本文考虑如下具有对数分线性项的p-双调和抛物方程：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t+\Delta \left({\left|\Delta u\right|}^{p-2}\Delta u\right)+\Delta u_t={\left|u\right|}^{q-2}u\ln \left|u\right|,\hfill & x\in \Omega ,t>0;\hfill \\ u=\frac{\partial u}{\partial \upsilon }=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0;\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$(1)

其中： $\Omega \subset {ℝ}^N\left(N\ge 1\right)$是具光滑边界 $\partial \Omega$的有界区域， $\upsilon$是 $\partial \Omega$上的单位外法向量， $u_0\left(x\right)\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$， ${\Delta }_p^{2}u=\Delta \left({\left|\Delta u\right|}^{p-2}\Delta u\right)$为p-双调和算子，当 $p=2$时，称为双调和算子，指数p和q满足：

$2\le p\le q<p\left(1+\frac{4}{N}\right)$.(2)

Payne和Sattinger [1] 首次构建位势井理论的框架，研究了如下非线性波动方程的初边值问题。

$u_{tt}=\Delta u+f\left(u\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,+\infty \right)$，

得到了如果初值落入井内集合，则整体解存在；如果初值落入井外集合，则整体解不存在。此后，位势井法成为研究问题弱解整体存在性以及衰退和爆破性质的重要方法 [2] [3] 。Liu [4] 改进了先前的研究结果，提出了一种新的方法，即所谓的位势井族。对于源项 $f\left(u\right)={\left|u\right|}^{p-1}u$的情形，Liu得到了初值在亚次临界初始能量时，弱解不会位于真空隔离区域的结果。位势井族的方法被众多学者成功应用到一些偏微分方程弱解的研究当中 [5] - [7] 。

四阶微分方程是在非线性弹性地基上研究弹性梁挠度问题时产生的，现实生活中很多重要现象都可以用四阶偏微分方程来描述 [8] [9] ，将四阶微分方程推广到更复杂的情形，即p-双调和方程，许多学者考虑了这类方程，可参考文献 [10] - [12] 。其中，Liu和Fang [10] 研究了问题(1)，他们结合Galerkin方法、改进的对数Sobolev不等式及位势井理论，得到了在 $\max \left\{1,2N/\left(N+4\right)\right\}<p\le q<p\left(1+4/N\right)$的情形下弱解的整体存在性；利用微分不等式技巧得到了 $1<p\le q\le 2$时弱解在无穷远处爆破，并利用凹引理得到了 $\max \left\{1,2N/\left(N+4\right)\right\}<p\le q$、 $2<q<p\left(1+4/N\right)$时，弱解在有限时间爆破的结果；此外在 $\max \left\{1,2N/\left(N+4\right)\right\}<p<q<2$的情形下，给出了弱解的熄灭现象，并得到了衰退率的估计。但对问题(1)在 $2\le p\le q<p\left(1+4/N\right)$时弱解的衰退未作分析。本文在文献 [10] 的基础上，给出了弱解在 $2\le p\le q<p\left(1+4/N\right)$情形下的衰退估计，相较于一般的位势井理论，在研究弱解衰退性质时，对于 $p=2$和 $p>2$需采用不同的处理方法，本文则利用位势井族及微分不等式技巧，研究了 $p\ge 2$的更一般的结果，从而完善了 [10] 的结果。

在本文中，对任意 $u\in L^p\left(\Omega \right)$， ${\Vert u\Vert }_p={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}$表示u的 $L^p\left(\Omega \right)$范数。由于 $p\ge 2$，则有下列事实成立

$p\left(1+\frac{4}{N}\right)<\{\begin{array}{l}\frac{Np}{N-2p},N>2p,\\ +\infty ,N\le 2p.\end{array}$

首先定义与之相关的泛函和集合，对任意 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，令

$J\left(u\right)=\frac{1}{p}{\Vert \Delta u\Vert }_p^p-\frac{1}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}+\frac{1}{q^2}{\Vert u\Vert }_q^q$，(3)

