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Advances in Applied Mathematics

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10.12677/aam.2024.137315

aam-91915

Articles

数学与物理

基于Z球型犹豫模糊语言的矩阵博弈方法
Matrix Game Method Based on Z-Spherical Hesitant Fuzzy Linguistic

陈黄山

杨志辉

东华理工大学理学院，江西南昌收稿日期：2024年6月17日；录用日期：2024年7月11日；发布日期：2024年7月19日

04 07 2024

13 07 3281 3300 17 6 ：2024 11 6 ：2024 11 7 ：2024

2024

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文从决策者和自然方的角度提出一种用于解决多属性决策问题的矩阵博弈方法。首先结合Z-number和球型犹豫模糊集，定义Z球型犹豫模糊集。其次提出有利于决策问题中信息聚合的Z球型犹豫模糊Einstein有序加权平均算子。然后，考虑到矩阵博弈中信息表达问题包含了决策者判断的模糊性、随机性和犹豫性，将Z球型犹豫模糊集运用到矩阵博弈，表示决策者的支付值，同时为了获得具有决策者偏好的最优策略，建立了两个具有多目标函数的非线性数学规划模型，并应用加权平均法将其转化为经典的线性规划模型。随后，依据最优策略下决策者期望支付的相对相似度对备选方案择优排序。最后，将本文所提方法应用于鄱阳湖国家级自然保护区制定经济战略时方案重要性排序中，并与文献方法对比分析，验证该方法的有效性、灵活性和优越性。
In this paper, a matrix game method for solving multiple attribute decision making problems is proposed from the perspective of decision maker and natural party. Firstly, the Z-spherical hesitant fuzzy set is defined by combining Z-number and spherical hesitant fuzzy set. Secondly, a Z-spherical hesitant fuzzy Einstein ordered weighted average operator is proposed, which is beneficial to information aggregation in decision-making problems. Then, considering that the information expression problem in the matrix game contains the fuzziness, randomness and hesitation of the decision maker’s judgment, the Z-sphere hesitant fuzzy set is applied to the matrix game to represent the payoff value of the decision maker. At the same time, in order to obtain the optimal strategy with the decision maker’s preference, a Z-sphere hesitant fuzzy non-linear programming model is constructed. Subsequently, the alternatives are ranked according to the relative similarity of the expected payment of the decision maker under the optimal strategy. Finally, the proposed method is applied to the plan importance ranking of Poyang Lake National Nature Reserve, and compared with the literature method, the effectiveness, flexibility and superiority of the method are verified.

矩阵博弈，Z球型犹豫模糊集，Z球型犹豫模糊非性规划模型，相对相似度
Matrix Game
Z-Spherical Hesitant Fuzzy Z-Spherical Hesitant Fuzzy Non-Sexual Programming Model Relative Similarity

1. 引言

如今社会面临着复杂、模糊且不确定的各类决策问题。幸运的是，博弈论在处理这种错综复杂的决策问题方面具有显著的能力。依据不同的分类标准，博弈论可以有不同的分类方法。例如，根据局中人的多少，可以将其分为二人或多人博弈；根据博弈支付情况，可以分为零和博弈和非零和博弈，此外，根据局中人是否合作，可分为合作博弈与非合作博弈 [1] 。在博弈模型的构建过程中，一般而言需要对博弈类型、参与者的策略以及支付值设定相应的假设。然而，由于决策者的决策行为的复杂性、决策环境中的模糊性和不确定性，以及认知能力的局限性，准确预估各种情境下的支付对于决策者来说是一项充满挑战的任务。而模糊集能够准确有效地描述复杂环境下信息的模糊性和不确定性，因此，将模糊集理论融入到博弈论中可以更好地解决上述问题。

自Zadeh [2] 引入模糊集理论以来，学者们将其作为处理模糊不确定性和解决各学科实际问题的数学工具，并得到了广泛的应用。从广义上讲，刻画模糊不确定性信息的方法可以分为三类：区间数、模糊数和语义术语集。在处理博弈中涉及的模糊不确定性信息时，可以从以上三种方法中选择适合的一种，然后借助模糊集理论进行有效的研究。基于这一理论基础，学者们对模糊博弈展开了深入的研究，并取得了丰富的成果。在模糊博弈方面，李霞等人 [3] 用区间直觉梯形模糊数表示模糊矩阵博弈支付函数，并基于得分函数与精确函数提出了区间直觉梯形模糊矩阵博弈策略最优解的求解方法。梁开荣等 [4] 提出了一种新的基于区间Banzhaf值的非合作–合作两型博弈模型。南江霞等 [5] 借助于目标规划模型的优先因子可以表征联盟重要程度的思想，通过构建多优先级目标规划模型，得到模糊合作博弈新的解。Mashchenko [6] 研究了一类具有模糊局中人策略集的模糊矩阵博弈，且模糊矩阵博弈中局中人的支付值以二型模糊集的形式产生。Malhotra [7] 鉴于概率乘法不平衡语义术语集可以反映专家的独特偏好和不确定性，提出了支付值为概率乘法不平衡语义术语集的两方零和矩阵博弈。Khan [8] 研究了博弈支付值为犹豫模糊语义术语集的两方零和矩阵博弈，并基于后悔理论，构造了求解博弈纳什均衡解的犹豫模糊非线性规划模型。由于博弈论是解决多属性决策问题的有力工具，相关学者从决策者和自然的角度出发，提出了矩阵博弈多属性决策方法。Jana和Roy [9] 提出了一种基于语言毕达哥拉斯犹豫模糊集的距离测度，并利用TOPSIS法分析了该距离测度在矩阵博弈中的应用。Xiao等 [10] 引入区间直觉梯形模糊数来刻画金融机构与集群企业决策过程中的模糊特征，并给出相应的求解方法，以获得金融机构支持产业集群升级的条件和策略。Yano等 [11] 提出了具有模糊随机收益的多目标双矩阵博弈，利用隶属度值和可能性测度，引入一个均衡解集概念。并通过一种交互算法，更新其隶属度值，进而从均衡解集中获得双矩阵博弈的纳什均衡解。

球型犹豫模糊集在积极隶属度、中立隶属度和消极隶属度方面具有较强的表达不确定性的能力，且有效地刻画了人们在隶属度上的犹豫性，很好地兼顾了决策者的不同偏好，因而被广泛应用于多属性决策中。Z-number [12] 由两个参数A和B表示，其中A是对不确定变量X取值的模糊限制，而B是A可靠性的度量。Z-number不仅描述了事物的模糊性，还体现了描述事物模糊性的可信度，从而确保了决策结果的准确性。因此Z-number也是在决策问题背景下阐明决策相关信息的有效工具。为了体现球型犹豫模糊集的不确定性和可靠性，受Z-number的启发，本文提出Z球型犹豫模糊集。最后，考虑到矩阵博弈的支付需要预先给出且存在不可避免的模糊性和不确定性，因此本文采用符合决策者表达习惯的Z球型犹豫模糊集来表达博弈的支付矩阵，并将该模糊矩阵博弈应用于鄱阳湖国家级自然保护区制定经济战略时方案重要性排序中。

2. 预备知识

定义1 [13] 设U为一个非空有限集，集合 $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ}$ 是语言术语集，则定义在U上的犹豫模糊语义术语集(Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set, HFLTS)为：

$H_{S} = {x_{i}, h_{S} (x_{i}) | x_{i} \in U}$ (1)

其中函数 $h_{S} (x_{i}) : U \to S$ 表示元素 $x_{i} \in U$ 映射到集合 $H_{S} \in U$ 的可能隶属度，且 $h_{S} (x_{i}) = {s_{l} (x_{i}) | l = 0, 1, \dots, L}$ ，L为犹豫模糊语言函数 $h_{S} (x_{i})$ 中语言术语项的个数。

为了简化计算，通过引入语言尺度函数f建立如下HFLTS和隶属函数之间的等价关系。

定义2 [14] 设U是非空集合，语言术语集 $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ}$ ，犹豫模糊语义术语集 $H_{S} = {x_{i}, h_{S} (x_{i}) | x_{i} \in U}$ ， $h_{S} (x_{i}) = {s_{l} (x_{i}) | l = 0, 1, \dots, L}$ ，则变换函数f定义为：

$μ = f (S) = {f (s_{i}) = \frac{i}{2 τ + 1} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ}$ (2)

定义3 [15] 设U为一个非空有限集，则定义在U上的球型犹豫模糊集为：

$T = {〈 x, M_{s} (x), L_{s} (x), K_{s} (x) 〉 | x \in U}$ (3)

其中 $M_{S} (x) = {κ | κ \in [0, 1]}, L_{S} (x) = {δ | δ \in [0, 1]}, K_{S} (x) = {\partial | \partial \in [0, 1]}$ 为取值在 $[0, 1]$ 上的集合，分别表示集合U中元素x对集合T的可能积极隶属度、可能中立隶属度和可能消极隶属度，且对 $\forall x \in U$ ，有 $0 \leq {(κ^{+})}^{2} + {(δ^{+})}^{2} + {(\partial^{+})}^{2} \leq 1$ ， $κ^{+} = \max_{κ \in M_{S} (x)} {κ}$ ， $δ^{+} = \max_{δ \in L_{S} (x)} {δ}$ ， $\partial^{+} = \max_{\partial \in K_{S} (x)} {\partial}$ 。

定义4 [16] 设X是一个论域， $S = {s_{0}, s_{1}, \dots, s_{2 τ}}$ 和 $S^{'} = {{s^{'}}_{0}, {s^{'}}_{1}, \dots, {s^{'}}_{2 ξ}}$ 是两个不同的语言术语集， $A_{φ (x)} \in S$ ， $B_{ϕ (x)} \in S^{'}$ ，则定义在X的上语言Z-number为：

