非稳态情况下的中子输运方程是中子输运理论和反应堆物理分析的基础，其主要表达式为：

$\frac{1}{v}\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\Omega \cdot \nabla \varphi +{\Sigma }_t\left(r,E\right)\varphi =S_0\left(r,E,\Omega ,t\right)+Q_s\left(r,E,\Omega ,t\right)+Q_f\left(r,E,\Omega ,t\right)$(1)

式中v、t分别为中子运动速度和运动时间， $\varphi =\varphi \left(r,E,\Omega ,t\right)$表示中子角通量密度， ${\Sigma }_t$为宏观截面， $S_0$为

固定中子源项， $Q_s={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\text{d}{E}^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }^{\prime }}{\Sigma }_s\left(r,E^{\prime },{\Omega }^{\prime }\to E,\Omega \right)\varphi \left(r,E^{\prime },{\Omega }^{\prime }\right)\text{d}{\Omega }^{\prime }}$为中子散射源项， $Q_f=\frac{\chi \left(E\right)}{4\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\text{d}{E}^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{4\pi }\nu {\Sigma }_f\left(r,E^{\prime }\right)\varphi \left(r,E^{\prime },{\Omega }^{\prime }\right)\text{d}{\Omega }^{\prime }}$为中子裂变源。

柱坐标系下的中子运动描述如 图1 所示，图中空间点的位置坐标由 $r\left(r,\phi ,z\right)$确定，Ω为中子运动方向向量， $\theta$为Ω和 $e_z$的夹角(其余弦 $\epsilon =\cos \theta$)， $\omega$为向量Ω在 $e_{\theta }$和 $e_r$所形成的平面的投影与向量 $e_r$的夹角， $\eta$为向量Ω和向量 $e_{\theta }$的余弦( $\eta =\sin \omega \sqrt{1-{\xi }^2}$)， $\mu$为向量Ω和向量 $e_r$的余弦( $\mu =\cos \omega \sqrt{1-{\xi }^2}$)。因此柱坐标系下的一般中子输运方程可以表示为：

$\frac{1}{\nu }\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mu \frac{\partial \varphi }{\partial r}+\frac{\eta }{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }-\frac{\eta }{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \omega }+\xi \frac{\partial \varphi }{\partial z}+{\Sigma }_t\left(r,E\right)\varphi =Q_s\left(r,E,\Omega ,t\right)+Q_f\left(r,E,\Omega ,t\right)+S_0\left(r,E,\Omega ,t\right)$(2)

多维中子输运方程表达式(1)中含有时间、空间等多个变量，求解起来耗时长、难度大。出于对低维中子输运方程在实际中运用多的考虑，以及为了更好地了解半边界法的精髓和适用性，本文将在稳态g能群和固定中子源的情况下，运用半边界法对二维圆柱对称模型进行中子输运方程的求解。对式(2)稍作修改即可，因此柱坐标下稳态、单能的二维中子输运问题可以写为：

$\left|\sin \theta \right|\cos \omega \frac{\partial {\phi }_g}{\partial r}-\frac{\left|\sin \theta \right|\sin \omega }{r}\frac{\partial {\phi }_g}{\partial \omega }+\cos \theta \frac{\partial {\phi }_g}{\partial z}+{\Sigma }_{g,t}\left(r,z\right){\phi }_g=S_g\left(r,z,\Omega \right)$(3)

