1) 函数极限定义

函数极限定义( $\epsilon -\delta$语言)的具体内容为设f为定义在 $\left[a,\text{+}\infty \right)$上的函数，A为定数。若对任给的( $\epsilon >0$)，存在正数 $M\left(\ge a\right)$，使得当 $x>M$时，有 $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$，则称函数f当x趋于 $+\infty$时以A为极限，记作

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=A或f\left(x\right)\to A\left(x\to +\infty \right).$

2) 难点

函数极限定义的难点在于对无穷增大、无限接近以及函数图象的理解，传统教学方式是教师利用静态的展示图进行口述，这需要学生通过想象来理解概念，但在已经学习数列极限定义基础上，学生面对简单已学的函数可通过画图辅助自己理解函数极限定义并计算函数的极限，但若面对复杂未学的函数，学生很难通过自己画图来理解概念并计算，这时候动态的演示图比静态的展示图教学效果更好，会帮助学生很快理解函数极限，自然而然形成函数极限的定义。

与传统的静态展示相比，通过演示法和练习法等方法进行教学的效果更好，即利用GeoGebra软件进行演示函数的动态极限，并在课后通过布置作业帮助学生多练习和观察其他函数的极限过程，以及思考函数极限在其他学科的应用。

3) 步骤

在教学过程中，将GeoGebra软件与教科书中的例子有机地结合起来，是一种很好提高教学效果的方法。以下是具体的实施步骤，

① 命令区输入

$f\left(x\right)=\frac{x^2-5}{x^2-1}$；

② 创建滑动条a，区间为0~100；

③ 在命令区分别输入 $A=\left(a,0\right),B=\left(0,f\left(a\right)\right)$；

④ 在命令区输入 $p\left(x\right)=\left|f\left(x\right)-1\right|$；

⑤ 在命令区输入 $C=\left(0,p\left(a\right)\right)$ [4] ( 图1 )。

4) 课时

在教学过程中，可以让学生先观察函数

$f\left(x\right)=\frac{x^2-5}{x^2-1}$

的图象，再拖动滑动条a，观察点A、B的移动趋势。学生可以直观发现，A点表示x的变化，B点表示函数 $f\left(x\right)$的变化。随着滑动条的拖动，即表示当x无穷增大时，B点越来越靠近(0, 1)，即函数 $f\left(x\right)$越来越靠近1这个数。另外，在拖动滑动条的过程中，学生还观察到函数 $p\left(x\right)$所表示的点C的变化趋势，随着x的无穷增大时，点C越来越靠近(0, 0)，表示x趋于无穷大时，函数 $p\left(x\right)$趋于0这个数。通过这种直观、动态的图象展示，学生就很清晰知道x趋于无穷大时 $f\left(x\right)$的变化趋势以及函数 $f\left(x\right)$极限逼近的过程，此时他们可以得出一个结论：随着x的无穷增大， $f\left(x\right)$越来越接近1，再通过GeoGebra软件计算函数的极限验证，我们可知

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-5}{x^2-1}=1.$

在授课过程中，为了让学生充分感受到无穷增大、无限接近的概念以及函数图象的直观展示，可以再按照上面步骤，在命令区输入其他函数表达式，让学生观察随着x趋于无穷大或者x趋于某个数时其他函数图象的趋势，例如 $x\to 2^{-}$时 $f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$图象的趋势( 图2 )。

在这种动态演示的直观感受下，学生可以得出“随着x的无穷增大或者趋于某个数时，函数越来越接近一个数”这一结论，自然而然他们就很容易形成函数极限的概念。

5) 课后

课后，可以让学生结合相关作业，运用GeoGebra软件来演示和理解作业中的函数图象及极限计算。这样做可以使学生更直观地掌握各种函数的图象和极限计算过程，从而深化对函数极限概念的理解，有助于学生积累相关的知识和经验，为学生后面的课程学习奠定了基础。

另外，还可以让学生课后研究利用GeoGebra软件在高中物理教学中关于函数极限的应用，如电源输出功率 $P_{出}$随外电阻R的变化情况，即根据GeoGebra软件上 $P_{出}$对应的具体函数图象来观察随着R的变化， $P_{出}$的特殊值以及区域变化，进一步还可以研究电源内电阻r的功率 $P_r$、闭合电路的总功率P、电源的效率 $\eta$随外电阻R的变化 [5] 。

1) 定义

设 $f\left(x,y\right)$是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数 $\epsilon$，总存在某个正数 $\delta$，使对于D的任何分割T，当它的细度 $\Vert T\Vert <\delta$时，属于T的所有积分和都有

