主成分分析 [20] (Principal Component Analysis, PCA)是一种有效的降维算法。PCA通过将原始变量转化为一组新的不相关变量(主成分)来达到降维的目的。每个主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，其能反映出原始数据的大部分信息。主成分分析可以消除变量间的多重共线性，提高回归模型的精度和稳定性 [21] 。使用主成分分析对输入变量：入料浓度、入料流量、补水量、精煤灰分、尾煤灰分进行降维，消除了输入变量间的多重共线性问题，使得保留下来的原始数据对输出变量巨有较大的贡献率。

1) 操作步骤如下：

首先对主成分分析的5个指标变量：入料浓度、入料流量、补水量、精煤灰分、尾煤灰分原始数据进行标准化处理。输入变量的数据集为评价对象，第n (n ≤ 90)个的评价对象的第p个指标变量的取值为x_np，则可以构成大小为90*5的样本矩阵x：

$x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{15}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{25}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{n5}\end{array}\right]=\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)$

按列计算均值 $x_j=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}}$和标准差 $s_j=\sqrt{\frac{{\displaystyle \underset{1}{\overset{n}{\sum }}{\left(x_{ij}-x_j\right)}^2}}{n-1}}$，计算标准化数据 $X_{ij}=\frac{x_{ij}-x_j}{s_j}$，即 $X_{ij}=\frac{x_{ij}-\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}}}{\sqrt{\frac{1}{n-1}{\displaystyle {\sum }_1^n{\left(x_{ij}-\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}}\right)}^2}}}$，将各指标x_np转化成标准化指标X_np有 $X=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& \cdots & X_{15}\\ X_{21}& X_{22}& \cdots & X_{25}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ X_{n1}& X_{n2}& \cdots & X_{n5}\end{array}\right]=\left(X_1,X_2,\cdots ,X_5\right)$，对应地，称X_ij为输入变量的标准化指标变量。

2) 计算相关系数矩阵R，用于描述输入变量之间的线性关系：相关系数矩阵 $R={\left(r_{ij}\right)}_{5\times 5}$，有 $r_{ij}=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ki}-X_i\right)}\left(X_{kj}-X_j\right)=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_{ki}}{X}_{kj}$，式中： $i,j=1,2,\cdots ,5$， $r_{ij}=r_{ji}$， $r_{ij}=r_{ji}$，r_ij是第i个指标与第j个指标的相关系数。

3) 计算特征值和特征向量：特征值要由大到小排序，对应的特征向量就是主成分。计算相关系数矩阵R的特征值 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_m\ge 0$，及对应的特征向量 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$，其中 $u_j={\left(u_{1j},u_{2j},\cdots ,u_{nj}\right)}^{\text{T}}$，由特征向量组成m个新的指标变量

$y_1=u_{11}\widetilde{x_1}+u_{21}\widetilde{x_2}+\cdots +u_{n1}\widetilde{x_n}$

$y_2=u_2\widetilde{x_1}+u_{22}\widetilde{x_2}+\cdots +u_{n2}\widetilde{x_n}$

$⋮$

$y_m=u_{1m}\widetilde{x_1}+u_{2m}\widetilde{x_2}+\cdots +u_{nm}\widetilde{x_n}$

式中，y₁是第1主成分，y₂是第2主成分，y_m是第m主成分。

4) 根据信息贡献率和累计贡献率选择m (m ≤ 5)个主成分：计算特征值 ${\lambda }_j\left(j=1,2,\cdots ,p\right)$的信息贡献率和累计贡献率。

$b_j=\frac{{\lambda }_j}{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\lambda }_k}},j=1,2,\cdots ,p$

$a_m=\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\lambda }_k}}{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\lambda }_k}}$

式中，b_j为主成分y_j的信息贡献率，a_m为主成分y₁到y_m的贡献率之和，即累计贡献率。一般当a_m大于0.9时，选择前m个指标变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$作为m个主成分，代替原来p个指标变量，从而对m个主成分进行综合分析。