式(3)中， $\theta$和 $\omega$为角度方向变量，r为空间变量，g为能群编号，本文将基于式(3)利用半边界法解决柱坐标下的中子输运问题。

中子输运问题具有众多的变量，即使经过简化依然具有一定的求解难度。因此在求解中子输运问题之前，需要对二维圆柱模型进行在空间和角度上的变量离散。

首先对空间变量r、z和角度变量 $\omega$进行离散，二维圆柱的三个变量离散模型如 图2 所示，沿二维柱模型的半径方向以圆柱轴心为起点，柱面上的点为终点，离散为I个部分，共I + 1个点，第i点和第(i + 1)点间的距离为 $\Delta r_i=r_{i+1}-r_i$。沿二维圆柱z轴方向，以下底面圆心为起始点，对空间变量z进行等距离离散，离散为J个部分，共J + 1个点，第j点和第(j + 1)点间的距离为 $\Delta z_j=z_{j+1}-z_j$。在 $\omega$角度方向由于圆柱几何的对称性，因此只需考虑离散一半角度，即 $0^{\circ }<\omega <{180}^{\circ }$这部分。将 $\omega$在 $\left(0^{\circ },{180}^{\circ }\right)$内离散为M部分，离散步长 $\Delta \omega ={\omega }_{m+1}-{\omega }_m$。

$\theta$角度方向的离散范围为 $0^{\circ }<\omega <{180}^{\circ }$， $\theta$方向离散模型如 图3 所示，将 $\theta$在 $\left(0^{\circ },{180}^{\circ }\right)$内离散为H部分，任意 ${\theta }_h$上的中子通量密度相互独立互不影响，离散步长 $\Delta \theta ={\theta }_{h+1}-{\theta }_h$，这样某一 $\left(r_i,z_j\right)$处任意 $\Omega$方向都可由 $\theta$和 $\omega$描述。

在求解本文中子输运问题式(3)时，为方便计算引入一个新的变量 $V_g=\frac{\partial {\varphi }_g}{\partial w}$。当角度变量离散后，考虑某一 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向，上式可写为：

$\{\begin{array}{l}\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m\frac{\partial {\varphi }_{r,z}^{h,m}}{\partial r}-\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m}{r}{V}_{r,z}^{h,m}+\cos {\theta }_h\frac{\partial {\phi }_{r,z}^{h,m}}{\partial z}+{\Sigma }_{g,t}\left(r,z\right){\varphi }_{r,z}^{h,m}=S_g^{h,m}\left(r,z,\Omega \right)\\ V_{r,z}^{h,m}=\frac{{\varphi }_{r,z}^{h,m+1/2}-{\varphi }_{r,z}^{h,m-1/2}}{\Delta w_m}\end{array}$(4)

式(4)中， ${\varphi }_{r,z}^{h,m}$表示在 $\left(r,z\right)$处 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上的中子角通量密度； ${\varphi }_{r,z}^{h,m\pm 1/2}$表示 $\left(r,z\right)$点处 $\left({\theta }_h,{\omega }_{m\pm 1/2}\right)$方向上的中子角通量密度，其中 ${\omega }_{m\pm 1/2}={\omega }_m\pm \frac{\Delta {\omega }_m}{2}$；而 ${\theta }_h$和 ${\omega }_m$为不同离散变量且各自独立互不影响，式(4)为圆柱坐标下描述本文所有中子运动方向的通式。

按上节2.2方法离散完二维圆柱中子输运模型后，在 $\Delta r\times \Delta z$区域对式(4)中的r和z进行求积分，求解后得到以下方程：

$\{\begin{array}{l}\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m\Delta z{r}_{i+0.5}\frac{\left({\varphi }_{i+1,j+1}^{h,m}+{\varphi }_{i+1,j}^{h,m}\right)-\left({\varphi }_{i,j+1}^{h,m}+{\varphi }_{i,j}^{h,m}\right)}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\Delta r\Delta z\frac{V_{i+1,j+1}^{h,m}+V_{i+1,j}^{h,m}+V_{i,j+1}^{h,m}+V_{i,j}^{h,m}}{4}\\ +\cos {\theta }_h{r}_{i+0.5}\Delta r\frac{\left({\varphi }_{i+1,j+1}^{h,m}+{\varphi }_{i,j+1}^{h,m}\right)-\left({\varphi }_{i+1,j}^{h,m}+{\varphi }_{i,j}^{h,m}\right)}{2}+r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z\frac{{\varphi }_{i+1,j+1}^{h,m}+{\varphi }_{i+1,j}^{h,m}+{\varphi }_{i,j+1}^{h,m}+{\varphi }_{i,j}^{h,m}}{4}\\ =r_{i+0.5}\Delta r\Delta z\overline{S_{i+0.5,j+0.5}^{h,m}}\\ V_{i/i+1,j/j+1}^{h,m}=\frac{{\varphi }_{i/i+1,j/j+1}^{h,m+1/2}-{\varphi }_{i/i+1,j/j+1}^{h,m-1/2}}{\Delta w_m}\end{array}$(5)