$\left|\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i-J\right|<\epsilon$，

则称 $f\left(x,y\right)$在D上可积，数J称为函数 $f\left(x,y\right)$在D上的二重积分，记作

$J={\displaystyle \underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}\sigma }$，

其中 $f\left(x,y\right)$称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域。

2) 难点

在二重积分定义的教学中，教师大多通过求解曲顶柱体的体积进行引入二重积分的概念，这一求解过程的思想方法与定积分概念的引例类似，也是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到，所不同的是定积分概念是在二维图形上讨论，但二重积分概念是在三维图形上讨论，这就需要学生想象过程。这源于二重积分的几何意义，即曲顶柱体的体积计算，具体过程如下：首先，将曲顶柱体的底部区域分割成若干个小区域；然后，在每个小区域上，用平顶的柱体来近似替代曲顶柱体；接着，计算这些平顶柱体的体积；最后，对所有小平顶柱体的体积进行求和，并取极限，从而得到曲顶柱体的体积，这一过程也正好构成了二重积分的定义 [6] 。

在求曲顶柱体的体积时用小平顶柱体作为小曲顶柱体的近似值时，小平顶柱体在传统的教学方式是通过静态的图展示给学生，不能直观展示动态的、可以拖动不同角度观察的图。在求曲顶柱体的体积时用小平顶柱体作为小曲顶柱体的近似值，但是小平顶柱体难以通过静态图展示各个角度的图形，而GeoGebra软件可以演示一个小平顶柱体，甚至多个小平顶柱体的动态过程。

3) 步骤

在授课过程中，结合求解曲顶柱体的体积这一例子并利用GeoGebra软件动态演示“分割、近似求和、取极限”这一过程，具体步骤如下：

① 打开3D绘图区，在指令区输入

$f\left(x,y\right)=4-\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$；

② 打开绘图区，在指令区分别创建整数滑动条n，k，区间为1~20；

③ 在指令区分别输入直线x = 0，y = 0，命名为a，b；

④ 在直线a，b上描点，分别命名为点C、点A；

⑤ 分别在x轴和y轴创建单位向量，命名为u和v；

⑥ 在指令区分别输入射线(A, u)，射线(C, v)，命名为射线c和射线d；

⑦ 在射线c，d上描点，分别命名为点B、点D；

⑧ 在指令区分别输入

$\begin{array}{l}E=\left(x\left(A\right),y\left(C\right)\right),F=\left(x\left(B\right),y\left(C\right)\right),\\ G=\left(x\left(A\right),y\left(D\right)\right),H=\left(x\left(B\right),y\left(D\right)\right);\end{array}$

⑨ 在指令区分别输入线段DG，线段CE，线段EA，线段FB，线段GH，线段HF，线段FE，线段EG；

⑩ 在指令区分别输入

$序列\left(线段\left(\left(x\left(E\right),y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}t\right),\left(x\left(F\right),y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}t\right)\right),t,1,n\right)$，

$序列\left(线段\left(\left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}t,y\left(E\right)\right),\left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}t,y\left(G\right)\right)\right),t,1,n\right)$；

⑪ 在指令区分别输入

余式 $\left(k,n\right),floor\left(\frac{k}{n}\right)$，

命名为e，o；

⑫ 在指令区输入

$L=\left(x\left(E\right)+\frac{e\left(x\left(F\right)-x\left(E\right)\right)}{n},y\left(E\right)+\frac{o\left(y\left(G\right)-y\left(E\right)\right)}{n}\right)$；

⑬ 在指令区输入

$多边形\left(\begin{array}{l}\left(x\left(L\right),y\left(L\right)\right),\left(x\left(L\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n},y\left(L\right)\right),\\ \left(x\left(L\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n},y\left(L\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}\right),\\ \left(x\left(L\right),y\left(L\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}\right)\end{array}\right)$，

命名为四边形q1；

⑭ 在指令区输入

棱柱 $\left(q1,f\left(x\left(L\right),y\left(L\right)\right)\right)$；

⑮ 在指令区输入

点 $P=\left(x\left(L\right),y\left(L\right),f\left(x\left(L\right),y\left(L\right)\right)\right)$；