$I\left(u\right)={\Vert \Delta u\Vert }_p^p-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}$，(4)

则有

$J\left(u\right)=\frac{1}{q}I\left(u\right)+\frac{q-p}{pq}{\Vert \Delta u\Vert }_p^p+\frac{1}{q^2}{\Vert u\Vert }_q^q$，(5)

定义Nehari流形 $\mathcal{N}=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\},I\left(u\right)=0\right\}$，井深 $d=\underset{u\in \mathcal{N}}{\inf }J\left(u\right)$。定义位势井W和井外集合V如下：

$W=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)|J\left(u\right)<d,I\left(u\right)>0\right\}\cup \left\{0\right\}$，

$V=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)|J\left(u\right)<d,I\left(u\right)<0\right\}$，

将上述单个位势井推广到位势井族，对于任意 $\delta >0$，定义修正的泛函和Nehari流形为

$I_{\delta }\left(u\right)=\delta {\Vert \Delta u\Vert }_p^p-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}$，(6)

${\mathcal{N}}_{\delta }=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\},I_{\delta }\left(u\right)=0\right\}$，

相应的势井集合为

$W_{\delta }=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)|J\left(u\right)<d\left(\delta \right),I_{\delta }\left(u\right)>0\right\}\cup \left\{0\right\}$，

$V=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)|J\left(u\right)<d\left(\delta \right),I_{\delta }\left(u\right)<0\right\}$，

其中井深 $d\left(\delta \right)=\underset{u\in {\mathcal{N}}_{\delta }}{\inf }J\left(u\right)$。

接下来，给出以下几个与 $I_{\delta }\left(u\right)$性质相关的引理。

引理2.1 令 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，p和q满足式(2)，对于任意的 $0<\alpha <p\left(1+4/N\right)$，如果 $I_{\delta }\left(u\right)=0$，那么有 ${\Vert \Delta u\Vert }_p>r_{\alpha }\left(\delta \right)$，其中 $r_{\alpha }\left(\delta \right)={\left(\delta \alpha /B_{\alpha }^{\alpha +q}\right)}^{1/\left(q+\alpha -p\right)}$， $B_{\alpha }$是 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\circlearrowleft L^{q+\alpha }\left(\Omega \right)$的最优嵌入常数。

证明 通过式(6)和以下事实：

$\ln \left|u\left(x\right)\right|<\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{\alpha }}{\alpha },\forall \alpha >0$，

有：

$\begin{array}{l}{I}_{\delta }\left(u\right)=\delta {\Vert \Delta u\Vert }_p^p-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}\\ >\delta {\Vert \Delta u\Vert }_p^p-\frac{1}{\alpha }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{q+\alpha }}\text{d}x\\ >\left(\delta -\frac{B_{\alpha }^{\alpha +q}}{\alpha }{\Vert \Delta u\Vert }_p^{q+\alpha -p}\right){\Vert \Delta u\Vert }_p^p,\end{array}$

其中 $B_{\alpha }$是 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\circlearrowleft L^{q+\alpha }\left(\Omega \right)$的最优嵌入常数。如果 $I_{\delta }\left(u\right)=0$，由上式可直接得出 ${\Vert \Delta u\Vert }_p^p>{\left(\delta \alpha /B_{\alpha }^{\alpha +q}\right)}^{1/\left(q+\alpha -p\right)}=r_{\alpha }\left(\delta \right)$。

引理2.2 令

$r_{*}\left(\delta \right)=\underset{\alpha \in \left(0,p\left(1+\frac{4}{N}\right)-q\right]}{\sup }{r}_{\alpha }\left(\delta \right)$， $r^{\ast }\left(\delta \right)=\underset{\alpha \in \left(0,p\left(1+\frac{4}{N}\right)-q\right]}{\sup }{\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)$，