偏最小二乘回归分析(Partial Least Squares Regression Analysis, PLS)是一种用于研究因变量对自变量依赖关系的方法，其目的是通过给定的自变量值来估计或预测因变量的值。PLS的核心思想是通过寻找新的正交投影方向(主成分)，使投影后的因变量和自变量之间具有最大的协方差，从而建立预测模型。通过最小化预测变量和响应变量之间的残差平方和，找到最佳预测模型 [22] 。与单纯对自变量进行降维的主成分回归(PCA)不同，PLS在降维过程中同时考虑了因变量和自变量的相关性，它结合了主成分分析和线性回归的优点，它能处理高维数据，消除共线性，并且能够处理非线性和交互效应。

在实际应用中，选择合适的回归分析方法需要结合具体问题和数据特征 [23] 。在本研究中，自变量为输入变量(C, Q, W, Y₁, Y₂)矩阵，输出变量为(U₁, U₂)，偏最小二乘回归分析步骤如下：

1) 标准化矩阵：输入矩阵X包含五个变量：入料浓度、入料流量、补水量、精煤灰分、尾煤灰分；输出矩阵Y包含两个变量：起泡剂添加量、捕收剂添加量；对X、Y矩阵进行标准化处理，得到矩阵E和F。

$E=\left[\begin{array}{ccc}{e}_{11}& \cdots & e_{15}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ e_{n1}& \cdots & e_{n5}\end{array}\right]$ $F=\left[\begin{array}{cc}{f}_{11}& f_{12}\\ ⋮& ⋮\\ f_{n1}& f_{n2}\end{array}\right]$

其中 $n=1,2,\cdots ,90$。

2) 求解输入变量和输出变量的第一主成分t₁和u₁：根据主成分原理，找到t₁与u₁使得它们的方差最大，信息量最多。t₁与u₁的协方差最大，t₁对u₁有最大的解释能力。设t₁的权重系数为w₁，u₁的权重系数为c₁，w₁与c₁为单位向量。

$\max \left(E{w}_1,F{c}_1\right)=c_1^{\text{T}}{F}^{\text{T}}E{w}_1$

其中 ${\Vert w_1\Vert }^2=1$， ${\Vert c_1\Vert }^2=1$，利用拉格朗日乘数法求得w₁与c₁，然后根据w₁与c₁求得第一对主成分t₁与u₁。

3) 建立输入变量E输出变量F对第一主成分t₁、u₁的回归方差，并计算残差矩阵E₁、F₁：建立E，F对t₁、u₁的回归方程为

$E=t_1{p}_1^{\text{T}}+E_1$

$F=u_1{q}_1^{\text{T}}+F_1$

其中，p₁，q₁分别为回归模型中的参数向量，E₁和F₁是残差矩阵。回归系数向量p₁，q₁的最小二乘估计为

$p_1=\frac{E^{\text{T}}{t}_1}{{\Vert t_1\Vert }^2}$

$q_1=\frac{F^{\text{T}}{u}_1}{{\Vert u_1\Vert }^2}$

4) 更新矩阵，并重复以上步骤：用残差矩阵E₁、F₁代替E、F形成新的输入变量、输出变量，求解新的输入变量和输出变量的第一主成分t₂、u₂，即为原来输入变量和输出变量的第二主成分。建立新的输入变量E₁输出变量F₁(残差矩阵)和第二主成分t₂、u₂的回归方程，并计算残差矩阵E₂，F₂。

5) 重复3、4步骤直至求出所有的主成分或者满足条件为止。

6) 建立回归方程，计算出回归系数：若E的秩为A，则

$E=t_1{p}_1^{\text{T}}+\cdots +t_1{p}_A^{\text{T}}+E_A$

$F=t_1{r}_1^{\text{T}}+\cdots +t_A{r}_A^{\text{T}}+F_A$

由于 $t_1,\cdots ,t_A$都可以表示 $E_1,\cdots ,E_q$的线性组合，就可以得到：

$y_k=a_{k1}{x}_1+\cdots +a_{kp}{x}_p+F_{Ak}$, $k=1,2,\cdots ,q$

其中，F_Ak为残差矩阵F_A的第k列。

7) 交叉验证确定主成分个数，引入PRESS和误差平方作为判断依据。

$PRESS={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}$

式中，y_i为y在第i个观测点上的真实值， ${\hat{y}}_i$为代入模型后在第i个观测点上的预测值。定义交叉有效性 $Q_n^2$为

$Q_n^2=1-\frac{PRES{S}_n}{S{S}_{n-1}}$

式中，PRESS_n为除去某个样本点后，利用剩余样本点拟合出含n个主成分的回归方程，再对去除的样本点进行预测的误差平方和。SS_n−1为所有样本点拟合出的含n − 1个主成分的回归方程的误差平方和。

