下列方程组决定了调节级的进气流量 [2] [6] ：

$\begin{array}{l}{G}_{ac1}=G_{ac10}{\beta }_1\sqrt{\frac{T_{ac10}}{T_{ac1}}}\frac{P_{ac1}}{P_{ac10}}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_k{\theta }^k}\\ 其中:{\beta }_1=\{\begin{array}{l}当P_{ac2}/P_{ac1}\le {\epsilon }_{cr}时:1\\ 当P_{ac2}/P_{ac1}>{\epsilon }_{cr}时:\sqrt{1-{\left[\left(\epsilon -{\epsilon }_{cr}\right)/\left(1-{\epsilon }_{cr}\right)\right]}^{1/2}}\end{array}\end{array}$(1)

在上式中G_ac1作为调节级参数，负责调控进汽流量的大小；在变工况条件下，G_ac10则用于调节级的进汽流量调整。关于蒸汽状态，P_ac1和T_ac1分别表示调节级进口处的蒸汽压力和温度；而在设计工况下，这些参数则分别对应为P_ac10和T_ac10。进一步地，P_ac2被用来衡量调节级出口蒸汽的压力状态。另外，过热蒸汽的临界压比用ε_cr表示，其值为0.546；θ指的是进汽调节阀的开度，而α_0~k参数则用于流量的拟合计算。

在汽轮机运行过程中，当蒸汽的初始压力和初始温度对性能影响相对有限时，其运行效率主要由转速和焓降这两个关键参数所决定。转速的高低以及焓降的幅度，直接影响着汽轮机的热效率和机械效率，从而决定了其整体性能的表现：

$\eta =f_{\eta }\left(\pi n/\sqrt{2\Delta H}\right)$(2)

式中：η为效率；n为转速；π为齿轮箱减速比；ΔH为焓降。

在等熵膨胀时，工质在汽轮机首级内效能转换率最大：

$\{\begin{array}{l}{S}_{ac1}=f_S\left(P_{ac1},H_{ac1}\right)\\ S_{ac2}=S_{ac1}\\ H_{ac2S}=f_H\left(P_{ac2},S_{ac1}\right)\end{array}$(3)

将式(2)带进式(3)中，得到了调节级在实际情况下的排汽焓和输出功率：

$\{\begin{array}{l}{H}_{ac2}=H_{ac1}-{\eta }_{ac}\left(H_{ac1}-H_{ac2S}\right)\\ P_{ac}=G_{ac1}\Delta H=G_{ac1}\left(H_{ac1}-H_{ac2}\right)\end{array}$(4)

式中：H_ac2S为理想排汽焓；S_ac2S，S_ac1，H_ac1，H_ac2分别为蒸汽的进、出口熵和焓。

在推进轴的动力学分析中，力矩的组成包括汽轮机的驱动扭矩、电动机的驱动扭矩、螺旋桨的阻力矩以及轴系上的其他阻力矩 [7] 。当变负荷发生时，驱动力矩(特指汽轮机与电动机的扭矩)和螺旋桨的阻力矩会经历变化。这些力矩的不平衡状态由人为设定的阀值触发电动机的自启动机制。进一步地，推进轴的转速和加速度将因这种不平衡而有所调整，这一变化过程遵循能量守恒的基本原理：

$\frac{\text{d}n}{\text{d}t}=\frac{P_W+P_D-P_{loss}-P_P}{2\pi Jn}$(5)

采用隐式欧拉方法进行整理后，我们得到了相应的结果：

$n=\sqrt{{n^{\prime }}^2+\frac{P_W+P_D-P_{loss}-P_P}{\pi J}\Delta t}$(6)

在探讨汽轮机、电动机以及螺旋桨的功率特性时，我们定义P_W为汽轮机功率，P_D为电动机功率，P_loss为轴系传动损失，而P_P则特指螺旋桨功率。关于推进轴的转速特性，我们引入变量n表示当前时刻的转速，并用n'来表示前一时刻的转速。同时，J被用来描述轴系的转动惯量，而ω则代表了轴系的角加速度。这些参数共同构成了我们分析动力传动系统性能的基础。

遵循面向对象的设计原则 [8] - [11] ，我们将管道系统划分为支路模块与节点模块两大核心组件。首先，我们为这两大模块分别构建其数学模型，以确保其准确性和可计算性。随后，基于实际的管道系统拓扑结构，我们整合这两类模块的数学模型，以构建整个管道系统的全面且细致的数学模型。

将平均参数作为集总参数的考量，我们构建了支路内部流体的动量守恒方程，以此来准确描述流体在支路中的动态行为 [3] [10] ：

$L_{fn}\left(\partial W_{fn}/\partial t+W_{fn}\partial W_{fn}/\partial L_{fn}\right)=A_{fn}\left[p_{fn1}-p_{fn2}+\Delta p\left(W_{fn}\right)+{\rho }_{fn}g\Delta H_{fn}\right]-f_w$(7)