其中 ${\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)={\left(\delta \alpha /B_{pq}^{\alpha +q}\right)}^{1/\left(q+\alpha -p\right)}{\left|\Omega \right|}^{\alpha /q\left(q+\alpha -p\right)}$， $B_{pq}$是 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\circlearrowleft L^q\left(\Omega \right)$的最优嵌入常数。那么 $r_{*}\left(\delta \right)$存在且满足 $0<r_{*}\left(\delta \right)\le r^{*}\left(\delta \right)<+\infty$。

证明 由引理2.1，我们可以推断出如果 $r_{*}\left(\delta \right)$存在，那么 $r_{*}\left(\delta \right)>0$。根据Hölder不等式，有：

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}\le {\left|\Omega \right|}^{\frac{\alpha }{q+\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{q+\alpha }\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{q+\alpha }}$，

结合 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\circlearrowleft L^{q+\alpha }\left(\Omega \right)$和 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\circlearrowleft L^q\left(\Omega \right)$，我们可以获得

$\frac{1}{B_{\alpha }}=\underset{u\in X_0}{\inf }\frac{{\Vert \Delta u\Vert }_p}{{\Vert u\Vert }_{q+\alpha }}\le {\left|\Omega \right|}^{\frac{\alpha }{q\left(q+\alpha \right)}}\underset{u\in X_0}{\inf }\frac{{\Vert \Delta u\Vert }_p}{{\Vert u\Vert }_q}=\frac{1}{B_{pq}}{\left|\Omega \right|}^{\frac{\alpha }{q\left(q+\alpha \right)}}$，

因此，

$r_{\alpha }\left(\delta \right)={\left(\frac{\delta \alpha }{B_{\alpha }^{\alpha +q}}\right)}^{\frac{1}{q+\alpha -p}}\le {\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)$，

即 $r_{*}\left(\delta \right)\le r^{*}\left(\delta \right)$。此外，由于 ${\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)$在 $\left[0,p\left(1+4/N\right)-q\right]$的连续性可得 $r^{*}\left(\delta \right)$存在且

$r^{*}\left(\delta \right)=\underset{\alpha \in \left(0,p\left(1+\frac{4}{N}\right)-q\right]}{\sup }{\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)\le \underset{\alpha \in \left[0,p\left(1+\frac{4}{N}\right)-q\right]}{\max }{\sigma }_{\alpha }\left(\delta \right)<+\infty$，

通过上述讨论可得引理得证。

结合引理2.1和引理2.2可得如下推论：

推论2.1 令 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，p和q满足式(2)，如果 $I_{\delta }\left(u\right)=0$，那么有 ${\Vert \Delta u\Vert }_p>r_{\ast }\left(\delta \right)$。

引理2.3 令 $u\in {\mathcal{N}}_{\delta }$，p和q满足式(2)，那么 $d\left(\delta \right)$满足以下性质：

1) 取 $0<\delta \le q/p$时， $d\left(\delta \right)>\left(1/p-\delta /q\right)r_{*}^p\left(\delta \right)$；

2) $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }d\left(\delta \right)>0$； $\underset{\delta \to +\infty }{\lim }d\left(\delta \right)=-\infty$；

3) 在 $0<\delta \le 1$时， $d\left(\delta \right)$是一个递增函数，在 $1<\delta \le q/p$时， $d\left(\delta \right)$是一个递减函数，也即是， $d\left(\delta \right)$在 $\delta =1$时取得最大值d。

证明 (1)结合 $u\in {\mathcal{N}}_{\delta }$和推论2.1得 ${\Vert \Delta u\Vert }_p>r_{\ast }\left(\delta \right)$，由 $J\left(u\right)$和 $I_{\delta }\left(u\right)$定义，可得：

$J\left(u\right)=\left(\frac{1}{p}-\frac{\delta }{q}\right){\Vert \Delta u\Vert }_p^p+\frac{1}{q^2}{\Vert u\Vert }_q^q$，(7)