当 $Q_n^2\ge 0.0975$，表示第n步提取的成分的边际贡献是显著的，有利于减小预测的误差。相反，当 $Q_n^2<0.0975$时，表示模型达到精度要求，可以停止提取成分。偏最小二乘回归分析步骤如 图2 所示。

粒子群优化算法(PSO)是一种基于群体智能的优化算法。PSO算法模拟鸟群在寻找食物时的群体行为，通过集体之间的共享信息找到问题的最优解 [16] [24] 。一群鸟在森林中搜寻食物，记录各自找到的最多食物的位置(局部最优点)，并共享这些信息。每只鸟根据自己的发现和鸟群共享的最佳位置调整方向。通过不断更新位置和速度，鸟群逐渐接近食物最多的区域(全局最优解) [25] 。

PSO的核心思想是用粒子模拟鸟类个体在搜索空间中移动，通过跟踪个体最优位置Pbest和群体最优位置Gbest来更新位置。个体最优位置Pbest是指粒子在搜索历程中找到的最佳适应度位置，群体最优位置Gbest是整个群体中发现的最佳适应度位置。每次更新粒子位置时，都会计算适应度值，并将其与个体最优位置和群体最优位置的适应度值进行比较，更新这两个位置。通过不断更新每个粒子的速度和位置，整个粒子群的适应度值逐渐提高，粒子向更好的解移动，最终找到全局最优解 [26] 。

虽然PLS具有较强的预测能力，但也存在可能无法准确反映数据的实际结构和过度拟合的风险。为了减小模型的预测误差，利用PSO的全局搜索能力，分别优化PLS模型中主成分数量、输入变量和输出变量的权重和回归系数，提高预测模型的精度。首先，通过PLS建立k个变量的回归模型，然后计算预测结果的RMSE，并将其作为粒子群算法的适应度函数 [18] 。粒子在整个搜索空间中根据最小的RMSE更新速度和位置，最终找到满足条件的最优变量取值。

具体优化步骤如下：

初始化粒子群：初始化粒子群位置和速度、迭代次数、惯性权重、自我学习因子和群体学习因子、算法终止的最小误差。每个粒子表示PLS模型参数集。假设在D维搜索空间中，有n个粒子，每个粒子代表一个解，则：

第i个粒子的位置为： $X_{id}=\left(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{iD}\right)$；

第i个粒子的速度(粒子移动的距离和方向)为： $V_{id}=\left(v_{i1},v_{i2},\cdots ,v_{iD}\right)$；

第i个粒子搜索到的最优位置(个体最优解)为： $P_i=\left(p_{i1},p_{i2},\cdots ,p_{iD}\right)$；

群体搜索到的最优位置(群体最优解)为： $P_g=\left(p_{g1},p_{g2},\cdots ,p_{gD}\right)$。

1) 计算适应值：使用每个粒子的参数构建PLS模型，通过适应度函数(RMSE)评估每个粒子的PLS模型性能。

2) 寻找个体极值和群体极值：对每个粒子，比较当前适应度与历史最佳适应度。如果当前适应度更优，则更新个体最优解，找出全局最优解。

3) 更新粒子位置和速度：

速度更新公式为： $V_{id}^{k+1}=\omega V_{id}^k+c_1{r}_1\left(P_{id}^k-X_{id}^k\right)+c_2{r}_2\left(P_{gd}^k-X_{id}^k\right)$；

位置更新公式为： $X_{id}^{k+1}=X_{id}^k+V_{id}^{k+1}$。

其中， $\omega$——惯性权重；k——迭代次数；c₁——个体学习因子；c₂——群体学习因子；r₁，r₂——[0, 1]之间的随机数，增加搜索随机性； $V_{id}^k$——粒子i在第k次迭代中第d维的速度向量； $X_{id}^k$——粒子i在第k次迭代中第d维的位置向量； $P_{id}^k$——粒子i在第k次迭代中第d维的历史最优位置； $P_{gd}^k$——群体在第k次迭代中第d维的历史最优位置。