在流体动力学研究中，我们引入W_fn作为流体的平均质量流量的标识。进一步地，p_fn1和p_fn2分别代表支路进口和出口处流体的压力值。ΔH_fn描述的是支路进出口之间的高程差异，而L_fn则是管路长度的度量。此外，A_fn指代的是管路的横截面积，f_w表示管路沿程的阻力特性。对于泵的性能，我们使用Δp_fn1(W_fn)来量化其扬程，它是基于W_fn的函数。最后，ρ_fn则是用来描述流体的密度。这些参数共同构成了我们分析流体在管路系统中流动特性的基础。

f_w的相关方程为：

$f_w=\frac{{\xi }_{fn}\left|W_{fn}\right|W_{fn}}{2{\rho }_{fn}{C}_{fnv}^2}$(8)

在分段集总参数的特定背景下，我们充分考量了式(8)并将其代入式(7)中，经过运算后，得出以下结果得：

$2L_{fn}{\rho }_{fn}{C}_{fnv}^2\partial W_{fn}/\partial t=A_{fn}{\rho }_{fn}{C}_{fnv}^2\left[p_{fn1}-p_{fn2}+\Delta p\left(W_{fn}\right)+{\rho }_{fn}g\Delta H_{fn}\right]-{\xi }_{fn}\left|W_{fn}\right|W_{fn}$(9)

式(9)中：ξ_fn和C_fnv分别为支路的沿程阻力系数和流通系数。

在特定时刻，我们对上式(9)采用了泰勒级数展开的方法，经过推导和整理后，得出如下结果：

$\begin{array}{c}{p}_{fn1}^{t+\Delta t}-p_{fn2}^{t+\Delta t}=\left[\frac{{\xi }_{fn}\left|W_{fn}^t\right|}{{\rho }_{fn}{A}_{fn}{C}_{fnv}^2}+\frac{L_{fn}}{A_{fn}\Delta t}-\frac{\text{d}\Delta p\left(W_{fn}^t\right)}{\text{d}{W}_{fn}}\right]W_{fn}^{t+\Delta t}\\ +\left[\frac{\text{d}\Delta p\left(W_{fn}^t\right)}{\text{d}{W}_{fn}}-\frac{{\xi }_{fn}\left|W_{fn}^t\right|}{2{\rho }_{fn}{A}_{fn}{C}_{fnv}^2}-\frac{L_{fn}}{A\Delta t}\right]W_{fn}^t-\Delta p\left(W_{fn}^t\right)+{\rho }_{fn}g\Delta H_{fn}\end{array}$(10)

式(10)中：上标t表示t时刻；上标t + Δt表示t + Δt时刻。

令：

$\{\begin{array}{l}{R}_{fn}^b={\left[\frac{{\xi }_{fn}\left|W_{fn}^t\right|}{{\rho }_{fn}{A}_{fn}{C}_{fnv}^2}+\frac{L_{fn}}{A_{fn}\Delta t}-\frac{\text{d}\Delta p\left(W_{fn}^t\right)}{\text{d}{W}_{fn}}\right]}^{-1}\\ C_{fn}^b=\left\{\left[\frac{\text{d}\Delta p\left(W_{fn}^t\right)}{\text{d}{W}_{fn}}-\frac{{\xi }_{fn}\left|W_{fn}^t\right|}{2{\rho }_{fn}{A}_{fn}{C}_{fnv}^2}-\frac{L_{fn}}{A_{fn}\Delta t}\right]W_{fn}^t+\Delta p\left(W_{fn}^t\right)-{\rho }_{fn}g\Delta H_{fn}\right\}{R}_b\end{array}$(11)

通过实施线性化处理策略，我们对上式(11)进行了转换，从而得到了新的表达式：

$W_{fn}^{t+\Delta t}=R_{fn}^b\left(p_{fn1}^{t+\Delta t}-p_{fn2}^{t+\Delta t}\right)+C_{fn}^b$(12)

式(12)中： $R_{fn}^b$和 $C_{fn}^b$为支路阻性特征参数和流量特征参数；Δt为计算步长。

在管道系统的架构中，节点模块作为关键元素，广泛存在于多个支路模块及其与设备之间的连接处。这些节点模块，如设备的流体进出口或管路的交汇点，都扮演着至关重要的角色。若某一特定节点与其他节点通过多个支路相连，在此节点处的流体质量守恒可以通过集总参数化后的方程来描述 [3] [10] ：

$V_{pn}\left(\frac{\partial {\rho }_{pn}}{\partial p_{pn}}\frac{\partial p_{pn}}{\partial t}+\frac{\partial {\rho }_{pn}}{\partial T_{pn}}\frac{\partial T_{pn}}{\partial t}\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{W}_{fni}}-W_{pne}$(13)