因此，根据 $d\left(\delta \right)$的定义，可知(1)成立。

(2) 根据(1)的结论直接可得 $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }d\left(\delta \right)>0$；此外，由式(7)有 $\underset{\delta \to +\infty }{\lim }J\left(u\right)=-\infty$，再由 $d\left(\delta \right)$的定义可得 $\underset{\delta \to +\infty }{\lim }d\left(\delta \right)=-\infty$成立。

(3) 为了证明 $d\left(\delta \right)$的单调性，我们只需要证明对于任意的 $0<{\delta }^{\prime }<{\delta }^{″}<1$或 $0<{\delta }^{\prime }<{\delta }^{″}<q/p$且对于任意的 $u\in {\mathcal{N}}_{{\delta }^{″}}$存在一个 $v\in {\mathcal{N}}_{{\delta }^{\prime }}$和一个常数 $\epsilon \left({\delta }^{\prime },{\delta }^{″}\right)>0$使得 $J\left(v\right)<J\left(u\right)-\epsilon \left({\delta }^{\prime },{\delta }^{″}\right)$。事实上，对于所有的u，我们定义 $\lambda =\lambda \left(\delta \right)$满足

$\delta {\Vert \Delta u\Vert }_p^p={\lambda }^{q-p}\left({\Vert u\Vert }_q^q\ln \left|\lambda \right|+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}\right)$，

那么 $I_{\delta }\left(\lambda \left(\delta \right)u\right)=0$，特别地，对于任意的 $u\in {\mathcal{N}}_{{\delta }^{″}}$，有 $\lambda \left({\delta }^{″}\right)=1$使得 $I_{{\delta }^{″}}\left(\lambda \left({\delta }^{″}\right)u\right)=0$。另一方面，我们定义

$\phi \left(\lambda \right)={\lambda }^{q-p}\left({\Vert u\Vert }_q^q\ln \left|\lambda \right|+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}\right)$，

那么可以得到 $\lambda \left(\delta \right)={\phi }^{-1}\left(\delta {\Vert \Delta u\Vert }_p^p\right)$，因此，由 $\phi \left(\lambda \right)$单调递增，可推断出 $\lambda \left(\delta \right)$关于 $\delta$单调递增。令 $g\left(\lambda \right)=J\left(\lambda u\right)$，可得：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }g\left(\lambda \right)={\lambda }^{p-1}\left[{\Vert \Delta u\Vert }_p^p-{\lambda }^{q-p}\left({\Vert u\Vert }_q^q\ln \left|\lambda \right|+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\ln \left|u\right|\text{d}x}\right)\right]\\ =\frac{1}{\lambda }\left[\left(1-\delta \right){\Vert \lambda \Delta u\Vert }_p^p+I_{\delta }\left(\lambda u\right)\right]\\ ={\lambda }^{p-1}\left(1-\delta \right){\Vert \Delta u\Vert }_p^p.\end{array}$

取 $v=\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)u$，那么 $v\in {\mathcal{N}}_{{\delta }^{\prime }}$。对于 $0<{\delta }^{\prime }<{\delta }^{″}<1$的情况，由推论2.1可得 ：

$\begin{array}{l}J\left(u\right)-J\left(v\right)=g\left(1\right)-g\left(\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)}^1{\lambda }^{p-1}\left(1-\delta \right){\Vert \Delta u\Vert }_p^p\text{d}\lambda }\\ >{\lambda }^{p-1}\left({\delta }^{\prime }\right)\left(1-\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)\right)\left(1-{\delta }^{″}\right)r_{*}^p\left({\delta }^{\prime }\right)\\ =\epsilon \left({\delta }^{\prime },{\delta }^{″}\right)>0.\end{array}$

同理，对于 $0<{\delta }^{\prime }<{\delta }^{″}<q/p$的情况我们有：

$\begin{array}{l}J\left(u\right)-J\left(v\right)=g\left(1\right)-g\left(\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)}^1{\lambda }^{p-1}\left(1-\delta \right){\Vert \Delta u\Vert }_p^p\text{d}\lambda }\\ >{\lambda }^{p-1}\left({\delta }^{″}\right)\left(\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)-1\right)\left({\delta }^{″}-1\right)r_{*}^p\left({\delta }^{″}\right)\\ =\epsilon \left({\delta }^{\prime },{\delta }^{″}\right)>0.\end{array}$