其中 $V_{i/i+1,j/j+1}^{h,m}$为 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上 $\left(r_i,z_j\right)$处、 $\left(r_{i+1},z_j\right)$处、 $\left(r_i,z_{j+1}\right)$处或 $\left(r_{i+1},z_{j+1}\right)$处变量V的值； ${\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}$为在节点 $\left(i,j\right)$和 $\left(i+1,j+1\right)$点间的平均宏观截面； $\overline{S_{i+0.5,j+0.5}^{h,m}}$为 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上 $\left(i,j\right)$和 $\left(i+1,j+1\right)$点间的平均固定中子源。

为进一步推导二维圆柱内部任一点与和边界点的中子通量密度通用关系式，引入“菱形”格式，对 ${\omega }_m$方向上的中子通量密度进行近似，使中子通量密度在 $\Delta \omega$内呈线性变化：

${\varphi }_{r,z}^{h,m}\approx \frac{1}{2}\left({\phi }_{r,z}^{h,m+1/2}+{\varphi }_{r,z}^{h,m-1/2}\right)$(6)

将式(6)带入式(5)第二个方程中消去 ${\varphi }_{r,z}^{h,m-1/2}$项，同时将式(5)第二个方程代入式(5)第一个方程，整理后得到 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上 $\left(r_{i+1},z_{j+1}\right)$处和 $\left(r_{i+1},z_j\right)$、 $\left(r_i,z_{j+1}\right)$、 $\left(r_i,z_j\right)$处的中子通量密度关系：

$\begin{array}{l}\left(\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}\right){\Phi }_{i+1,j+1}^{h,m}\\ =\left(-\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}\right){\Phi }_{i+1,j}^{h,m}\\ +\left(\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}-\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}\right){\Phi }_{i,j+1}^{h,m}\end{array}$

$\begin{array}{l}+\left(\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}\right){\Phi }_{i,j}^{h,m}\\ +r_{i+0.5}\Delta r\Delta z\overline{S_{i+0.5,j+0.5}^{h,m}}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}\left({\phi }_{i+1,j+1}^{h,m+1/2}+{\phi }_{i+1,j}^{h,m+1/2}+{\phi }_{i,j+1}^{h,m+1/2}+{\phi }_{i,j}^{h,m+1/2}\right)\end{array}$(7)

将各个位置处的中子角通量密度和系数进行整理得到：

$\begin{array}{c}{\varphi }_{i+1,j+1,m}^h=X_{1ijm}{\varphi }_{i+1,j,m}^h+X_{2ijm}{\varphi }_{i,j+1,m}^h+X_{3ijm}{\varphi }_{i,j,m}^h+X_{4ijm}({\varphi }_{i+1,j+1,m+1/2}^h+{\varphi }_{i+1,j,m+1/2}^h\\ +{\varphi }_{i,j+1,m+1/2}^h+{\varphi }_{i,j,m+1/2}^h)+X_{5ijm},\{\begin{array}{l}i=0,1,2,\cdots ,I-1\\ j=0,1,2,\cdots ,J-1\\ m=1,2,3,\cdots ,K\end{array}\end{array}$(8)

式中系数分别为：

$X_{1ijm}=\frac{-\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}$

$X_{2ijm}=\frac{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}-\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}$

$X_{3ijm}=\frac{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}-\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}-\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}$

$X_{4ijm}=\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}}{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}$