$Z = {(x, A_{φ (x)}, B_{ϕ (x)}) | x \in X}$ (4)

其中 $A_{φ (x)}$ 是对不确定变量x取值的模糊限制， $B_{ϕ (x)}$ 是对 $A_{φ (x)}$ 的可靠性度量，且 $A_{φ (x)} = μ_{A} {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}} \to [0, 1]$ ， $B_{ϕ (x)} = μ_{B} {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}} \to [0, 1]$ 。

定义5 [17] 设U为一个非空有限集， $R = (A, B)$ 是二维直觉模糊集(Two Dimensional Intuitionistic Fuzzy Set, TDIFS)， $P = {〈 r_{A} (x), p_{A} (x), q (x) 〉 | x \in U}$ 是Z直觉模糊集(Z Intuitionistic Fuzzy Set, ZIFS)，则映射 $I : TDIFS \to ZIFS$ 定义为：

$r_{A} (x) = μ_{A} (x) \times μ_{B} (b) + ν_{B} (b) (1 - μ_{A} (x))$ (5)

$p_{A} (x) = ν_{A} (x) \times μ_{B} (b) + ν_{B} (b) (1 - ν_{A} (x))$ (6)

$q_{A} (x) = π_{A} (x) \times μ_{B} (b)$ (7)

其中 $A = {〈 x, μ_{A} (x), ν_{A} (x) 〉 | x \in U}$ 是直觉模糊集， $B = {〈 x, μ_{B} (b), ν_{B} (b) 〉 | x \in U}$ 是对A的可靠性度量， $π_{A} (x) = 1 - μ_{A} (x) - ν_{A} (x)$ 为元素x隶属于模糊集A的不确定度。

3. Z球型犹豫模糊Einstein有序加权平均算子 3.1. Z球型犹豫模糊集

定义6 设U是非空集合， $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ}$ ， $S^{'} = {{s^{'}}_{j} | j = 0, 1, \dots, ξ, \dots, 2 ξ}$ 是两个不同的语言术语集， $A = {〈 x_{i}, M_{A} (x_{i}), L_{A} (x_{i}), K_{A} (x_{i}) 〉 | x_{i} \in X}$ 和 $B = {〈 M_{B} (b), L_{B} (b), K_{B} (b) 〉 | b \in [0, 1]}$ 为定义在U上的球型犹豫模糊集，则二维球型犹豫模糊语义术语集(Two Dimensional Speherical HesitantFuzzy Language Term Set, TDSHFLTS) $Z_{T}$ 定义为：

$Z_{T} = {〈 x_{i}, Z_{t} 〉 | x_{i} \in U}$ (8)

其中 $Z_{t} = {(A_{k}, B_{k}) | A_{k} \in S, B_{k} \in S^{'}, k = 1, 2, \dots, L (Z_{t})}$ ， $L (Z_{t})$ 表示模糊集 $Z_{t}$ 中Z-number的个数。 $A_{k}$ 是对不确定变量 $x_{i}$ 取值的模糊约束，且 $M_{A_{k}} (x_{i}) = {κ_{A}^{k} | κ_{A}^{k} \in [0, 1]}$ ， $L_{A_{k}} (x_{i}) = {δ_{A}^{k} | δ_{A}^{k} \in [0, 1]}$ ， $K_{A_{k}} (x_{i}) = {\partial_{A}^{k} | \partial_{A}^{k} \in [0, 1]}$ 为取值在 $[0, 1]$ 上的集合，分别表示不确定变量 $x_{i}$ 隶属于A的积极隶属度、中立隶属度和消极隶属度； $B_{k}$ 是对 $A_{k}$ 的可靠性度量，且 $M_{B_{k}} (b) = {κ_{B}^{k} | κ_{B}^{k} \in [0, 1]}$ ， $L_{B_{k}} (b) = {δ_{B}^{k} | δ_{B}^{k} \in [0, 1]}$ ， $K_{B_{k}} (b) = {\partial_{B}^{k} | \partial_{B}^{k} \in [0, 1]}$ 也为取值在 $[0, 1]$ 上的集合，分别表示不确定变量 $x_{i} \in U$ 隶属于A的可靠度，不可靠度和不确定度。

定义7 设U是一个非空有限集合，定义在U上的Z球型犹豫模糊集(Z Spherical Hesitant Fuzzy Set, ZSHFS) $Z_{S}$ 为：

$Z_{S} = {(x_{i}, Z_{s}) | x_{i} \in U} = {x_{i}, M_{Z_{k}} (x_{i}), L_{Z_{k}} (x_{i}), K_{Z_{k}} (x_{i}) | k = 1, 2, \dots, L (Z_{s})}$ (9)

其中 $M_{Z_{k}} (x_{i}) = {μ^{k} | μ^{k} \in [0, 1]}, L_{Z_{k}} (x_{i}) = {ν^{k} | ν^{k} \in [0, 1]}, K_{Z_{k}} (x_{i}) = {η^{k} | η^{k} \in [0, 1]}$ 分别表示不确定变量 $x_{i} \in U$ 对Z的可靠积极隶属度、可靠中立隶属度和可靠消极隶属度，且对 $\forall x_{i} \in U$ ，有 $0 \leq {(μ^{+})}^{2} + {(ν^{+})}^{2} + {(η^{+})}^{2} \leq 1$ ，其中 $μ^{+} = \max_{μ \in M_{Z_{k}} (x)} {μ^{k}}$ ， $ν^{+} = \max_{ν \in L_{Z_{k}} (x)} {ν^{k}}$ ， $η^{+} = \max_{η \in K_{Z_{k}} (x)} {η^{k}}$ 。为简便起见，称 $z = 〈 M_{Z_{k}}, L_{Z_{k}}, K_{Z_{k}} 〉$ 为Z球型犹豫模糊数(Z Spherical Hesitant Fuzzy Numbers, ZSHFN)。

定义8 设 $Z_{T} = {〈 x_{i}, Z_{t} 〉 | x_{i} \in U}$ 是二维球型犹豫模糊集， $M_{Z} (x_{i})$ ， $L_{Z} (x_{i})$ ， $K_{Z} (x_{i})$ 分别表示不确定变量 $x_{i} \in U$ 对Z的可靠积极隶属度、可靠中立隶属度和可靠消极隶属度，则映射 $I : TDSHFLTS \to ZSHFS$ 定义为：

$M_{Z_{k}} (x_{i}) = M_{A_{k}} (x_{i}) \times M_{B_{k}} (b) + L_{B_{k}} (b) (1 - M_{A_{k}} (x_{i}))$ (10)

$L_{Z_{k}} (x_{i}) = L_{A_{k}} (x_{i}) \times L_{B_{k}} (b) + L_{B_{k}} (b) (1 - L_{A_{k}} (x_{i}))$ (11)

$K_{Z_{k}} (x_{i}) = K_{A_{k}} (x_{i}) \times K_{B_{k}} (b)$ (12)

3.2. Z球型犹豫模糊数运算法则

定义9 设 $z = 〈 M_{Z_{k}}, L_{Z_{k}}, K_{Z_{k}} 〉$ ， $z_{1} = 〈 M_{Z_{k 1}}, L_{Z_{k 1}}, K_{Z_{k 1}} 〉$ ， $z_{2} = 〈 M_{Z_{k 2}}, L_{Z_{k 2}}, K_{Z_{k 2}} 〉$ 为集合U的上的三个Z球型犹豫模糊数，则关于z，z₁，z₂的Einstein运算定义如下：

(1) $z_{1} \oplus z_{2} = \underset{\begin{array}{l} (μ_{1}, ν_{1}, η_{1}) \in Z_{S} \\ (μ_{2}, ν_{2}, η_{2}) \in Z_{S} \end{array}}{\cup} {\sqrt{\frac{μ_{1}^{2} + μ_{2}^{2}}{1 + μ_{1}^{2} μ_{2}^{2}}}, \sqrt{\frac{ν_{1}^{2} ν_{2}^{2}}{1 + (1 - ν_{1}^{2}) (1 - ν_{2}^{2})}}, \sqrt{\frac{η_{1}^{2} η_{2}^{2}}{1 + (1 - η_{1}^{2}) (1 - η_{2}^{2})}}}$ ；

(2) $z_{1} \otimes z_{2} = \underset{\begin{array}{l} (μ_{1}, ν_{1}, η_{1}) \in Z_{S} \\ (μ_{2}, ν_{2}, η_{2}) \in Z_{S} \end{array}}{\cup} {\sqrt{\frac{μ_{1}^{2} μ_{2}^{2}}{1 + (1 - μ_{1}^{2}) (1 - μ_{2}^{2})}}, \sqrt{\frac{ν_{1}^{2} + ν_{2}^{2}}{1 + ν_{1}^{2} ν_{2}^{2}}}, \sqrt{\frac{η_{1}^{2} + η_{2}^{2}}{1 + η_{1}^{2} η_{2}^{2}}}}$ ；

(3) $λ z = \underset{(μ, ν, η) \in Z_{S}}{\cup} {\sqrt{\frac{{(1 + μ^{2})}^{λ} - {(1 - μ^{2})}^{λ}}{{(1 + μ^{2})}^{λ} + {(1 - μ^{2})}^{λ}}}, \sqrt{\frac{2 {(ν^{2})}^{λ}}{{(2 - ν^{2})}^{λ} + {(ν^{2})}^{λ}}}, \sqrt{\frac{2 {(η^{2})}^{λ}}{{(2 - η^{2})}^{λ} + {(η^{2})}^{λ}}}}, λ > 0$ ；