因此，(3)中的结论得证。

引理2.4 对于 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，假设 $0<J\left(u\right)<d$且 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$是方程 $d\left(\delta \right)=J\left(u\right)$的两个根。那么对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$， $I_{\delta }\left(u\right)$的符号是不变的。

证明 首先 $0<J\left(u\right)<d$表明 ${\Vert \Delta u\Vert }_p\ne 0$。采用反证法，如果对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$的符号是改变的，那么存在一个 $\bar{\delta }\in \left({\delta }_1,{\delta }_2\right)$使得 $I_{\bar{\delta }}\left(u\right)=0$。由引理2.3(3) ，我们可以得到 $J\left(u\right)=d\left({\delta }_1\right)=d\left({\delta }_2\right)<d\left(\bar{\delta }\right)$，此外，由 $d\left(\delta \right)$的定义有 $J\left(u\right)\ge d\left(\bar{\delta }\right)$，这与 $J\left(u\right)<d\left(\bar{\delta }\right)$矛盾。

首先，回忆问题(1)弱解的整体存在性。

引理3.1 [10] 令 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，p和q满足式(2)，问题(1)有唯一的整体弱解 $u\in L^{\infty }\left(0,\infty ;W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\right)$， $u_t\in L^2\left(0,\infty ;H_0^1\left(\Omega \right)\right)$。此外， $u\left(t\right)$满足下述能量等式：

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u_{\tau }\left(\tau \right)\Vert }_{H_0^1\left(\Omega \right)}^2}\text{d}\tau +J\left(u\left(t\right)\right)\le J\left(u_0\right)$， $0\le t\le \infty$(8)

引理3.1 (当 $J\left(u_0\right)<d$时的不变集合 $W_{\delta }$)令 $u_0\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$， $0<e<d$， ${\delta }_1<{\delta }_2$是方程 $d\left(\delta \right)=e$的两个根。那么在 $I\left(u_0\right)>0$且T是u的最大存在时间的条件下，对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$， $0\le t<T$，问题(1)满足 $J\left(u_0\right)=e$的所有弱解属于 $W_{\delta }$。

证明 令 $u\left(t\right)$是问题(1)的任一弱解。由 $J\left(u_0\right)=e$， $I\left(u_0\right)>0$和引理2.4可得 $J\left(u_0\right)<d\left(\delta \right)$和 $I_{\delta }\left(u_0\right)>0$，即对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$有 $u_0\in W_{\delta }$。接下来对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$和 $0\le t<T$，我们证明 $u\left(t\right)\in W_{\delta }$。采用反证法，由 $I\left(u\right)$在时间上的连续性，可假设存在一个 $t_0\in \left(0,T\right)$使得 $u\left(t_0\right)\in \partial W_{\delta }$，即

$J\left(u\left(t_0\right)\right)=d\left(\delta \right)$，(9)

或

$I_{\delta }\left(u\left(t_0\right)\right)=0$且 ${\Vert \Delta u\left(t_0\right)\Vert }_p\ne 0$，(10)

显然式(9)与式(8)矛盾，如果式(10)成立那么由 $d\left(\delta \right)$的定义我们有 $J\left(u_0\right)\ge d\left(\delta \right)$，这也与式(8)矛盾。因此，引理3.1得证。

注3.1 如果定理3.1 中的假设 $J\left(u_0\right)=e$被 $0<J\left(u_0\right)\le e$代替，那么定理3.1的结论仍然成立。

由文献 [10] 可得为了得到 $2\le p\le q<p\left(1+4/N\right)$情形下弱解的衰退估计，我们只需要考虑初值满足 $0<J\left(u_0\right)<d$和 $I\left(u_0\right)>0$的情形。