为了在不同操作条件下准确评估节点的泄漏流量W_pne，我们采用以下数学公式进行计算：

$\{\begin{array}{l}裂缝:W_{pne}=b_{leak}{h}_{leak}^3{\xi }_{fn}\frac{p_{pn}-p_0}{128{\mu }_{fn}{l}_{leak}}\\ 破孔:W_{pne}=2k_{leak}^2{A}_{leak}^2\frac{p_{pn}-p_0}{{\rho }_{pn}\left|W_{pne}\right|}\end{array}$(14)

为了简化分析过程并增强公式的可解释性，我们对式(14)进行了线性化处理。在此过程中，我们特别将节点泄漏特征 $R_{fn}^e$作为核心参数进行考量，进而推导出相应的计算公式，具体表达如下：

$\{\begin{array}{l}裂缝:R_{fn}^e=\frac{b_{leak}{h}_{leak}^3{\xi }_{fn}}{128{\mu }_{fn}{l}_{leak}}\\ 破孔:R_{fn}^e=2k_{leak}^2{A}_{leak}^2/\left({\rho }_{pn}\left|W_{pne}\right|\right)\end{array}$(15)

在评估裂缝对于流体流动的影响时，我们引入b_leak作为裂缝宽度的度量，h_leak表示裂缝的深度，而l_leak则代表裂缝的长度。为了描述蒸汽在裂缝中的流动特性，我们采用μ_fn作为蒸汽的运动粘度的标识。同时，p₀被用来表示环境压力，这是一个重要的外部条件。对于破孔流动特性的量化，我们定义了k_leak作为流量系数，而A_leak则代表破孔的流通面积。这些参数共同构成了我们分析裂缝和破孔对流体流动影响的基础。

将式(14)代入式(13)中：

$W_{pne}=R_{fn}^e\left(p_{pn}-p_0\right)$(16)

在计算过程中，我们假设某特定条件∂T_pn/∂t≈0成立，并基于此将式(12)和式(16)代入到式(10)中。随后，在特定时刻t，我们采用泰勒级数展开法对方程进行处理，从而得出与节点压力相关的方程：

$K_{pn}\frac{p_{pn}^{t+\Delta t}-p_{pn}^t}{\Delta t}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[R_{fni}^b\left(p_{pni}^{t+\Delta t}-p_{pn}^{t+\Delta t}\right)+C_{fni}^b\right]}+R_{fn}^e\left(p_0-p_{pn}^{t+\Delta t}\right)$(17)

在流体力学分析中，我们定义 $p_{pn}^t$为第t时刻节点的压力，而 $p_{pn}^{t+\Delta t}$则代表第t + Δt时刻节点的压力。对于与当前节点相连的特定节点，其在第t + Δt时刻的压力表示为 $p_{pni}^{t+\Delta t}$。进一步地，我们引入 $R_{fni}^b$来表征相应支路的阻性特征参数，而 $C_{fni}^b$则代表该支路的流量特征参数。此外，为了描述节点的泄漏特性，我们定义了 $R_{fn}^e$作为节点泄漏特征参数。这些参数在流体力学分析中扮演着关键角色，有助于我们更准确地理解和模拟流体系统的动态行为。

在探讨一个包含多个节点的管网系统时，我们假设系统中共有N个节点。基于这些节点，我们可以构建出N个压力节点的压力方程。为了简化计算和分析，我们选取特定的值Δt→0，并将这些方程整理为矩阵形式：

$\Lambda \left(K_{pni}\right)\frac{\text{d}{P}_{pn}}{\text{d}t}=R_{fn}{P}_{pn}+C_{fn}$(18)

在式(18)中，我们定义了一个维列向量P_pn，该向量由管道系统中各个节点的压力与环境大气压力共同构成。同时，引入了一个N × (N+1)维矩阵P_fn，该矩阵包含了管道系统的特定属性。以下是对矩阵P_fn的结构描述，包括其对角线元素以及非对角线元素(或称为列元素)：

$\{\begin{array}{l}{r}_{ii}=-R_{fn}^e-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{R}_{fni}^b}\\ r_{i\left(N+1\right)}=R_{fn}^e\end{array}\left(i=1,2,\cdots ,N\right)$(19)

式(19)中：如果节点i通过支路与节点j相连时才有 $R_{i,j}=-R_{fnbi}$，不相连则为0。

矩阵C_fn包含N个列向量，各元素公式如下：

$C_{fni}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n_i}{\sum }}{C}_{fni}^b}+R_{fn}^e{p}_0\left(i=1,2,\dots ,N\right)$(20)

式(20)中：ΛK_pni为一个N × (N+1)维矩阵，其对角线元素为 $K_{pni}=V_{pni}\partial {\rho }_{pni}/\partial p_{pni}\left(i=\text{1},\text{2},\cdots ,N\right)$，其余为0。