最小冗余阵列作为一种经典的稀疏阵列，在阵列信号处理中被广泛应用，特别适用于线性阵列结构。ULA可分为两种类型：最优的最小冗余阵列和非最优的最小冗余阵列 [5] 。这两种类型的阵列在不同的应用场景中发挥着重要的作用。但是最优的最小冗余阵列最多只能有4个阵元，再多便不满足形成条件，因此不具有实践意义，本文中提到的最小冗余阵列都指非最优的最小冗余阵列。非最优的最小冗余阵列必须满足以下条件：

1、差分共阵中的冗余尽可能要少；

2、阵列最后一个阵元的位置满足关系 $M\le m_M\le M_a$ $M_a=M\left(M-1\right)/2$；

3、差分共阵中，除了0元素外的元素集合是由连续虚拟阵元构成的(不计冗余)。

下面以一个5元最小冗余阵列为例子，物理阵列结构和虚拟阵列如图，其中物理阵元位置为 $\mathbb{Z}=0.5\lambda \left[0,1,2,6,10,13\right]$。如 图1 ，差分共阵是连续的，而且冗余度较低，阵元利用率较高、DOA精度较高、DOA精度较高。

最小冗余阵优点显著，但缺点也明显，就是没有物理结构的数学表达。截至目前，通过穷举法只得到了阵元数小于等于17时的物理阵列结构。 图2 列举了最小冗余阵列的部分阵列情况。

嵌套阵列也是一种非常具有代表性的稀疏阵列模型。该阵列由两个以上的均匀线阵组成，两个子阵的阵元间距互不相同。两个子阵列阵元数别为M₁和M₂，阵列阵元数为 $M=M_1+M_2$，如 图3 展示了一个一维嵌套阵列的阵元排布。

图中可以看出，子阵1的阵元间距为半信号波长d，第二个子阵的半信号波长为(M₁+ 1)d。看起来子阵1就好像嵌套在子阵2中，所以被称作是嵌套阵列。可以将阵列的物理阵元位置记作：

${\mathbb{Z}}_{NA}=\left\{m_{1}d|0\le m_1\le M_1-1\right\}\cup \left\{m_{2}d|0\le m_2\le M_2-1\right\}$(2)

通过计算任意两阵元位置差可以得到该阵列的差分共阵：

${ℝ}_{NA}=\left\{-\left[\left(M_1+1\right)M_2-1\right]d,-\left[\left(M_1+1\right)M_2-2\right]d,\cdots ,\left[\left(M_1+1\right)M_2-1\right]d\right\}$(3)

可以看出，该差分共阵中的延迟等间距，所以嵌套阵列生成的虚拟阵列都是连续阵元，虚拟阵列的自由度也大大提高，是 $2\left(M_1+1\right)M_2-1$，提高了DOA估计精度。

定义密集子阵为二维矩阵 $N^{\left(d\right)}$。并设二维整数对角矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}{p}_1& 0\\ 0& p_2\end{array}\right]$，在密集子阵中阵元数为 $\det \left(P\right)$个， $\det (·)$运算表示求解矩阵行列式，结果为一个标量。密集子阵中阵元的位置分布可以表示为：

以一维嵌套阵列为模型，接下来介绍二维嵌套阵列的结构。和一维嵌套阵列相同，二维嵌套阵列仍然是由两个子阵构成，其中密集子阵被稀疏子阵“包围”，就像嵌套在里面一样，阵列中参数设置与阵元分布满足如下规定：

$d{N}^{\left(d\right)}Px=d{N}^{\left(d\right)}{n}^{\left(d\right)},x\in \left[-0.5\text{0}\text{.5}\right)\times \left(-\text{1 0}\right]$(4)

定义稀疏子阵为二维矩阵 $N^{\left(s\right)}=N^{\left(d\right)}P$。取任意整数 $N_1^{\left(s\right)}$和 $N_2^{\left(s\right)}$，稀疏子阵中的阵元数为 $\left(2N_1^{\left(s\right)}+1\right)N_2^{\left(s\right)}$个。稀疏子阵中阵元的位置分布可以表示为：

$\{\begin{array}{l}d{N}^{\left(s\right)}\left[\begin{array}{c}{n}_1^{\left(s\right)}\\ n_2^{\left(s\right)}\end{array}\right]=d{N}^{\left(s\right)}{n}^{\left(s\right)}\\ n_1^{\left(s\right)}\in \left[-N_1^{\left(s\right)},N_1^{\left(s\right)}\right],n_2^{\left(s\right)}\in \left[0,N_2^{\left(s\right)}-1\right]\end{array}$(5)