(4) $z^{λ} = \underset{(μ, ν, η) \in Z_{S}}{\cup} (\sqrt{\frac{2 {(μ^{2})}^{λ}}{{(2 - μ^{2})}^{λ} + {(μ^{2})}^{λ}}}, \sqrt{\frac{{(1 + ν^{2})}^{λ} - {(1 - ν^{2})}^{λ}}{{(1 + ν^{2})}^{λ} + {(1 - ν^{2})}^{λ}}}, \sqrt{\frac{{(1 + η^{2})}^{λ} - {(1 - η^{2})}^{λ}}{{(1 + η^{2})}^{λ} + {(1 - η^{2})}^{λ}}}), λ > 0$ 。

为了有效地使用数据和灵活地表达语义以及简化计算，本文利用语言尺度函数f建立如下Z球型犹豫模糊集中语言变量和隶属函数之间的等价关系。

设U是非空集合，语言术语集 $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ, τ \in N^{*}}$ ， $S^{'} = {{s^{'}}_{j} | j = 0, 1, \dots, ξ, \dots, 2 ξ, ξ \in N^{*}}$ ，则二维球型犹豫模糊语言术语集 $Z_{t} = {(A_{k}, B_{k}) | A_{k} \in S, B_{k} \in S^{'}, k = 1, 2, \dots, L (Z_{t})}$ 的语言变量 $(s_{i}, {s^{'}}_{j})$ 可以通过可能积极隶属度、可能中立隶属度、可能消极隶属度和可靠度、不确定度以及不可靠度的等价信息表示，各隶属度和可靠度、不确定度以及不可靠度由语言尺度函数f、g和h计算：

$f (S) = {f (s_{i}) = (\frac{i}{2 τ + 1}) | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ} = κ_{A}$ (13)

$g (S) = {g (s_{i}) = (1 - \frac{i}{2 τ + 1}) | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ} = δ_{A}$ (14)

$h (S) = {h (s_{i}) = {\begin{array}{l} (\frac{i}{2 τ + 1}), i = 0, 1, \dots, τ \\ (1 - \frac{i}{2 τ + 1}), i = τ + 1, \dots, 2 τ \end{array}} = \partial_{A}$ (15)

$f (S^{'}) = {f ({s^{'}}_{j}) = (\frac{j}{2 ξ + 1}) | j = 0, 1, \dots, ξ, \dots, 2 ξ} = κ_{B}$ (16)

$g (S^{'}) = {g ({s^{'}}_{j}) = (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}) | j = 0, 1, \dots, ξ, \dots, 2 ξ} = δ_{B}$ (17)

$h (S^{'}) = {h ({s^{'}}_{j}) = {\begin{array}{l} (\frac{j}{2 ξ + 1}), j = 0, 1, \dots, ξ \\ (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}), j = ξ + 1, \dots, 2 ξ \end{array}} = \partial_{B}$ (18)

由映射 $I : TDSHFLTS \to ZSHFS$ 可知，Z球型犹豫模糊数 $z = (μ, ν, η)$ 有：

$μ = κ_{A} κ_{B} + δ_{B} (1 - κ_{A}) = (\frac{i}{2 τ + 1}) (\frac{j}{2 ξ + 1}) + (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}) (1 - (\frac{j}{2 ξ + 1}))$ (19)

$ν = δ_{A} κ_{B} + δ_{B} (1 - δ_{A}) = (\frac{j}{2 ξ + 1}) (1 - \frac{i}{2 τ + 1}) + (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}) (\frac{i}{2 τ + 1})$ (20)

$η = \partial_{A} \partial_{B} = {\begin{array}{l} (\frac{i}{2 τ + 1}) (\frac{j}{2 ξ + 1}), i = 0, 1, \dots, τ; j = 0, 1, \dots, ξ; \\ \begin{array}{l} (\frac{i}{2 τ + 1}) (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}), i = 0, 1, \dots, τ; j = ξ + 1, \dots, 2 ξ; \\ {\begin{array}{l} (1 - \frac{i}{2 τ + 1}) (\frac{j}{2 ξ + 1}), i = τ + 1, \dots, 2 τ; j = 0, 1, \dots, ξ; \\ (1 - \frac{i}{2 τ + 1}) (1 - \frac{j}{2 ξ + 1}), i = τ + 1, \dots, 2 τ; j = ξ + 1, \dots, 2 ξ . \end{array} \end{array} \end{array}$ (21)

3.3. Z球型犹豫模糊数的排序关系

定义得分函数时，考虑到决策者希望最优方案的可靠积极隶属度值越大越好，可靠中立隶属度和可靠消极隶属度越小越好，犹豫度也越小越好，同时为了规避得分函数的大小无法区分情况。本文结合可靠积极隶属度、可靠中立隶属度、可靠消极隶属度及犹豫度定义如下得分函数。

定义10 设U是非空集合，语言术语集 $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, τ, \dots, 2 τ}$ ， $S^{'} = {{s^{'}}_{j} | j = 0, 1, \dots, ξ, \dots, 2 ξ}$ ，则二维球型犹豫模糊语言术语集 $Z_{t}$ 的犹豫度 $π_{k}$ 定义为：

$π^{k} = m^{k} \frac{L (Z_{t}) \ln (L (Z_{t}))}{(2 τ + 1) (2 ξ + 1) \ln ((2 τ + 1) (2 ξ + 1))}$ (22)

其中 $m_{k}$ 为二维球型犹豫模糊语言术语集中与语言术语 ${s^{'}}_{j}$ 相同的指标。例如二维球型犹豫模糊集 $Z_{t} = {(s_{4}, {s^{'}}_{3}), (s_{5}, {s^{'}}_{2}), (s_{6}, {s^{'}}_{3}), (s_{7}, {s^{'}}_{1})}$ ，则 $m^{1} = 2$ ， $m^{3} = 2$ ， $m^{2} = 1$ ， $m^{4} = 1$ 。

定义11 设Z球型犹豫模糊集 $Z_{S} = {x_{i}, M_{Z_{k}} (x_{i}), L_{Z_{k}} (x_{i}), K_{Z_{k}} (x_{i})}$ ， $M_{Z_{k}} (x_{i}) = μ^{k}$ ， $L_{Z_{k}} (x_{i}) = ν^{k}$ ， $K_{Z_{k}} (x_{i}) = η^{k}$ 分别表示不确定变量 $x_{i} \in U$ 对集合Z的可靠积极隶属度、可靠中立隶属度、可靠消极隶属度，则Z球型犹豫模糊数 $z = 〈 M_{Z_{k}}, L_{Z_{k}}, K_{Z_{k}} 〉$ 的得分函数定义为：

$S (z) = \frac{1}{L} (\sum_{k = 1}^{L} {(μ^{k})}^{2} - \sum_{k = 1}^{L} {(ν^{k})}^{2} - \sum_{k = 1}^{L} {(η^{k})}^{2}) (1 - \sum_{k = 1}^{L} {(π^{k})}^{2})$ (23)

定义12 设z₁，z₂为任意两个Z球型犹豫模糊数，则定义z₁，z₂的排序关系如下：

1) 若 $S (z_{1}) > S (z_{2})$ ，则称z₁优于z₂，记为 $z_{1} ≻ z_{2}$ ；

2) 若 $S (z_{1}) = S (z_{2})$ ，则称z₁等价于z₂，记为 $z_{1} ≅ z_{2}$ 。

<xref></xref>3.4. Z球型犹豫模糊Einstein有序加权几何算子

定义13设 $z_{i} = 〈 M_{Z_{i}}, L_{Z_{i}}, K_{Z_{i}} 〉 (i = 1, 2, \dots, n)$ 是一组ZSHFN，则定义 $R^{n} \to R$ 的映射ZSHFEOWA为：

$ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} z_{σ (i)}^{w_{i}}$ (24)

其中 $w = {(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m})}^{T}$ 是与ZSHFEOWA算子有关的位置权重向量，满足 $\sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1$ 和 $w_{i} > 0$ ， $σ (i)$ 是对应元素下标，且满足 $z_{σ (i)} > z_{σ (i - 1)}$ ，则称ZSHFEOWA为Z球型犹豫模糊Einstein有序加权几何算子。

定理1 设 $z_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 为一组ZSHFN，则ZSHFEOWA对一组ZSHFN进行聚合的结果仍是一个ZSHFN，其表达式为：

$\begin{array}{l} ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) = z_{1}^{w_{1}} \otimes z_{2}^{w_{2}} \otimes \dots \otimes z_{n}^{w_{n}} \\ = {\sqrt{\frac{2 \prod_{i = 1}^{n} {(μ_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(2 - μ_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(μ_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}}}, \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + ν_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - ν_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + ν_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - ν_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}},} \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + η_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - η_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + η_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - η_{σ_{(i)}}^{2})}^{w_{i}}}}} \end{array}$ (25)

证明：当 $k = 2$ ， $ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}) = z_{σ (1)}^{w_{1}} \otimes z_{σ (2)}^{w_{2}}$ ，根据定义9的运算法则有：

$z_{σ (1)}^{w_{1}} = (\sqrt{\frac{2 {(μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}}{{(2 - μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} + {(μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}}}, \sqrt{\frac{{(1 + ν_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} - {(1 - ν_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}}{{(1 + ν_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} + {(1 - ν_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}},} \sqrt{\frac{{(1 + η_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} - {(1 - η_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}}{{(1 + η_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} + {(1 - η_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}}}})$

$z_{σ (2)}^{w_{2}} = (\sqrt{\frac{2 {(μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}{{(2 - μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} + {(μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}}, \sqrt{\frac{{(1 + ν_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} - {(1 - ν_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}{{(1 + ν_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} + {(1 - ν_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}},} \sqrt{\frac{{(1 + η_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} - {(1 - η_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}{{(1 + η_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} + {(1 - η_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}})$

