}{{\alpha }_c}\cdot \arctan \left(\frac{y}{{\rho }_s-x}\right)\\ \phi =\arcsin \left(\tanh \left(q\right)\right)\\ B=\phi +{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{5}{\sum }}{a}_t\cdot \sin \left(2\cdot t\cdot \phi \right)}\\ L=L_0+l\end{array}$(8)

等角变换系数a可由下式确定(丁士俊，2022) [18] ：

$\{\begin{array}{l}{a}_2=2\cdot e_3-\frac{2}{3}\cdot e_3{}^2-2\cdot e_3{}^3+\frac{116}{45}\cdot e_3{}^4+\frac{26}{45}\cdot e_3{}^5\\ a_4=\frac{7}{3}\cdot e_3{}^2-\frac{8}{5}\cdot e_3{}^3-\frac{227}{45}\cdot e_3{}^4+\frac{2704}{315}\cdot e_3{}^5\\ a_6=\frac{56}{15}\cdot e_3{}^3-\frac{136}{35}\cdot e_3{}^4-\frac{1262}{105}\cdot e_3{}^5\\ a_8=\frac{4279}{630}\cdot e_3{}^4-\frac{332}{35}\cdot e_3{}^5\\ a_{10}=\frac{4174}{315}\cdot e_3{}^5\end{array}$(9)

其中第3偏心率：

$e_3=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}$(10)

$\{\begin{array}{l}q=\mathrm{arctanh}\left(\sin B-e\cdot \mathrm{arctanh}\left(e\cdot \sin B\right)\right)\\ l=L-L_0\\ w=q+i\cdot l\\ z={\rho }_s-C\cdot \exp \left(-{\alpha }_c\cdot w\right)\end{array}$(11)

$\{\begin{array}{l}w=\frac{1}{{\alpha }_c}\cdot \frac{\ln \left(C\right)}{\ln \left({\rho }_s-z\right)}\\ q=\mathrm{Re}\left(w\right)\\ l=\mathrm{Im}\left(w\right)\\ \phi =\arcsin \left(tanh\left(q\right)\right)\\ B=\phi +{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{5}{\sum }}{a}_{2t}\cdot \sin \left(2t\cdot \phi \right)}\\ L=L_0+l\end{array}$(12)

Excel目前不支持复数运算，Excel平台的割圆锥投影变换只能在实数域中开发。

割圆锥投影正算变换宏为scp( )，反算变换宏为Inv_scp( )。

坐标转换程序使用方法：

1) 人工选择坐标系(三角下拉菜单)：BJ54、XIAN80、WGS84、CGCS2000；

2) 人工输入投影参数：L₀、B_s、B₁、B₂；

3) 人工输入源坐标：(B, L)或(x, y)；

4) 人工输入坐标点序号；

5) 运行宏，一键得到目标坐标。

Mathcad割圆锥投影复域变换的核心代码非常简洁：

1) 正算核心代码：

$\begin{array}{l}q:=\mathrm{atanh}\left(\sin \left(B\right)\right)-e\cdot \mathrm{atanh}\left(e\cdot \sin \left(B\right)\right)\\ l:=L-L_0\\ w:=q+l\cdot 1i\\ z:={\rho }_s-C\cdot \exp \left(-{\alpha }_c\cdot w\right)\end{array}$

2) 反算核心代码：

$w:=\frac{1}{{\alpha }_c}\cdot \frac{\ln \left(C\right)}{\ln \left({\rho }_s-z\right)}$

$\begin{array}{l}q:=\mathrm{Re}\left(w\right)\\ l:=\mathrm{Im}\left(w\right)\\ \phi :=\mathrm{asin}\left(tanh\left(q\right)\right)\\ B:=\phi +{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{5}{\sum }}{a}_{2t}\cdot \sin \left(2t\cdot \phi \right)}\\ L:=L_0+l\end{array}$