根据上述对密集子阵和稀疏子阵的描述，可以得知二维嵌套阵列的虚拟阵元个数表达式为 $\left(2N_1^{\left(s\right)}{p}_1+p_1\right)\left(2N_2^{\left(s\right)}{p}_2-1\right)$个，且所有虚拟阵元连续。现在给定参数如下：

$\{\begin{array}{l}{N}^{\left(d\right)}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],P=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\\ \left[N_1^{\left(s\right)},N_2^{\left(s\right)}\right]=\left[1,2\right]\end{array}$(6)

生成的二维嵌套阵列物理结构和对应的虚拟阵列如 图4 、 图5 ：

可以看出，实际物理阵元只有12个，但是生成的虚拟阵元却有63个，而且是连续虚拟阵元，大大提高了了阵列自由度。

和最小冗余阵列相比，嵌套阵列的优点是具有自己的物理阵元表达式，而且能大幅提升阵列自由度。缺点在于不论是一维嵌套阵列还是二维嵌套阵列都具有阵元间距为信号半波长的密集子阵，该子阵容易产生互耦效应，影响DOA估计精度。

为了降低阵元互耦效应对阵列天线DOA估计的负作用，互质阵列应运而生。因为扩大互质阵列比互质阵列自由度更高，适应性更广泛，所以本文中提到的互质阵都为扩大互质阵列。首先介绍一维互质阵列，正如字面意思，互质阵列是构建两个阵元数为互质数的均匀线性阵，其中子阵1为2M个阵元，阵元间为Nd；子阵2为N个阵元，阵元间距为Md，d为信号半波长，共有2M + N − 1个阵元。这两个子阵互相嵌套，共享参考阵元，且由于两个子阵阵元数互质，所以物理阵元不会冲突叠加，这大大减小了阵元间互耦效应 [6] 。互质阵列具体物理结构如 图6 ：

子阵1的物理阵元空间集合表达式为： ${\mathbb{Z}}_{CA1}=\left\{nMd,0\le n\le N-1\right\}$，子阵2的物理阵元空间集合表达式为： ${\mathbb{Z}}_{CA2}=\left\{mNd,0\le m\le 2M-1\right\}$。

则合阵列阵元物理位置表达式为：

${\mathbb{Z}}_{CA}=\left\{Mnd,0\le n\le N-1\right\}\cup \left\{Nmd,0\le m\le 2M-1\right\}$(7)

该互质阵列的虚拟阵列各个虚拟阵元的虚拟位置，即差分共阵的延迟可以表示为：

${ℝ}_{CA}=\left\{\left(u_i-u_j\right)d|i,j=0,1,2,\cdots ,2M+N-2\right\}$(8)

如 图7 ，为一个一维扩大互质阵列的虚拟阵列图，实心黑色三角形代表真实存在的虚拟阵元，白色虚线圆形代表不存在的虚拟阵元。

互质阵列的差分共阵可以拆分为两个子阵的差分共阵和两个子阵的互差优化阵，差分共阵表达式如下：

$\{\begin{array}{l}{ℝ}_{CA}={ℝ}_1\cup {ℝ}_2\cup {ℝ}_{12}\\ {ℝ}_1=\left\{\pm Mnd,0\le n\le N-1\right\}\\ {ℝ}_2=\left\{\pm Nmd,0\le m\le 2M-1\right\}\\ {ℝ}_{12}=\left\{\pm \left(Mnd-Nmd\right),0\le n\le N-1,0\le m\le 2M-1\right\}\end{array}$(9)

其中， ${ℝ}_1$表示为子阵1的差分共阵，也就是子阵1生成的虚拟阵列阵元位置； ${ℝ}_2$、 ${ℝ}_{12}$同理，分别为子阵2的差分共阵和子阵1与子阵2的互差优化阵。

等价为互质阵列差集数组：

$ℂ=\left\{l|l=\pm \left(Mn-Nm\right)d,0\le n\le N-1,0\le m\le 2M-1\right\}$(10)

该数组中的元素l取值范围为：

$l=\pm \left(Mn-Nm\right)d\text{0}\le m\le 2M-1,0\le n\le N-1$(11)

即：

$-\left(2MN-N\right)d\le l\le \left(2MN-N\right)d$(12)