4) 重新计算粒子适应值：重新计算当前粒子的适应值。

5) 更新个体和群体极值：若粒子当前适应值优于历史局部最优值，则更新为新的局部最优值和位置。然后在粒子群中找到全局最优值及其位置。

6) 迭代：重复步骤4~6直到达到预设的迭代次数或满足设定的最小误差。

PSO优化后的PLS模型处理输入变量和输出变量具体流程如 图3 所示。

对模型的输入变量：入料浓度、入料流量、补水量、精煤灰分和尾煤灰分，以及输出变量：捕收剂、起泡剂添加量数据利用Matlab软件进行主成分回归分析，结果如 表1 、 图4 所示。

从表中我们可以看出，前四个特征值的累计贡献率达到90%以上，主成分分析效果很好。于是略去第五个主成分，得到主成分回归方程。预测结果如 图5 、 图6 所示。

对采集的煤泥的输入变量：入料浓度、入料流量、补水量、精煤灰分和尾煤灰分；以及输出变量：捕收剂添加量、起泡剂添加量数据利用Matlab软件进行偏最小二乘回归分析，结果如 图7 、 图8 所示。

本研究将粒子群基本参数设定如下：种群数量n = 10，惯性权重w = 0.8，粒子飞行最大速度V_max= 2，学习因子c₁= c₂= 1.5，迭代次数为50次。图为粒子群算法运行过程中，适应度值随着迭代次数的增加而减小，从开始的0.7879最终减小到0.6428，适应度变化曲线图如下 图9 所示。

基于PSO-PLS加药量预测结果如 图10 、 图11 所示。

为了更直观的比较PCA、PLS、PSO-PLS所构建的浮选加药量预测模型之间的性能，衡量模型预测误差，采用均方误差、均方根误差、平均绝对百分比误差以及决定系数对模型的预测性能进行评估。均方误差、均方根误差、平均绝对百分比误差以及决定系数的计算公式如式所示 [27] 。

1) 均方误差(Mean Square Error, MSE)：预测值与真实值之间差异的平方和的平均值。

$\text{MSE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}$

2) 均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)：均方误差的平方根。

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}}$

3) 平均绝对百分比误差(Mean Absolute Percentage Error, MAPE)：预测误差绝对值占真实值的百分比的平均值。

$\text{MAPE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left|y-{\hat{y}}_i\right|}{y_i}}\times 100\%$

4) 决定系数(R²)：模型拟合优度的统计量，取值范围从0到1，越接近1说明模型对数据拟合程度越好。

${\text{R}}^{\text{2}}=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-\bar{y}\right)}^2}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}}$

式中，n——样本数量； $y_i$——变量的真实值； ${\hat{y}}_i$——变量的预测值； $\bar{y}$——变量真实值的平均数。

对比PLS和PSO-PLS算法在预测起泡剂和捕收剂加药量方面的结果，如 图12 和 图13 显示，PSO-PLS算法的预测值更接近实际值，误差更小，且对真实值变化趋势的预测也更加精确。

基于PCA和PLS算法建立的起泡剂预测模型，评价指标如 表2 所示，其均方误差、均方根误差和平均绝对百分比误差都远高于PSO-PLS起泡剂预测模型，预测精度不足，难以准确预测起泡剂的加药量。这可能是因为PCA在降维时合并自变量，造成信息丢失，降低了模型的可解释性。同时，PCA和PLS模型的R²值均未超过0.3，说明其拟合优度较低。相比之下，经过PSO算法优化的PLS模型，R²值提升至0.7863，显著提高了预测效果。综合评价指标来看，PSO-PLS算法在起泡剂加药量预测方面，相较于PCA和PLS算法，具有更高的预测精度和拟合优度，因此更适合用于本文的研究。

基于PCA算法建立的捕收剂预测模型如 表3 所示，相较于起泡剂预测模型具有更高的准确度，其均方差、均方根误差和平均绝对百分比误差接近另外两种预测模型。然而，预测效果仍不及另外两组模型。基于PSO-PLS算法建立的起泡剂模型预测效果依然远优于其他两种模型。因此，根据评价指标，相较于PCA和PLS，PSO-PLS更适合用于本文的捕收剂预测。