$z_{σ (1)}^{w_{1}} \otimes z_{σ (2)}^{w_{2}} = (μ^{'}, ν^{'}, η^{'})$

$μ^{'} = \sqrt{\frac{2 {(μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} {(μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}{{(2 - μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} {(2 - μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}} + {(μ_{σ_{(1)}}^{2})}^{w_{1}} {(μ_{σ_{(2)}}^{2})}^{w_{2}}}}$ ，

。

假设 $k = n$ 时式(25)成立，则当 $k = n + 1$ 时，

$ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}, z_{n + 1}) = (z_{1}^{w_{1}} \otimes z_{2}^{w_{2}} \otimes \dots \otimes z_{n}^{w_{n}}) \otimes z_{n + 1}^{w_{n + 1}}$

$z_{n + 1}^{w_{n + 1}} = (\sqrt{\frac{2 {(μ_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}{{(2 - μ_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}} + {(μ_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}}, \sqrt{\frac{{(1 + ν_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}} - {(1 - ν_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}{{(1 + ν_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}} + {(1 - ν_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}}, \sqrt{\frac{{(1 + η_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}} - {(1 - η_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}{{(1 + η_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}} + {(1 - η_{n + 1}^{2})}^{w_{n + 1}}}})$

Figure 1 故由数学归纳法可知式(25)也成立。令

x_{i} = μ_{σ_{(i)}}^{2}, y_{i} = ν_{σ_{(i)}}^{2}, z_{i} = η_{σ_{(i)}}^{2}, i = 1, 2, \dots, n

，由Z球型犹豫模糊集定义

μ_{σ_{(i)}}, ν_{σ_{(i)}}, η_{σ_{(i)}} \in [0, 1]

，

μ_{σ_{(i)}}^{2} + ν_{σ_{(i)}}^{2} + η_{σ_{(i)}}^{2} \in [0, 1]

，可知，

x_{i} \in [0, 1]

，

1 - x_{i} \in [0, 1]

，故：

0 \leq \sqrt{\frac{2 \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(2 - x_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}} \leq \sqrt{\frac{2 \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}}

，

0 \leq \sqrt{\frac{2 \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + x_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - x_{i})}^{w_{i}}}} \leq 1

。同理

1 - y_{i} \in [0, 1]

有：

0 \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}} \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}}

，

0 \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}} \leq 1

。同理

1 - z_{i} \in [0, 1]

有：

0 \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}} \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}}

，

0 \leq \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}} \leq 1

。由Einstein有序加权几何算子有界性 [18] ：令

\min α = (\min_{1 \leq i \leq n} α_{i})

，

\max α = (\max_{1 \leq i \leq n} α_{i})

，有：

\min α \leq EOWA (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) \leq \max α

同理对于Z球型犹豫模糊Einstein有序加权几何算子有：

$\min z \leq ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}) \leq \max z$

其中 $\min z = (\min_{1 \leq i \leq n} μ_{i}, \min_{1 \leq i \leq n} ν_{i}, \min_{1 \leq i \leq n} η_{i})$ ， $\max z = (\max_{1 \leq i \leq n} μ_{i}, \max_{1 \leq i \leq n} ν_{i}, \max_{1 \leq i \leq n} η_{i})$ 。

又由于 $μ_{σ_{(i)}}^{2} + ν_{σ_{(i)}}^{2} + η_{σ_{(i)}}^{2} \in [0, 1]$ ，则 $({(\max_{1 \leq i \leq n} μ_{i})}^{2} + {(\max_{1 \leq i \leq n} ν_{i})}^{2} + {(\max_{1 \leq i \leq n} η_{i})}^{2}) \in [0, 1]$ 且 $x_{i} = μ_{σ_{(i)}}^{2}, y_{i} = ν_{σ_{(i)}}^{2}, z_{i} = η_{σ_{(i)}}^{2}, i = 1, 2, \dots, n$ ，故：

$0 \leq \frac{2 \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(2 - x_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(x_{i})}^{w_{i}}} + \frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + y_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - y_{i})}^{w_{i}}} + \frac{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} - \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n} {(1 + z_{i})}^{w_{i}} + \prod_{i = 1}^{n} {(1 - z_{i})}^{w_{i}}} \leq 1$ 。

因此 $ZSHFEOWA (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n})$ 也是Z球型犹豫模糊数，即证ZSHFEOWA对一组ZSHFN进行聚合的结果仍是一个ZSHFN。

4. Z球型犹豫模糊集的隐藏概率求解模型 4.1. Z球型犹豫模糊集的隐藏概率分布

根据Zadeh [19] 的观点，对于Z-number，它与随机变量X相关联，其结构由三部分组成 $Z = (x, A, B)$ ，其中模糊数A是对随机变量 $x \in X$ 取值的模糊限制，模糊数B是对A的概率测度的约束。根据Zadeh的观点，关于Z-number的概率分布 $p_{X}$ 是未知的，已知的是关于概率分布 $p_{X}$ 的约束。

当 $Z = (A, B)$ 连续型Z-number，模糊数A为连续型模糊数，关于概率分布 $p_{X}$ 的约束记为：

$P (A) = \int_{X} μ_{A} (x) p_{X} (x) d x$ (26)

$μ_{B} (b) = μ_{B} (P (A))$ (27)

当 $Z = (A, B)$ 离散型Z-number，模糊数A为离散型模糊数，关于概率分布 $p_{X}$ 的约束记为：

$p_{A} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{A} (x_{i}) p_{x} (x_{i})$ (28)

因此称 $p_{X}$ 为Z-number的隐藏概率分布，在对Z-number信息进行处理时，需建立模型求解Z-number的隐藏概率分布。

由于Z球型犹豫模糊集结合了Z-number和球型犹豫模糊集相关理论，故Z球型犹豫模糊集也包含了球型犹豫模糊集 $A_{k}$ 和球型犹豫模糊集 $B_{k}$ 之间基本关系的隐藏概率分布 $p_{X}$ 。为了有效地利用Z球型犹豫模糊集中嵌入的概率信息，本文采用了文献 [20] 中讨论的最大熵模型，并通过拉格朗日数乘法求解Z球型犹豫模糊集的隐藏概率分布。

设二维球型犹豫模糊集为 $Z_{t} = {(A_{k}, B_{k}) | A_{k} \in S, B_{k} \in S^{'}}$ ，球型犹豫模糊集 $A_{k}$ 为离散型模糊集， $p_{X}$ 为二维球型犹豫模糊集的隐藏概率分布，由于Z球型犹豫模糊集与二维球型犹豫模糊集满足 $I (Z_{T}) = Z_{S}$ ，故 $p_{X}$ 也为Z球型犹豫模糊集的隐藏概率分布。则基于最大熵模型，建立如下线性规划模型求解Z球型犹豫模糊集隐藏概率分布 $p_{X}$ 。

$\max H (x) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{X}^{k} (x_{i}) \log_{2} p_{X}^{k} (x_{i})$

$s .t {\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} μ_{A_{k}} (x_{i}) p_{X}^{k} (x_{i}) = b_{\max} \\ p_{X}^{k} (x_{i}) \geq 0, i = 1, 2, \dots, n \\ p_{X}^{k} (x_{1}) + p_{X}^{k} (x_{2}) + \dots + p_{X}^{k} (x_{n}) = 1 \end{array}$ (29)

其中 $b_{\max}$ 满足 $μ_{B_{k}} (b_{\max}) = \max {μ_{B_{k}} (b_{1}), μ_{B_{k}} (b_{2}), \dots, μ_{B_{k}} (b_{n})}$ ， $k = 1, 2, \dots, L (Z_{t})$ 。

4.2. 概率犹豫模糊熵

模糊熵 [21] 是衡量模糊集中不确定性的重要指标，在以往的研究中，计算模糊熵时通常只考虑模糊集的模糊性，而没有考虑模糊集的概率分布或犹豫对模糊熵值的影响。因此，本文结合Z球型犹豫模糊集的隐藏概率分布和犹豫度，提出了概率犹豫模糊熵。

设Z球型犹豫模糊集 $Z = {(x_{i}, Z_{S}) | x_{i} \in U} = {(μ^{k}, ν^{k}, η^{k}) | k = 1, 2, \dots, L (Z_{S})}$ ，其隐藏概率分布为 $p_{X}$ ，则Z球型犹豫模糊集的随机性、模糊性和犹豫性指标定义为：

$\begin{array}{l} Δ p^{k} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{X}^{k} (x_{i}))}^{2} p_{X}^{k} (x_{i})} \\ Δ μ^{k} = 2 | 0.5 - μ^{k} | \\ Δ π^{k} = 1 - π^{k} \end{array}$ (30)

其中 $Δ p^{k}$ 是Z球型犹豫模糊集的随机性指标， $Δ μ^{k}$ 是Z球型犹豫模糊集的模糊性指标， $Δ π^{k}$ 是Z球型犹豫模糊集的犹豫性指标。

利用 $Δ p^{k}$ ， $Δ μ^{k}$ 和 $Δ π^{k}$ 的乘积 $φ_{k} = Δ p^{k} \cdot Δ μ^{k} \cdot Δ π^{k}$ 作为概率犹豫模糊熵的不确定度指标，然后将不确定性指标引入香农熵，形成概率犹豫模糊熵。

$E n = - \sum_{k = 1}^{L} Δ p^{k} \log (φ_{k})$ (31)

同理对于 $Δ ν^{k}$ 和 $Δ η^{k}$ 作为Z球型犹豫模糊集的模糊性指标，Z球型犹豫模糊集的概率犹豫模糊熵为：

$\begin{array}{l} E n = - \sum_{k = 1}^{L} Δ p^{k} \log (θ_{k}) \\ E n = - \sum_{k = 1}^{L} Δ p^{k} \log (ψ_{k}) \end{array}$ (32)