结合以上推导，并通过数学计算，可以得出以下结论：

该互质阵列差集数组 $ℂ$中至少含有 $3MN+M-N$个不同值，即生成的虚拟阵列中有 $3MN+M-N$个不同的虚拟阵元。

虚拟阵列中存在阵元间距相等为半波长的虚拟阵元为 $2MN+2M-1$个，即仅仅使用 $2M+N-1$个物理阵元便可以将阵列自由度扩大一个数量级，拓展了阵列孔径。

连续虚拟阵元位置为：

$\left[-\left(MN+M-1\right),-\left(MN+M-2\right),\cdots ,-1,0,1,\cdots ,MN+M-2,MN+M-1\right]d$(13)

在本章节中，将结合以上三种经典的稀疏阵列，深入分析一种二维稀疏阵列——L型互质阵列。通过一种创新方法，即利用互质阵替代传统的均匀线性阵列，就得到了具有特色的二维L型互质阵列。该阵列设计的核心特点在于它由两组相互垂直的互质线阵构成，两个互质子阵的阵列结构可以不同。通过这种结构布局，L型互质阵列不仅展现了多样化的形态，同时为高级二维阵列设计领域提供了广阔的应用前景。 图8 展示了由两个阵列结构相同的互质阵构成的L型互质阵，其中互质阵的阵列构成为M₁= 2、M₂= 3，d为信号半波长。

如图所示，为了后续分析方便，定义第q个信号的入射角度为 $\left({\theta }_q,{\phi }_q\right)$，其中，θ_q、φ_q分别为信号入射方向与XOZ、YOZ面的夹角。

在执行信号源方向估计的过程中，L型阵列的常用策略包括运用两个互不干扰的子阵列，分别独立地推断出一个坐标轴上的角度信息。这种方法使我们能够分别准确提取信号在水平和垂直方向的角度成分。随后，利用精妙的角度配对技术将这两个维度的角信息有效整合，实现了对信号发射源方向的精确识别。当我们将这种处理架构与第二章中讨论的互质阵列差分共阵相结合时，便能在 图9 中看到一个清晰的L型互质阵列的差分共阵配置图。

为了标识方便，分别称x、y轴上的两个互质阵为 ${\mathbb{Z}}_{LCA}^x$和 ${\mathbb{Z}}_{LCA}^y$，其中， ${\mathbb{Z}}_{LCA}^x\triangleq {\left\{v_m\right\}}_{m=1}^{M_x}$为x轴上互质阵阵元位置分布的集合， $M_x$为x轴上互质阵的阵元总数； ${\mathbb{Z}}_{LCA}^y\triangleq {\left\{v_m\right\}}_{m=1}^{M_y}$为y轴上互质阵阵元位置分布的集合， $M_y$为y轴上互质阵的阵元总数。

假设共有Q个远场窄带信号入射到L型互质阵中，因此，阵列中两部分子阵在k时刻接收到的数据分别为：

$\begin{array}{c}{x}_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left(k\right)={\displaystyle \underset{q=1}{\overset{Q}{\sum }}{a}_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left({\phi }_q\right)s_q\left(k\right)}+n_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left(k\right)\\ =A_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}s\left(k\right)+n_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left(k\right)\end{array}$(14)

$\begin{array}{c}{x}_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}\left(k\right)={\displaystyle \underset{q=1}{\overset{Q}{\sum }}{a}_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}\left({\theta }_q\right)s_q\left(k\right)}+n_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}\left(k\right)\\ =A_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}s\left(k\right)+n_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}\left(k\right)\end{array}$(15)

其中， $a_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left({\phi }_q\right)={\left[1,{\text{e}}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{v}_{2}sin{\phi }_q},\cdots ,{\text{e}}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{v}_{M_x}sin{\phi }_q}\right]}^{\text{T}}\in {ℂ}^{M_x\times 1}$表示 ${\mathbb{Z}}_{LCA}^x$上 ${\phi }_q$方向的导向矢量； $A_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}=\left[a_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left({\phi }_1\right),a_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left({\phi }_2\right),\cdots ,a_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^x}\left({\phi }_Q\right)\right]\in {ℂ}^{M_x\times Q}$表示 ${\mathbb{S}}_x$的阵列流形矩阵； $a_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}$与 $A_{{\mathbb{Z}}_{LCA}^y}$同理，分别表示为 ${\mathbb{Z}}_{LCA}^y$上 ${\theta }_q$方向的导向矢量和阵列流型矩阵。 $S\left(k\right)={\left[s_1\left(k\right),s_2\left(k\right),\cdots ,s_Q\left(k\right)\right]}^{\text{T}}\in {ℂ}^{Q\times 1}$表示入射信号。