中点圆滑裂面如 图2 所示，假设滑裂面与坡底平面交于A点，与坡顶坡面交于C点，滑裂面与垂直方向的夹角为 $\alpha$。

由图可写出滑动圆弧方程为：

$y=y_0-\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}$(1)

其中， $x_A=x_0-\sqrt{R^2-y_0^2}$， $x_C=x_0+\sqrt{R^2-{\left(y-h\right)}^2}$， $x_B=x_0+\sqrt{R^2-y_0^2}$， $x_A\le x\le x_C$。

根据几何关系可得：

$\sin \alpha =\frac{x-x_0}{R}$(2)

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}}{R}$(3)

$\text{d}\alpha =\frac{\text{d}x}{\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}}$(4)

根据瑞典法，中点圆滑裂面的边坡稳定系数计算公式为：

$K=\frac{c_1{l}_1+c_2{l}_2+\tan \phi {\displaystyle \sum N_i\cos {\alpha }_i}}{{\displaystyle \sum N_i\sin {\alpha }_i}}$(5)

式中， $l_1={\gamma }_2{\displaystyle \underset{X_A}{\overset{X_B}{\int }}\frac{R\text{d}x}{\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}}}$， $l_2={\gamma }_1{\displaystyle \underset{X_B}{\overset{X_C}{\int }}\frac{R\text{d}x}{\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}}}$。

坡面圆滑裂面示意图如 图3 所示，滑裂面与坡面平面交于A点，交坡顶坡面于B点。

由图可写出滑动圆弧坐标为：

$y=y_0-\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2},x_A\le x\le x_B$(6)

其中， $x_B=x_0+\sqrt{R^2-{\left(y_0-h\right)}^2}$， $x_A=\frac{m{y}_0+m^2{x}_0}{1+m^2}-\frac{m\sqrt{{\left(y_0+m{x}_0\right)}^2-\left(1+m^2\right)\left(x_0^2+y_0^2-R^2\right)}}{1+m^2}$，m为填方边坡坡率。

边坡稳定系数表达式为：

$K=\frac{c_{1}l+\tan {\phi }_1{\displaystyle \sum N_i\cos {\alpha }_i}}{{\displaystyle \sum N_i\sin {\alpha }_i}}$(7)

式中， $l={\gamma }_1{\displaystyle \underset{X_A}{\overset{X_B}{\int }}\frac{R\text{d}x}{\sqrt{R^2-{\left(x-x_0\right)}^2}}}$。

遗传算法(Genetic Algorithm, GA)最先是由美国Michigan大学的John Holland于1975年提出的。GA是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型。它的思想源于生物遗传学和适者生存的自然规律，是具有“生存 + 检测”的迭代过程的搜索算法。它对目标函数的形态没有具体的要求，可克服传统方法易陷入局部最优解的缺点，能较快地搜索到全局最优解 [9] 。GA基于适应度函数，以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术对一个被编码的参数空间进行高效搜索。GA包括了参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定等步骤，其中，选择、交叉和变异是遗传操作的重要组成。

与传统搜索算法不同，遗传算法是一种基于生物自然选择与遗传机理的随机搜索算法。遗传算法从一组随机产生的称为“种群(Population)”的初始解开始搜索，种群中的每个个体是问题的一个解，称为“染色体(Chromosome)”。染色体是一串符号，比如一个二进制字符串。这些染色体在后续迭代中不断进化，称为遗传。在每一代中用“适应度(Fitness)”来测量染色体的好坏，生成的下一代染色体称为后代(Offspring)。后代是由前一代染色体通过交叉(Crossover)或者变异(Mutation)运算形成的。在新一代形成过程中，根据适应度值大小保留部分后代，从而保持种群规模不变。适值高的染色体被选中的概率较高，经过若干代之后，算法收敛于最好的染色体，即问题的最优解或次优解。遗传算法的主要步骤如下：

(1) 编码。GA在进行搜索之前先将解空间的解数据表示成遗传空间的基因型串结构数据，这些串结构数据的不同组合便构成了不同的点。

(2) 初始群体的生成。随机产生N个初始串结构数据，每个串结构数据称为一个个体，N个体构成了—个群体。GA以这N个串结构数据作为初始点开始迭代。

(3) 适应性值评估检测。适应度函数表明个体或解的优劣性。对于不同的问题，适应度函数的定义方式也不同。

(4) 选择。选择是为了从当前群体中选出优良的个体，使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。GA的选择过程体现了达尔文的适者生存原则，进行选择的原则是适应性强的个体为下一代贡献一个或多个后代的概率大。

(5) 交叉。交叉操作是遗传算法中最主要的遗传操作，交叉体现了信息交换的思想。通过交叉操作可以得到新一代个体，新个体融合了其父辈个体的特性。交叉概率一般取值为0.5~0.9之间，以保证算法收敛。

(6) 变异。变异首先在群体中随机选择一个个体，以一定的概率随机地改变选中的串结构数据中某个串的值，变异可产生新的个体。同生物界一样，GA中变异发生的概率很低，通常取值在0.001~0.02之间。

边坡稳定性分析的目的是在所有可能的滑移面中找出安全系数最小的滑弧，即最危险的滑移面。我们建立边坡稳定性平面直角坐标系，采用GA作为计算工具，并使用MATLAB软件编制程序实现边坡稳定分析最小安全系数的自动寻优。

我们选取边坡稳定安全系数公式作为目标函数，即采用GA优化方法的适应度函数，以最小稳定系数作为稳定安全系数F的下界，可最终获得变量 $\left(x_0,y_0,R\right)$与最小边坡稳定安全系数K之间的关系。基于前述有关边坡稳定系数的计算推导和GA的算法流程，最小边坡稳定系数寻找问题可表述为式(8)所示的优化模型。

$\begin{array}{l}\underset{x_0,y_0,R}{\min }K\\ \text{s}\text{.t}.x_L\le x_0\le x_U\\ y_L\le y_0\le y_U\\ R_L\le R\le R_U\end{array}$(8)

利用MATLAB编程对其进行求解 [10] 。假定初始滑动面对应土条划分数为N，分别编制子程序计算各滑动面的抗滑力矩 $T_n$、滑动力矩 $S_n$和相应的稳定系数，输入相应的 $x_0,y_0,R_0$的范围，滑动约束条件储存在subgrade_constraint文件中。寻优时选用MATLAB遗传算法工具Genetic Algorithm Solver，通过调用函数句柄@min_stab和非线性约束@subgrade_constraint，从而实现遗传进化过程，得到边坡稳定最小稳定系数及对应最小的圆心坐标和滑弧半径。