其中 $θ_{k} = Δ p^{k} \cdot Δ ν^{k} \cdot Δ π^{k}, ψ_{k} = Δ p^{k} \cdot Δ η^{k} \cdot Δ π^{k}, Δ ν^{k} = 2 | 0.5 - ν^{k} |, Δ η^{k} = 2 | 0.5 - η^{k} |$ 。

5. Z球型犹豫模糊矩阵博弈模型及其求解方法

在日益复杂的矩阵博弈中，可能会遇到一些无法用实数表达的评估信息。为了更好地解决博弈问题，本文引入了Z球型犹豫模糊集作为矩阵博弈的支付信息。在构建Z球型犹豫模糊集博弈模型之前，首先对基于Z球型犹豫模糊语言的博弈问题进行了形式化表示。

设 $S = {α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}}$ ， $S^{'} = {β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}}$ 为局中人I，局中人II的纯策略集，支付矩阵元素为Z球

型犹豫模糊集，则局中人I、II的支付矩阵记为 $A = {[a_{i j}]}_{m \times n}$ ， $B = {[b_{i j}]}_{m \times n}$ ，其中 $E_{i} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} α_{i}$ ， $E_{j} = \sum_{j = 1}^{n} b_{i j} β_{j}$

分别表示局中人I在策略 $α_{i}$ ，局中人II在策略 $β_{j}$ 下获得的支付值。假设局中人I、II的混合策略集表示为 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})}^{T}$ ， $y = (y_{1}, y_{2} \dots, y_{n})$ ， $x_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ， $y_{j} (j = 1, 2, \dots, n)$ 是局中人I和局中人II在纯策略集 $S, S^{'}$ 中选取策略 $α_{i} \in S, β_{j} \in S^{'}$ 的概率。

若局中人I和局中人II选择混合策略 $x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})}^{T}$ 和 $y = (y_{1}, y_{2} \dots, y_{n})$ ，则局中人I的期望支付 $E_{I} (x, y)$ 和局中人II的期望支付 $E_{I I} (x, y)$ 的计算为：

$E_{I} (x, y, A) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} a_{i j} y_{j}$ (33)

$E_{I I} (x, y, B) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} b_{i j} y_{j}$ (34)

称上述博弈模型 $G = {局中人 I, 局中人 II, S, S^{'}, A, B, E_{I}, E_{I I}}$ 为具有混合策略的ZSHFN矩阵博弈模型。

假设局中人都遵循选择最佳策略使其收益最大化原则，对于局中人I的期望支付，局中人II选择策

略 $y \in S^{'}$ 使局中人I的期望支付 $E_{I} (x, y)$ 最小，记为 $W = \min_{y \in S^{'}} E_{I} (x, y)$ 。局中人I选择混合策略 $x^{*} \in S$ 使局

中人II给出的最小期望支付最大化，为了便于计算，下文中采用ZSHFEOWA算子计算局中人I的最大期望支付，即：

$\max_{x^{*} \in S} W = {\max_{x^{*} \in S} \min_{y \in S^{'}} F, \min_{x^{*} \in S} \max_{y \in S^{'}} H, \min_{x^{*} \in S} \underset{y \in S^{'}}{\max J}}$ (35)

其中 $F = \sqrt{\frac{2 \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {({(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ， $H = \sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ， $J = \sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ， $k = 1, 2, \dots, L (Z_{t})$ ，该期望支付为局中人I的增益下限。

类似地，局中人I选择混合策略 $x \in S$ 使局中人II的期望损失 $E_{I I} (x, y)$ 最大，记为 $V = \max_{x \in S} E_{I I} (x, y)$ ，作为博弈另一方，局中人II选择混合策略 $y^{*} \in S^{'}$ 使最大期望损失最小，即：

$\min_{y^{*} \in S^{'}} V = {\min_{y^{*} \in S^{'}} \max_{x \in S} K, \min_{y^{*} \in S^{'}} \max_{x \in S} M, \min_{y^{*} \in S^{'}} \max_{x \in S} N}$ (36)

其中 $K = \sqrt{\frac{2 \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {({(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ， $M = \sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ， $N = \sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}$ ，该期望支付为局中人II的损失上限。

定义14对于混合策略 $x \in S$ ， $y \in S^{'}$ ，若 $(x^{*}, y^{*}) \in S \otimes S^{'}$ 满足以下条件：

$x^{T} A y^{*} \leq x^{*}^{T} A y^{*}$ (37)

$x^{T} B y \leq x^{*}^{T} B y^{*}$ (38)

$\max_{x^{*} \in S} \min_{y \in S^{'}} E_{I} (x, y) = \min_{y^{*} \in S^{'}} \max_{x \in S} E_{I I} (x, y)$ (39)

则称 $(x^{*}, y^{*})$ 为矩阵博弈的纳什均衡解， $x^{*}, y^{*}$ 分别称为局中人I和局中人II的最优策略， $u^{*} = \max_{x^{*} \in S} \min_{y \in S^{'}} E_{I} (x, y)$ ， $v^{*} = \min_{y^{*} \in S^{'}} \max_{x \in S} E_{I I} (x, y)$ 分别为局中人I和局中人II的博弈支付。

博弈双方为了在矩阵博弈中获得最大可能的利益，其中博弈一方局中人I选择策略 $x^{*} \in S$ 使增益下限最大化，博弈另一方局中人II选择策略 $y^{*} \in S^{'}$ 使损失上限最小化。因此求解纳什均衡解等价与求解如下多目标线性规划模型：

$\max {π}, \min {ω}, \min {ρ}$

$s .t {\begin{cases} \sum_{i = 1}^{m} μ_{σ_{(i j)}}^{k} x_{i} \geq π; \\ \sum_{i = 1}^{m} ν_{σ_{(i j)}}^{k} x_{i} \leq ρ; \\ \sum_{i = 1}^{m} η_{σ_{(i j)}}^{k} x_{i} \leq ω; \\ \sum_{i = 1}^{m} x_{i} = 1, x_{i} \geq 0, i = 1, 2, \dots, m . \end{cases}$ (40)

其中 $π = \min_{1 \leq j \leq n} {\sqrt{\frac{2 \prod_{i = 1}^{m} {({(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ ， $ω = \max_{1 \leq j \leq n} {\sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ ， $ρ = \max_{1 \leq j \leq n} {\sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{i = 1}^{m} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{i = 1}^{m} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ 。

由于 $0 \leq μ_{σ_{(i j)}}^{k} \leq 1$ ， $0 \leq π \leq 1$ ，则 $\max {π}$ 等价于 $\min {1 - π}$ ，且目标函数 $\min {ω}, \min {ρ}$ 重要性相似，因此式(40)目标函数可以简化为 $\min {1 - π}, \min {\frac{ω + ρ}{2}}$ 。

再结合加权平均法思想，得到 $1 - π$ 和 $\frac{ω + ρ}{2}$ 最小值 $\min {γ (1 - π) + (1 - γ) (\frac{ω + ρ}{2})}$ ，参数 $γ \in [0, 1]$ 由局中人决定。通过上述方法式(40)约束条件转化为：

$s .t {\begin{cases} \sum_{i = 1}^{m} (γ (1 - μ_{σ_{(i j)}}^{k}) + (1 - γ) (\frac{ν_{σ_{(i j)}}^{k} + η_{σ_{(i j)}}^{k}}{2})) x_{i} \leq γ (1 - π) + (1 - γ) (\frac{ω + ρ}{2}) \\ \sum_{i = 1}^{m} x_{i} = 1, x_{i} \geq 0, i = 1, 2, \dots, m \end{cases}$ (41)

令 $α = γ (1 - π) + (1 - γ) (\frac{ω + ρ}{2})$ ，有：

$\min {α}$

$s .t {\begin{cases} \sum_{i = 1}^{m} (γ (1 - μ_{σ_{(i j)}}^{k}) + (1 - γ) (\frac{ν_{σ_{(i j)}}^{k} + η_{σ_{(i j)}}^{k}}{2})) x_{i} \leq α \\ \sum_{i = 1}^{m} x_{i} = 1, x_{i} \geq 0, i = 1, 2, \dots, m \end{cases}$ (42)

同理对于局中人II有：

$\min {ς}, \max {σ}, \max {λ}$

$s .t {\begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} μ_{σ_{(i j)}}^{k} y_{j} \leq ς; \\ \sum_{j = 1}^{n} ν_{σ_{(i j)}}^{k} y_{j} \geq σ; \\ \sum_{j = 1}^{n} η_{σ_{(i j)}}^{k} y_{j} \geq λ; \\ \sum_{j = 1}^{n} y_{j} = 1, y_{j} \geq 0, j = 1, 2, \dots, n . \end{cases}$ (43)

其中 $ς = \max_{1 \leq i \leq m} {\sqrt{\frac{2 \prod_{j = 1}^{n} {({(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} {(1 + {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} {(1 - {(μ_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ ， $σ = \min_{1 \leq i \leq m} {\sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} {(1 + {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} {(1 - {(ν_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ ， $λ = \min_{1 \leq i \leq m} {\sqrt{\frac{\prod_{j = 1}^{n} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} - \prod_{j = 1}^{n} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}{\prod_{j = 1}^{n} {(1 + {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}} + \prod_{j = 1}^{n} {(1 - {(η_{σ_{(i j)}}^{k})}^{2})}^{x_{i} y_{j}}}}}$ 。