⑯ 在指令区输入

$序列\left(\begin{array}{l}序列\left(\begin{array}{l}棱柱\left(\begin{array}{l}多边形\left(\begin{array}{l}\left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}t,y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}s\right),\\ \left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}\left(t-1\right),y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}s\right),\\ \left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}\left(t+1\right),y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}\left(s+1\right)\right),\\ \left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}t,y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}\left(s+1\right)\right)\end{array}\right),\\ f\left(x\left(E\right)+\frac{x\left(F\right)-x\left(E\right)}{n}t,y\left(E\right)+\frac{y\left(G\right)-y\left(E\right)}{n}s\right)\end{array}\right),\\ s,0,n-1\end{array}\right),\\ t,0,n-1\end{array}\right)$

(如 图3 ， 图4 所示)

4) 课时

在教学中，学生会发现，二重积分的概念与定积分的概念体现出来的思想方法是相同的，同样是一个“分割，近似求和，求极限”的过程，教师可以通过演示法先给学生演示分割的小平顶柱体的其中一个，再展示全部小平顶柱体(如 图5 )，还可以转换各种角度展示小平顶柱体的各个细节。接着通过拖动滑动条n，改变分割的小平顶柱体的个数，形象地展示二重积分里的加细分割和取极限的过程 [7] 。学生通过“分割、近似求和、取极限”这一直观动态的演示，更加深刻理解二重积分概念的本质。

5) 课后

课后学生可根据这一动态过程，结合作业尝试自己验证其他曲顶柱体的体积。二重积分可以解决物理学与工程技术中的非均匀平面的质量、质心、转动惯量等问题，例如在解决空间物体V的转动惯量时，把V看作由n个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得V的转动惯量，这同样运用的是“分割，近似求和，求极限”的过程，学生可以进一步尝试演示验证二重积分的计算问题 [7] 。

1) 难点

对于一般区域,通常可以分解成x型区域或y型区域两类区域来进行计算。学生在计算直角坐标系下的二重积分时，经常面临区分区域D是x型区域还是y型区域的困难，同时也难以确定积分的上、下极限。除此之外，面对复杂的函数图象所围成的区域，学生难以理解所围区域的形状，导致后续的计算无法进行。所以，在教学过程中可结合课本实例并利用GeoGebra软件将所围成的区域画出来，帮助学生区分区域和找出积分的上、下极限。

2) 实例分析及步骤

例题1： ${\displaystyle \underset{D}{\iint }x{y}^2}\text{d}\sigma$，其中D是由抛物线 $y^2=6x$与直线x = 1.5所围成的区域；

例题2： ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\sqrt{x}}\text{d}\sigma$，其中 $D=\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2\le x\right\}$。

具体步骤为：

① 在指令框输入 $\frac{1}{6}{y}^2\le x\le 1.5$( 图6 )；

② 在指令框输入 $x^2+y^2\le x$ [8] ( 图7 )。

3) 步骤

在教学过程中，将GeoGebra软件与教科书中的例子有机地结合起来，是一种很好提高教学效果的方法。以下是具体的实施步骤：

在判断是x型区域或y型区域，要先理解这两个区域的特点：当D为x型区域时，垂直于x轴的直线 $x=x_0\left(a<x_0<b\right)$至多与区域D的边界交于两点；当D为y型区域时，直线 $y=y_0\left(c<y_0<d\right)$至多与D的边界交于两点。在教学过程中，让学生仔细观察这两个区域是x型区域或y型区域，再思考积分的上下极限。通过观察 图6 和 图7 ，可以把这两个区域当成x型区域。接下来确定积分的上下极限，也就是x和y的范围，根据例题给出的表达式和区域可得知，

例题1的区域为

$D=\left\{\left(x,y\right)|-\sqrt{6x}\le y\le \sqrt{6x},0\le x\le 1.5\right\}$,

例题2的区域为

$D=\left\{\left(x,y\right)|-\sqrt{x-x^2}\le y\le \sqrt{x-x^2},0\le x\le 1\right\}$.

利用GeoGebra软件结合例题画出区域，不仅在课堂上方便直观呈现出来，而且与比传统教学方式的手绘图相比更节约时间，提高教学效率。

4) 课后

课后学生可结合作业中的题目，利用GeoGebra软件画出相关区域。另外学生可以根据课本例题尝试画出空间直角坐标系下的三维区域，例如牟合方盖分成八瓣、维维安尼体等( 图8 ， 图9 )，再进一步根据GeoGebra软件展示图形的对称性特点，利用二重积分和三重积分的分别求得其曲面的面积和体积 [9] 。在此过程中GeoGebra软件展示的图形直观展示了区域图形的特点，简化了计算过程。