定理3.1 令 $u\left(t\right)$是问题(1)的弱解，p和q满足式(2)，如果 $0<J\left(u_0\right)<d$且 $I\left(u_0\right)>0$，那么存在一个常数 $c_1$使得

${\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2\le \{\begin{array}{l}{\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2{\text{e}}^{\frac{-2c^2\left(1-{\delta }_1\right)}{1+c^2}t},p=2,\\ {\left[{\Vert \nabla u_0\Vert }_2^{2-p}+\frac{\left(p-2\right)\left(1-{\delta }_1\right)c^p}{\left(1+c^2\right){\left|\Omega \right|}^{\frac{p-2}{2}}}t\right]}^{-\frac{2}{p-2}},p>2.\end{array}$

证明首先问题(1)的第一个等式两端乘 $u\left(t\right)$，并在 $\Omega$上积分可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\left(t\right)\Vert }_2^2+{\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }_p^p+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\left(t\right)\right|}^q\ln \left|u\left(t\right)\right|\text{d}x}$， $0\le t<+\infty$，

结合式(6)，经过直接计算得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\left(t\right)\Vert }_2^2+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2+\left(1-{\delta }_1\right){\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }_p^p+I_{{\delta }_1}\left(u\left(t\right)\right)=0$， $0\le t<+\infty$，(11)

通过引理3.2，我们得到对于 ${\delta }_1<1<{\delta }_2$有 $u\left(t\right)\in W_{\delta }$，即有 $I_{\delta }\left(u\left(t\right)\right)>0$。由 $I_{\delta }\left(u\right)$关于 $\delta$的连续性及 $d\left(\delta \right)$的定义，可以看出对于 $0\le t<+\infty$有 $I_{{\delta }_1}\left(u\left(t\right)\right)\ge 0$。因此，式(11)可化为

$\frac{1+c^2}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2+\left(1-{\delta }_1\right){\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }_p^p\le 0$， $0\le t<+\infty$.(12)

其中 $c_1$为Poincare系数满足 ${\Vert u\Vert }_2\le c{\Vert \nabla u\Vert }_2$。

接下来，分两种情况考虑。

情形1 $p=2$

由分部积分公式和带 $\epsilon$的Young不等式得：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }u\frac{\partial u}{\partial \upsilon }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}\sigma -{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\Delta u}\text{d}x=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }u\Delta u}\text{d}x\\ \le \frac{\epsilon }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2}\text{d}x+\frac{1}{2\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^2}\text{d}x\\ \le \frac{\epsilon }{2c^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x+\frac{1}{2\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^2}\text{d}x,\end{array}$

取 $\epsilon =c^2$，则得：

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\le \frac{1}{c^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^2}\text{d}x$.(13)

结合(12)和(13)得：

$\frac{1+c^2}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2\le -c^2\left(1-{\delta }_1\right){\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2$，(14)

在式(14)中，从0到t积分得：

${\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2\le {\Vert \nabla u_0\Vert }_2^2{\text{e}}^{\frac{-2c^2\left(1-{\delta }_1\right)}{1+c^2}t}$.

情形2 $p>2$

利用Hölder不等式有：

${\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }_2^2\le {\left|\Omega \right|}^{\frac{p-2}{p}}{\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }_p^2$，(15)

结合(12)、(13)和(15)我们有：

$\frac{1+c^2}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2\le -\frac{\left(1-{\delta }_1\right)c^p}{{\left|\Omega \right|}^{\frac{p-2}{2}}}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^p$，(16)

对式(16)在0到t积分可得：

${\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }_2^2\le {\left[{\Vert \nabla u_0\Vert }_2^{2-p}+\frac{\left(p-2\right)\left(1-{\delta }_1\right)c^p}{\left(1+c^2\right){\left|\Omega \right|}^{\frac{p-2}{2}}}t\right]}^{-\frac{2}{p-2}}$.

定理3.1的结论得证。

作者对同行评阅人的意见和建议深表感谢。

吉林省科技发展计划项目(20240701058FG)。

^*通讯作者。