$X_{5ijm}=\frac{r_{i+0.5}\Delta r\Delta z\overline{S_{i+0.5,j+0.5}^{h,m}}}{\frac{\left|\sin {\theta }_h\right|\cos {\omega }_m{r}_{i+0.5}\Delta z}{2}+\left|\sin {\theta }_h\right|\sin {\omega }_m\frac{\Delta r\Delta z}{2\Delta {\omega }_m}+\frac{r_{i+0.5}\cos {\theta }_h\Delta r}{2}+\frac{r_{i+0.5}{\Sigma }_{i+0.5,j+0.5}^{g,t}\Delta r\Delta z}{4}}$

公式(8)为 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上任一节点 $\left(r_{i+1},z_{j+1}\right)$与节点 $\left(r_{i+1},z_j\right)$、 $\left(r_i,z_{j+1}\right)$、 $\left(r_i,z_j\right)$和 $\left({\theta }_h,{\omega }_{m+1/2}\right)$方向上节点 $\left(r_{i+1},z_{j+1}\right)$、 $\left(r_{i+1},z_j\right)$、 $\left(r_i,z_{j+1}\right)$、 $\left(r_i,z_j\right)$之间的关系式。因此如果已知 $\left({\theta }_h,{\omega }_{m+1/2}\right)$方向上4个节点和 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上任意3个节点，则可以通过以上通式推导出节点 $\left(r_{i+1},z_{j+1}\right)$在 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上的中子通量。利用公式(8)重复推导不同节点之间的关系，则可以得到模型 图2 内部任一点与边界面BCE、边界面BDE、边界面ACE、边界面ADE、边界面BCF、边界面BDF、边界面ACF、边界面ADF内节点之间的关系，具体关系如下：

模型内部中子通量密度和边界面BCE中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{f0k}^h}}+{\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{Ilk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,K}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0\le i<I,0<j\le J,0\le m<K\right)$(9)

模型内部中子通量密度和边界面BDE中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{f0k}^h}}+{\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{0lk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,K}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0<i\le I,0<j\le J,0\le m<K\right)$(10)

模型内部中子通量密度和边界面ACE中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{fJk}^h}}+{\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{Ilk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,K}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0\le i<I,0\le j<J,0\le m<K\right)$(11)

模型内部中子通量密度和边界面ADE中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{fJk}^h}}+{\displaystyle \underset{k=m}{\overset{K-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{0lk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,K}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0<i\le I,0\le j<J,0\le m<K\right)$(12)

模型内部中子通量密度和边界面BCF中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{f0k}^h}}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{Ilk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,0}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0\le i<I,0<j\le J,0<m\le K\right)$(13)

模型内部中子通量密度和边界面BDF中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{f0k}^h}}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{0lk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,0}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0<i\le I,0<j\le J,0<m\le K\right)$(14)

模型内部中子通量密度和边界面ACF中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{fJk}^h}}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{Ilk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=i}{\overset{I-1}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,0}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0\le i<I,0\le j<J,0<m\le K\right)$(15)

模型内部中子通量密度和边界面ADF中子通量密度的关系：

${\varphi }_{i,j,m}^h={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i,j,m,f}{\varphi }_{fJk}^h}}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{b}_{i,j,m,l}{\varphi }_{0lk}^h}}+{\displaystyle \underset{l=j}{\overset{J-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{f=1}{\overset{i}{\sum }}{c}_{i,j,m,k}{\varphi }_{i,j,0}^h}}+q_{i,j,m}^h,\left(0<i\le I,0\le j<J,0<m\le K\right)$(16)

式(9)至式(16)中，i和j均为整数， $a_{i,j,m,f}$， $b_{i,j,m,l}$， $c_{i,j,m,k}$， $q_{i,j,m}^h$为方程系数。为了求解这些系数，本文以式(9)为例，将式(9)中各个位置的中子通量密度均写为式(8)的形式，而后代入式(8)即可得到系数表达式：