$\min {ς}$ 等价于 $\max {1 - ς}$ ，且目标函数 $\max {σ}, \max {λ}$ 重要性相似，因此式(43)目标函数可以简化为 $\max {1 - ς}, \max {\frac{σ + λ}{2}}$ 。再结合加权平均法思想，得到 $1 - ς$ 和 $\frac{σ + λ}{2}$ 最大值 $\max {γ (1 - ς) + (1 - γ) (\frac{σ + λ}{2})}$ 。

令 $β = γ (1 - ς) + (1 - γ) (\frac{σ + λ}{2})$ 有：

$\max {β}$

$s .t {\begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} (γ (1 - μ_{σ_{(i j)}}^{k}) + (1 - γ) (\frac{ν_{σ_{(i j)}}^{k} + η_{σ_{(i j)}}^{k}}{2})) y_{j} \geq β \\ \sum_{j = 1}^{n} y_{j} = 1, y_{j} \geq 0, j = 1, 2, \dots, n \end{cases}$ (44)

6. 基于Z球型犹豫模糊语言的矩阵博弈方法

在基于Z球型犹豫模糊语言的矩阵博弈方法中，视矩阵博弈的双方分别为：决策者和自然方，备选方案 $A = {A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}}$ 为决策者的纯策略集，备选方案的属性集 $C = {C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}}$ 为自然方的纯策略集。为了方便决策，给定语言术语集 $S = {s_{i} | i = 0, 1, \dots, 2 τ}$ ， $S^{'} = {{s^{'}}_{j} | j = 0, 1, \dots, 2 ξ}$ ，决策者对方案进行评估，评估结果以Z球型犹豫模糊集的形式给出。

针对多属性决策问题，本文结合Z球型犹豫模糊矩阵博弈，提出基于Z球型犹豫模糊矩阵博弈的多属性决策方法，决策步骤如下：

步骤1：根据专家对备选方案的评价信息，构建Z球型犹豫模糊决策矩阵 $R = {[z_{i j}]}_{m \times n}$ 。

$R = [\begin{matrix} z_{11} & z_{12} & \dots & z_{1 n} \\ z_{21} & z_{22} & \dots & z_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ z_{m 1} & z_{m 2} & \dots & z_{m n} \end{matrix}]$

步骤2：计算备选方案的属性权重 $W_{i}$ 。

权重的确定在多属性决策问题中起着至关重要的作用，而熵权法是一种行之有效的获取属性权重方法。一般而言，属性的信息熵值越小，表明该属性之间的差异越大，从而赋予该属性更高的权重。相反，较大的信息熵值表明属性之间的差异较小，从而赋予属性相对较低的权重。

设评价信息 $Z_{i j} = (μ_{i j}^{k}, ν_{i j}^{k}, η_{i j}^{k})$ ，则基于熵权法和式(31)的属性 $C_{j}$ 权重计算公式如下：

$w_{i} = \frac{1 - \sum_{j = 1}^{n} E_{i j}}{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E_{i j}}, i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n$ (45)

$E_{i j} = - \sum_{k = 1}^{L} Δ p_{i j}^{k} \log (Δ p_{i j}^{k} \cdot Δ μ_{i j}^{k} \cdot Δ π_{i j}^{k})$ (46)

步骤3：求解决策者和自然方的最优策略。

Z球型犹豫模糊决策矩阵视为决策者的支付矩阵，决策者混合策略集 ${(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})}^{T}$ ，自然方混合策略集 $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，其中 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ， $y_{j} (j = 1, 2, \dots, n)$ 是决策者和自然方在备选方案和属性集中选取策略 $A_{i} \in A$ ， $C_{j} \in C$ 的概率。因此求解决策者和自然方的最优策略等价求解式(42)和式(44)。

步骤4：由于式(42)和式(44)模型为对偶问题，故利用对偶单纯形法求解决策者和自然方的最优策略 $x^{*} = (x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \dots, x_{m}^{*})$ 和 $y^{*} = (y_{1}^{*}, y_{2}^{*}, \dots, y_{n}^{*})$ 。

步骤5：确定Z球型犹豫模糊矩阵的正理想解 $A^{+}$ 和负理想解 $A^{-}$ ，其中 $A^{+} = \max {z_{i j}}$ ， $A^{-} = \min {z_{i j}}$ 。

步骤6：根据Jaccard相似度 [22] 计算决策者在最优策略 $x^{*} = (x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \dots, x_{m}^{*})$ $(i = 1, 2, \dots, m)$ 下的期望支付 $E_{i}$ 与正理想解 $A^{+}$ 和负理想解 $A^{-}$ 的相似度 $S (A^{+}, E (x^{*}))$ 、 $S (A^{-}, E (x^{*}))$ ，并计算对应的相对相似度 $u (E (x^{*}))$ ，期望支付 $E_{i}$ 记为 $E (x^{*}) = (μ_{E}, ν_{E}, η_{E})$ 。

$\begin{array}{l} S (A^{+}, E (x^{*})) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{A^{k}}{B^{k} - A^{k}} \\ A^{k} = {(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (μ_{σ (i j)}))}^{2} {(μ_{E}^{k})}^{2} + {(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (ν_{σ (i j)}))}^{2} {(ν_{E}^{k})}^{2} + {(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (η_{σ (i j)}))}^{2} {(η_{E}^{k})}^{2} \\ B^{k} = ({(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (μ_{σ (i j)}))}^{4} + {(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (ν_{σ (i j)}))}^{4} + {(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (η_{σ (i j)}))}^{4} + {(μ_{E}^{k})}^{4} + {(ν_{E}^{k})}^{4} + (η_{E}^{k})) \end{array}$ (47)

$\begin{array}{l} S (A^{-}, E (x^{*})) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{C^{k}}{D^{k} - C^{k}} \\ C^{k} = {(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (μ_{σ (i j)}))}^{2} {(μ_{E}^{k})}^{2} + {(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (ν_{σ (i j)}))}^{2} {(ν_{E}^{k})}^{2} + {(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (η_{σ (i j)}))}^{2} {(η_{E}^{k})}^{2} \\ D^{k} = ({(\min_{1 \leq j \leq n} \min_{1 \leq i \leq m} (μ_{σ (i j)}))}^{4} + {(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (ν_{σ (i j)}))}^{4} + {(\max_{1 \leq j \leq n} \max_{1 \leq i \leq m} (η_{σ (i j)}))}^{4} + {(μ_{E}^{k})}^{4} + {(ν_{E}^{k})}^{4} + (η_{E}^{k})) \end{array}$ (48)

$u (E (x^{*})) = \frac{S (A^{-}, E (x^{*}))}{S (A^{+}, E (x^{*})) + S (A^{-}, E (x^{*}))}$ (49)

步骤7：根据最优策略 $x^{*} = (x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \dots, x_{m}^{*})$ 下决策者期望支付的相对相似度对备选方案进行排序，即若 $u (E (x_{1}^{*})) > u (E (x_{2}^{*})) > \dots > u (E (x_{m}^{*}))$ ，则 $A_{1} ≻ A_{2} ≻ \dots ≻ A_{m}$ 。

7. 案例分析 7.1. 问题描述

在保护当地生态环境和提高当地社区生活水平的同时，寻求实现经济可持续发展的方法，是当地政府迫切关注的问题。因此，本文利用基于Z球型犹豫模糊语言的矩阵博弈方法解决鄱阳湖自然保护区的发展策略选择问题。这种方式有效地促进了产业结构的调整，在不损害当地生态环境完整性的情况下促进了经济增长，从而改善了居民的生活条件。受决策者与自然博弈模型的启发，本文提出基于Z球型犹豫模糊矩阵博弈的多属性决策方法对各备选方案进行择优排序。其中备选方案 $A = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}$ 分别是旅游业，种植业，制造业，渔业；备选方案的属性集 $C = {C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}}$ 分别为生物多样性，经济效益，湖泊面积，蓄水能力。语言术语集 $S = {s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}, s_{5}, s_{6}}$ 对应其语言术语分别为：非常差，差，略微差，一般，略微好，好，非常好；语言术语集 $S^{'} = {{s^{'}}_{0}, {s^{'}}_{1}, {s^{'}}_{2}, {s^{'}}_{3}, {s^{'}}_{4}}$ 对应其语言术语分别为不确定，略微不确定，中立，略微确定，确定。

7.2. 数值计算

根据决策者与自然博弈模型，当地政府作为决策者，可以视为矩阵博弈中利益最大化的局中人。因此视备选方案为决策者的纯策略集，在多属性决策问题中，根据Z球型犹豫模糊矩阵博弈方法为备选方案进行排序的具体步骤如下。

Table 1 <xref></xref>Table 1. The linguistic scale corresponding to fuzzy constraints <xref ref-type="bibr" rid="hans.91915-14"> [14] </xref>Table 1. The linguistic scale corresponding to fuzzy constraints [14] 表1. 模糊限制对应的语言尺度[14]

语言术语	对应的离散模糊集
s₀：非常差	$\frac{0.16}{0.18} + \frac{0.43}{0.55} + \frac{0.69}{0.69} + \frac{1}{1} + \frac{0.63}{1.33} + \frac{0.43}{1.55} + \frac{0.11}{1.81}$
s₁：差	$\frac{0.17}{1.32} + \frac{0.43}{1.53} + \frac{0.70}{1.79} + \frac{1}{2} + \frac{0.64}{2.22} + \frac{0.45}{2.47} + \frac{0.13}{2.73}$
s₂：略微差	$\frac{0.19}{2.25} + \frac{0.45}{2.45} + \frac{0.71}{2.79} + \frac{1}{3} + \frac{0.66}{3.23} + \frac{0.45}{3.51} + \frac{0.15}{3.76}$
s₃：一般	$\frac{0.20}{3.23} + \frac{0.47}{3.49} + \frac{0.72}{3.77} + \frac{1}{4} + \frac{0.68}{4.23} + \frac{0.46}{4.56} + \frac{0.17}{4.79}$
s₄：略微好	$\frac{0.21}{4.26} + \frac{0.49}{4.55} + \frac{0.72}{4.73} + \frac{1}{5} + \frac{0.68}{5.24} + \frac{0.47}{5.56} + \frac{0.19}{5.78}$
s₅：好	$\frac{0.21}{4.26} + \frac{0.49}{4.55} + \frac{0.72}{4.73} + \frac{1}{5} + \frac{0.68}{5.24} + \frac{0.47}{5.56} + \frac{0.19}{5.78}$
s₆：非常好	$\frac{0.25}{6.19} + \frac{0.51}{6.53} + \frac{0.75}{6.77} + \frac{1}{7} + \frac{0.72}{7.24} + \frac{0.52}{7.49} + \frac{0.23}{7.77}$

Table 2 <xref></xref>Table 2. The linguistic scale corresponding to the reliability measure <xref ref-type="bibr" rid="hans.91915-14"> [14] </xref>Table 2. The linguistic scale corresponding to the reliability measure [14] 表2. 可靠性度量对应的语言尺度[14]

语言术语	对应的离散模糊集
${s^{'}}_{0}$ ：不确定	$\frac{0.25}{0.05} + \frac{0.47}{0.09} + \frac{0.72}{0.13} + \frac{1}{0.17} + \frac{0.73}{0.21} + \frac{0.45}{0.24} + \frac{0.28}{0.27}$
${s^{'}}_{1}$ ：略微不确定	$\frac{0.30}{0.25} + \frac{0.50}{0.28} + \frac{0.74}{0.31} + \frac{1}{0.35} + \frac{0.75}{0.39} + \frac{0.47}{0.43} + \frac{0.32}{0.46}$
${s^{'}}_{2}$ ：中立	$\frac{0.35}{0.43} + \frac{0.52}{0.46} + \frac{0.76}{0.48} + \frac{1}{0.52} + \frac{0.77}{0.54} + \frac{0.49}{0.57} + \frac{0.36}{0.61}$
${s^{'}}_{3}$ ：略微确定	$\frac{0. 40}{0.58} + \frac{0.54}{0.61} + \frac{0.78}{0.64} + \frac{1}{0.67} + \frac{0.79}{0.70} + \frac{0.52}{0.73} + \frac{0.36}{0.77}$
${s^{'}}_{4}$ ：确定	$\frac{0.45}{0.70} + \frac{0.55}{0.75} + \frac{0.80}{0.78} + \frac{1}{0.81} + \frac{0.81}{0.85} + \frac{0.55}{0.88} + \frac{0.36}{0.92}$

步骤1：根据Z球型犹豫模糊环境下的鄱阳湖自然保护区的经济发展问题，将决策者给出的语言支付矩阵表示为Z球型犹豫模糊支付矩阵R，支付矩阵中元素以Z球型犹豫模糊集表示。

$R = [\begin{matrix} {(s_{4}, {s^{'}}_{3}), (s_{5}, {s^{'}}_{2})} & {(s_{3}, {s^{'}}_{3}), (s_{4}, {s^{'}}_{2})} & {(s_{2}, {s^{'}}_{2}), (s_{3}, {s^{'}}_{3}) ， (s_{4}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{1}, {s^{'}}_{2}), (s_{3}, {s^{'}}_{2}) ， (s_{4}, {s^{'}}_{3})} \\ {(s_{4}, {s^{'}}_{1}), (s_{5}, {s^{'}}_{3}) (s_{6}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{3}, {s^{'}}_{2}), (s_{4}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{5}, {s^{'}}_{4}), (s_{6}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{5}, {s^{'}}_{4}), (s_{6}, {s^{'}}_{2})} \\ {(s_{5}, {s^{'}}_{2}), (s_{6}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{2}, {s^{'}}_{2}), (s_{3}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{5}, {s^{'}}_{4})} & {(s_{5}, {s^{'}}_{3}), (s_{6}, {s^{'}}_{3})} \\ {(s_{1}, {s^{'}}_{1}), (s_{2}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{2}, {s^{'}}_{3}), (s_{3}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{4}, {s^{'}}_{3}), (s_{5}, {s^{'}}_{3})} & {(s_{2}, {s^{'}}_{3}), (s_{3}, {s^{'}}_{4})} \end{matrix}]$

其中 $z_{11} = {(s_{4}, {s^{'}}_{3}), (s_{5}, {s^{'}}_{2})}$ 表示 $A_{1}$ ：旅游业对 $C_{1}$ ：生物多样性的支付信息是介于(略微好，略微确定)和(好，中立)之间。

步骤2：根据表1 和表2 求解式(29)和式(30)得Z球型犹豫模糊隐藏概率分布的标准差，求解结果如矩阵P所示。

$P = [\begin{matrix} {0.100, 0.049} & {0.102, 0.044} & {0.043, 0.102, 0.100} & {0.039, 0.043, 0.100} \\ {0.369, 0.090, 0.158} & {0.100, 0.043} & {0.369, 0.198} & {0.198, 0.050} \\ {0.050, 0.369} & {0.103, 0.042} & {0.198} & {0.090, 0.369} \\ {0.111, 0.090} & {0.100, 0.043} & {0.100, 0.050} & {0.112, 0.207} \end{matrix}]$

步骤3：根据语言术语集与隶属函数的等价关系和式(19)、式(20)和式(21)将支付矩阵中语言术语转化为Z球型犹豫模糊数，转化结果如矩阵W所示。

$W = [\begin{matrix} {\begin{array}{l} (0.514, 0.486, 0.171), \\ (0.457, 0.543, 0.114) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.486, 0.514, 0.257), \\ (0.486, 0.514, 0.171) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.543, 0.457, 0.114), \\ (0.486, 0.514, 0.257), \\ (0.514, 0.486, 0.171) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.571, 0.429, 0.057), \\ (0.514, 0.486, 0.229), \\ (0.514, 0.486, 0.171) \end{array}} \\ {\begin{array}{l} (0.457, 0.543, 0.086), \\ (0.543, 0.457, 0.114), \\ (0.571, 0.429, 0.057) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.514, 0.486, 0.171), \\ (0.514, 0.486, 0.257) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.629, 0.371, 0.057), \\ (0.571, 0.429, 0.057) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.629, 0.371, 0.057) ， \\ (0.429, 0.571, 0.057) \end{array}} \\ {\begin{array}{l} (0.457, 0.543, 0.114), \\ (0.571, 0.429, 0.057) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.543, 0.457, 0.114), \\ (0.486, 0.514, 0.171) \end{array}} & {(0.629, 0.371, 0.057)} & {\begin{array}{l} (0.543, 0.457, 0.114), \\ (0.571, 0.429, 0.057) \end{array}} \\ {\begin{array}{l} (0.714, 0.286, 0.029), \\ (0.457, 0.543, 0.114) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.457, 0.543, 0.114), \\ (0.486, 0.514, 0.171) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.514, 0.486, 0.171), \\ (0.543, 0.457, 0.114) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.457, 0.543, 0.114), \\ (0.457, 0.543, 0.086) \end{array}} \end{matrix}]$

步骤4：利用式(31)、(32)和(33)求解各模糊指标下Z球型犹豫模糊集的概率犹豫模糊熵，求解结果如矩阵E所示。

$E = [\begin{matrix} (1.96, 1.94, 2.32) & (2.01, 1.99, 2.26) & (2.18, 2.20, 2.53) & (1.75, 1.78, 2.09) \\ (4.87, 4.87, 6.49) & (1.96, 2.22, 2.32) & (5.51, 6.00, 8.07) & (3.53, 3.71, 4.90) \\ (0.87, 0.88, 1.14) & (2.01, 2.03, 2.40) & (1.63, 1.78, 2.32) & (1.47, 1.54, 2.07) \\ (2.00, 2.13, 2.74) & (1.98, 1.95, 2.34) & (1.96, 1.97, 2.32) & (1.93, 1.91, 2.45) \end{matrix}]$

步骤5：根据式(46)计算属性权重得 $w = (0.258, 0.212, 0.300, 0.230)$ ，并利用ZSHFEOWA算子和属性权重计算决策者的期望收益和自然方的期望损失，计算结果如下。

$X = [\begin{matrix} {\begin{array}{l} (0.095, 0.050, 0.108) \\ (0.064, 0.057, 0.324) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.064, 0.034, 0.073), \\ (0.043, 0.039, 0.219) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.128, 0.067, 0.146), \\ (0.087, 0.078, 0.438) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.075, 0.040, 0.086), \\ (0.051, 0.046, 0.258) \end{array}} \end{matrix}]$ $Y = [\begin{matrix} {\begin{array}{l} (0.094, 0.049, 0.068), \\ (0.064, 0.058, 0.295) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.063, 0.033, 0.046), \\ (0.043, 0.039, 0.200) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.127, 0.066, 0.092), \\ (0.087, 0.078, 0.400) \end{array}} & {\begin{array}{l} (0.074, 0.039, 0.054), \\ (0.051, 0.046, 0.234) \end{array}} \end{matrix}]$