$\begin{array}{c}{a}_{i,j,m,f}=X_{1pqn}{a}_{i,j-1,m,f}+X_{2pqn}{a}_{i-1,j,m,f}+X_{3pqn}{a}_{i-1,j-1,m,f}+X_{4pqn}{a}_{i,j,m+1/2,f}+X_{5pqn}{a}_{i,j-1,m+1/2,f}\\ +X_{6pqn}{a}_{i-1,j,m+1/2,f}+X_{7pqn}{a}_{i-1,j-1,m+1/2,f},\left(0<i\le I,0<j\le J,0<m\le K\right)\end{array}$(17)

$\begin{array}{c}{b}_{i,j,m,l}=X_{1pqn}{b}_{i,j-1,m,l}+X_{2pqn}{b}_{i-1,j,m,l}+X_{3pqn}{b}_{i-1,j-1,m,l}+X_{4pqn}{b}_{i,j,m+1/2,l}+X_{5pqn}{b}_{i,j-1,m+1/2,l}\\ +X_{6pqn}{b}_{i-1,j,m+1/2,l}+X_{7pqn}{b}_{i-1,j-1,m+1/2,l},\left(0<i\le I,0<j\le J,0<m\le K\right)\end{array}$(18)

$\begin{array}{c}{c}_{i,j,m,k}=X_{1pqn}{c}_{i,j-1,m,k}+X_{2pqn}{c}_{i-1,j,m,k}+X_{3pqn}{c}_{i-1,j-1,m,k}+X_{4pqn}{c}_{i,j,m+1/2,k}+X_{5pqn}{c}_{i,j-1,m+1/2,k}\\ +X_{6pqn}{c}_{i-1,j,m+1/2,k}+X_{7pqn}{c}_{i-1,j-1,m+1/2,k},\left(0<i\le I,0<j\le J,0<m\le K\right)\end{array}$(19)

$\begin{array}{c}{q}_{i,j,m}=X_{1pqn}{q}_{i,j-1,m}+X_{2pqn}{q}_{i-1,j,m}+X_{3pqn}{q}_{i-1,j-1,m}+X_{4pqn}{q}_{i,j,m+1/2}+X_{5pqn}{q}_{i,j-1,m+1/2}\\ +X_{6pqn}{q}_{i-1,j,m+1/2}+X_{7pqn}{q}_{i-1,j-1,m+1/2}+X_{8pqn},\left(0<i\le I,0<j\le J,0<m\le K\right)\end{array}$(20)

式(17)到式(20)中， $p=i-1$， $q=j-1$， $n=m-1$；当且仅当 $j=m=1$， $f=i$时 $a_{i,j,m,f}=1$，否则 $a_{i,j,m,f}=0$；当且仅当 $i=m=1$， $l=j$时 $b_{i,j,m,l}=1$，否则 $b_{i,j,m,l}=0$；当且仅当 $i=j=1$， $k=m$时 $c_{i,j,m,f}=1$，否则 $c_{i,j,m,f}=0$，同样地利用相同的方法即可以求解出其他式子中的系数。当在得到式(9)至式(16)的中子通量密度关系式后，根据不同方向下的条件选用相对应的中子通量密度关系式即可得到模型中任意位置相应方向下的中子通量密度。特别地，当 ${\omega }_m=\pi$和0时，式(8)与 ${\varphi }_{i/i+1,j/j+1,m+1/2}^h$项无关，因而当模型中为真空边界条件时，直接利用(8)式便可以得到 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上的中子通量密度分布情况。最后改变 ${\theta }_h$的取值，根据式(9)至式(16)便能得到任意 $\left({\theta }_h,{\omega }_m\right)$方向上的中子通量密度，而后将所有方向下的中子通量密度值进行累加即可得到模型内任意位置的中子通量密度及模型内所有中子通量密度的分布情况。