步骤6：根据Z球型犹豫模糊集的概率犹豫模糊熵和式(42)、(44)建立如下求解矩阵博弈纳什均衡解的线性规划模型(假设参数 $γ = 0.1$ )。

$\min {0.98 x_{1} + 0.95 x_{2} + 0.99 x_{3} + 0.97 x_{4}}$

$s .t {\begin{array}{l} 1.65 x_{1} + 1.69 x_{2} + 2.35 x_{3} + 1.91 x_{4} \leq 0.99, \\ 5.60 x_{1} + 1.68 x_{2} + 4.95 x_{3} + 3.08 x_{4} \leq 0.99, \\ 0.80 x_{1} + 1.73 x_{2} + 2.35 x_{3} + 1.34 x_{4} \leq 0.99, \\ \begin{array}{l} 1.81 x_{1} + 1.66 x_{2} + 1.67 x_{3} + 1.62 x_{4} \leq 0.99, \\ \sum_{i = 1}^{4} x_{i} = 1, x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0. \end{array} \end{array}$

$\max {0.96 y_{1} + 0.87 y_{2} + 0.98 y_{3} + 0.92 y_{4}}$

$s .t {\begin{cases} 1.65 y_{1} + 5.60 y_{2} + 0.80 y_{3} + 1.81 y_{4} \geq 0.87, \\ 1.69 y_{1} + 1.68 y_{2} + 1.73 y_{3} + 1.66 y_{4} \geq 0.87, \\ 2.35 y_{1} + 4.95 y_{2} + 2.35 y_{3} + 1.67 y_{4} \geq 0.87, \\ 1.91 y_{1} + 3.08 y_{2} + 1.34 y_{3} + 1.62 y_{4} \geq 0.87, \\ y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 1, y_{1} \geq 0, y_{2} \geq 0, y_{3} \geq 0, y_{4} \geq 0. \end{cases}$

步骤7：利用对偶单纯形法求解不同参数 $γ$ 下的Z球型犹豫模糊线性规划模型，求解结果见表3 和表4 。

Table 3 <xref></xref>Table 3. The optimal strategy under different parameters <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> γ </mi> </math>Table 3. The optimal strategy under different parameters γ 表3. 不同参数 γ 下的最优策略

$γ$	$x^{*}$	$α^{*}$	$y^{*}$	$β^{*}$
0.1	$(0.389, 0.270, 0.341, 0)$	0.144	$(0.216, 0.460, 0.324, 0)$	0.144
0.3	$(0.379, 0.269, 0.352, 0)$	0.176	$(0, 0.201, 0.609, 0.190)$	0.176
0.5	$(0.384, 0.253, 0.363, 0)$	0.214	$(0.324, 0.216, 0.460, 0)$	0.214
0.7	$(0.572, 0, 0.428, 0)$	0.261	$(0.485, 0.515, 0, 0)$	0.261
0.9	$(0.841, 0, 0.159 ， 0)$	0.319	$(0.432.0.567, 0, 0)$	0.319

Table 4 <xref></xref>Table 4. The expected payment of decision makers under different parameters <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> γ </mi> </math>Table 4. The expected payment of decision makers under different parameters γ 表4. 不同参数 γ 下决策者的期望支付

$γ$	$E (x^{}, y^{})$
0.1	${(0 .508,0 .270,0 .093), (0 .349,0 .190,0 .069)}$
0.3	${(0.649, 0.188, 0.070), (0.588, 0.179, 0.072)}$
0.5	${(0.328, 0.446, 0.041), (0.672, 0.560, 0.039)}$
0.7	${(0.498, 0.545, 0.011), (0.367, 0.560, 0.009)}$
0.9	${(0.561, 0.367, 0.071), (0.545, 0.369, 0.075)}$

其中 $x^{*} = (x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}, x_{4}^{*})$ 为决策者的最优策略， $α^{*}$ 为决策者的增益上限， $y^{*} = (y_{1}^{*}, y_{2}^{*}, y_{3}^{*}, y_{4}^{*})$ 为自然方的最优策略， $β^{*}$ 为决策者的损失下限。

步骤8：计算决策者在最优策略 $x^{*} = (0.389, 0.270, 0.341, 0)$ 下的期望支付，根据式(47)和式(48)计算期望支付 $E (x^{*})$ 与正理想解 $A^{+}$ 的相似度 $S (A^{+}, E (x^{*}))$ 和负理想解 $A^{-}$ 的相似度 $S (A^{-}, E (x^{*}))$ 及对应的相对相似度 $u (E (x^{*}))$ ，计算结果见表5 。

Table 5 <xref></xref>Table 5. Relative similarity of expected payment of decision makersTable 5. Relative similarity of expected payment of decision makers 表5. 决策者期望支付的相对相似度

	$E (x^{*})$	$S (A^{+}, E (x^{*}))$	$S (A^{-}, E (x^{*}))$	$u (E (x^{*}))$
$x_{1}^{*}$	${(0 .214,0 .113,0 .243), (0 .146,0 .130,0 .737)}$	0.593	0.438	0.425
$x_{2}^{*}$	${(0 .104,0 .054,0 .118), (0 .070,0 .063,0 .355)}$	0.407	0.500	0.551
$x_{3}^{*}$	${(0 .165,0 .087,0 .188), (0 .112,0 .100,0 .566)}$	0.549	0.561	0.505
$x_{4}^{*}$	${(0 .000,0 .000,0 .000), (0 .000,0 .000,0 .000)}$	0.000	0.000	0.000

步骤9：根据表5 决策者期望支付的相对相似度的大小对备选方案进行排序。由于 $x_{i}^{*}$ 是决策者选择备选方案 $A_{i} \in A (i = 1, 2, 3, 4)$ 的概率， $x_{i}^{*}$ 策略下决策者期望支付的相对相似度的排序与备选方案的排序一致，因此备选方案的排序结果为 $A_{2} ≻ A_{3} ≻ A_{1} ≻ A_{4}$ 。根据备选方案的排序结果，将Z球型犹豫模糊矩阵博弈方法应用于鄱阳湖国家级自然保护区的发展战略选择，最佳选择为种植业。

7.3. 对比分析

为了验证本文所提方法有效性，与文献 [8] 中基于后悔理论求解矩阵博弈和文献 [10] 中基于前景理论求解矩阵博弈的方法进行了比较，将本文所提方法和文献所提方法分别应用于鄱阳湖国家自然保护区的发展战略选择问题中，经过一系列的计算，不同方法得到决策者的最优策略和期望支付见表6 。

Table 6 <xref></xref>Table 6. The expected payment of decision makers under different methodsTable 6. The expected payment of decision makers under different methods 表6. 不同方法下决策者的期望支付

方法	决策者的最优策略	决策者的期望支付	相对相似度
本文方法	$y_{1}^{*} = (0.389, 0.270, 0.341, 0.000)$	${(0 .508,0 .270,0 .093), (0 .349,0 .190,0 .069)}$	0.505
方法 [8]	$y_{2}^{*} = (0.364, 0.073, 0.253, 0.301)$	${(0 .651,0 .190,0 .069), (0 .829,0 .086,0 .089)}$	0.118
方法 [10]	$y_{3}^{*} = (0.558, 0, 0.074, 0.368)$	${(0 .843,0 .105,0 .052), (0 .883,0 .089,0 .029)}$	0.239

利用方法 [8] 和方法 [10] 中决策者期望支付的相对相似度对本文鄱阳湖自然保护区的经济发展方案进行排序，得到的排序结果为 $A_{2} ≻ A_{4} ≻ A_{1} ≻ A_{3}$ ， $A_{2} ≻ A_{3} ≻ A_{4} ≻ A_{1}$ ，其中 $A_{2}$ 都为最优方案，这与本文方法的最优方案一致，从而说明了本文所提方法的有效性。为了便于比较，利用本文提出的ZSHFEOWA算子计算局中人的期望支付，具体计算结果如表6 所示。同时，分别计算出本文方法与文献方法的期望支付的相对相似度，具体计算结果也如表6 所示，有 $u (E (y_{1}^{*})) > u (E (y_{3}^{*})) > u (E (y_{2}^{*}))$ ，即在Z球型犹豫模糊环境下，本章所提方法得到的期望支付最大。因此，本文所提方法比方法 [8] [10] 更优越。

8. 结论

本文考虑到矩阵博弈的支付需要预先给出且存在不可避免的模糊性和不确定性，因此采用符合决策者表达习惯的Z球型犹豫模糊集来表达博弈的支付矩阵，并将其用于鄱阳湖自然保护区的经济发展问题。本文的结论总结如下。

首先，为了增加Z球型犹豫模糊集聚合的灵活性，并考虑到Einstein运算作为代数算子的推广，提出了有利于多个信息融合的Z球型犹豫模糊Einstein有序加权几何聚合算子。其次将矩阵博弈拓展到了Z球型犹豫模糊集环境，并采用加权平均法，结合多目标函数，建立数学规划模型求解决策者的最优策略。然后根据最优策略下决策者期望支付的相对相似度对鄱阳湖自然保护区的经济发展方案进行排序。最后将本文所提Z球型犹豫模糊语言矩阵对策方法与文献方法对比，说明了所提方法的有效性和优越性。

尽管本文对模糊环境下矩阵博弈的理论和方法进行了深入的研究，但仍存在一些不足，需要在今后的工作中进一步研究。本文的展望主要体现在以下几个方面。

1) 本文所提出的方法在解决实际矩阵博弈问题时只考虑了一种类型的模糊信息。现实中，局中人往往具有不同的经验背景和专业知识水平，导致不同局中人针对同一博弈问题给出的支付值类型存在潜在差异。因此，探索多种类型的模糊博弈问题是未来研究的方向之一。

2) 本文只考虑了Z球型犹豫模糊集为单个语言术语的情形，更加复杂的情况有待进一步研究。

3) 本文专注于研究模糊环境下的非合作博弈问题。然而，合作博弈和演化博弈也可以扩展到模糊环境中，并与前景理论、后悔理论等经典理论相融合。因此，融合经典理论来研究模糊环境下的合作博弈和演化博弈是一个值得未来研究的领域。

NOTES

^*通讯作者。

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