由2.2节可知，在使用半边界方法研究二维柱模型中的中子分布情况时，需要对中子输运方程中的空间变量R、Z及角度变量 $\theta$、 $\omega$进行数值离散，因此以上四个变量的离散数目对半边界方法的计算结果有重大影响。本小节将对半径R、高度Z和角度 $\theta$、 $\omega$的离散数目进行敏感性分析，并筛选出其中最佳的离散数目值。

先对角度变量 $\theta$的离散数目H进行敏感性分析，设置空间变量R的离散份数M = 10，空间变量Z的离散分数N = 10，角度变量 $\omega$的离散份数K = 50，例题中半边界法的结果如 图5 所示，不同H下的平均误差如 图6 所示。

通过 图5 可知，当H离散值超过50时，半边界方法计算结果和MCX计算结果十分贴合，此现象说明在真空条件下，半边界方法和MCX方法具有很高的准确性；由 图6 可知，在H由2增加至4时，半边界法的结果与MCX方法的结果的平均误差减少了69.24%，由4增加至20时，半边界法的结果与MCX方法的结果的平均误差减少了51.11%，继续增大H的值，半边界法的结果更加贴合MCX方法的结果，同时误差变化将非常微小，在H由50增加至60时平均误差只减少了0.56%。根据上述数据可知，在H = 50时误差最小，平均误差为1.09%。

综上所述，在M、N和K合理确定的情况下，若H ≥ 50半边界法的结果与MCX结果的误差将十分微小，因而半边界法的结果具有极高的准确性。

对角度变量 $\omega$的离散份数K的敏感性分析时，设置半径R的离散数目M=10，高度Z的离散数目N = 10，角度变量 $\theta$的离散份数H = 50，例题中半边界法的结果如 图7 所示，不同K下的平均误差如 图8 所示。由 图7 可知，在K离散数值越大，半边界法的结果与MCX方法的结果越贴合，但无明显的变化。

由 图8 可知，K的值由20增加至32的过程中半边界法的结果与MCX结果相对更加拟合，两种方法对比的平均误差减少了38.62%；当K ≥ 32后，随K值逐渐增大，MCX方法和半边界方法的结果的平均误差差别十分微小，此误差精度在0.00001内。

综上所述，在M、N和H的数值确定的情况下，增大K的值能明显提高半边界法的准确性，但当离散值超过适当范围，即使增加计算时间，也无法提高计算精度，因而在实际运用过程中需要根据具体的精度要求对K进行合理的取值。

对空间变量R的离散份数M进行敏感性分析时，设置高度Z的离散数目N = 10，角度变量 $\theta$的离散份数H = 50，角度变量 $\omega$的离散份数K = 32，计算结果如 图9 所示，不同M下的平均误差如 图10 所示。

由 图9 可知，半边界方法与MCX方法的计算结果十分相近；由 图10 可知，改变M的离散值对结果影响不大，且当M = 20时，半边界方法与MCX方法的平均误差最小，小的离散数值可有效提高计算时间。

综上所述，在N、H和K的值确定的情况下，增大M值对半边界法的计算结果影响不大，但在实际运用过程中仍需要根据具体的条件要求对M进行合理的取值。

对空间变量Z的离散份数N的敏感性进行分析时，设置半径R的离散数目M = 20，角度变量 $\theta$的离散份数H = 50，角度变量 $\omega$的离散份数K = 32，例题中半边界法的结果如 图11 所示，不同N下的平均误差如 图12 所示。

由 图10 可知，在N < 40时半边界法的结果对N的取值敏感，在N ≥ 40时半边界法和蒙卡方法的结果十分吻合，若继续增大N的值，并不能明显提高半边界法的精度。由 图12 可知，N由20增加至40时半边界法的结果和MCX结果的误差相对减少最多，平均误差减少了8.38%。

由此可见，在M、H和K的值确定的情况下，选择合适的N值，HBM和MCX的结果误差将会很小且半边界法具有更快的计算效率，所以半边界方法具有拓展到带有反射边界条件的二维中子输运问题中去的能力和前景。