OptumG2 [14] 是一款先进的岩土工程设计和分析有限元分析软件，其主要功能包括边坡稳定性分析、渗流和地下水流动、基坑开挖、堤坝、基础和挡土墙的建模与分析。OptumG2的优势在于其高效精确的计算能力、易于建模的用户界面、自适应网格功能以及能够提供上下限解的独特分析方法。此外，OptumG2还支持多种材料模型和分析类型，包括弹塑性分析和极限分析，使其成为解决复杂工程问题的理想工具。

在OptumG2软件中，采用了 图2 所示的mixed-T6-FEM单元进行离散，即基于六个节点进行运动许可速度场的二次插值，而基于三个高斯积分点进行应力线性插值，即单元内任一点出的速度 $\stackrel{\dot{}}{u}$、应力 $\sigma$和应变 $\epsilon$可以由单元节点速度 $\widehat{\stackrel{\dot{}}{u}}$和应力 $\hat{\sigma }$插值表示，即：

$\stackrel{\dot{}}{u}\approx N_u\widehat{\stackrel{\dot{}}{u}},\sigma \approx N_{\sigma }\hat{\sigma },\epsilon =\nabla \stackrel{\dot{}}{u}\approx B_u\widehat{\stackrel{\dot{}}{u}}$(1)

式中： $B_u=\nabla N_u$为应变梯度矩阵， $N_u$为速度插值形函数， $N_{\sigma }$为应力插值形函数。在式(1)的基础上可以得求极限荷载系数的数学优化问题，即：

$\begin{array}{l}\max \alpha \\ s.t.B^T\hat{\sigma }=F_0+\alpha \cdot F\\ F\left(\sigma \right)\le 0\end{array}$(2)

式中：

$\begin{array}{l}B={\displaystyle {\int }_{\Omega }{N}_{\sigma }^T}{B}_{u}d\Omega \\ F_0={\displaystyle {\int }_{S_{\sigma }}{N}_u^T{t}_{0}dS+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{N}_u^T}{b}_{0}d\Omega }\\ F={\displaystyle {\int }_{S_{\sigma }}{N}_u^{T}tdS+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{N}_u^T}bd\Omega }\end{array}$(3)

根据凸规划的对偶理论 [10] ，采用原对偶内点算法时，式(2)的对偶问题和基于速度场的上限问题( $\alpha \to \min$)是等价的，因此采用原对偶内点算法可以在式(2)的对偶解中获取速度场和塑性乘子的信息。上述过程可在OptumG2中建模求解，并以塑性剪切耗散作为自适应控制变量，较高精度地计算复杂工程的安全系数，同时较好地获得工程结构的失稳模式。

根据多年的工程实践，以强度指标的储备作为安全系数定义的方法被工程界广泛认可，即：

$c^{\prime }=\frac{c}{F_s},{\phi }^{\prime }=\arctan \left(\frac{\tan \phi }{F_s}\right)$(4)

在计算安全系数时，一般并非直接求解式(2)，而是以重力最为可变荷载，计算给定抗剪强度指标c和 $\phi$时的极限荷载乘子 $\alpha$，若 $\alpha >1$则增加折减系数的数值，若 $\alpha <1$则减小折减系数的数值，直到 $\alpha \text{=}1$时，即为所求的安全系数F_s。

首先在OptumG2中选择基本MC材料模型，按 表1 中强度参数和 图1 中的几何模型建立数值极限分析的模型，并选择关联流动法则，选择K0分析方法计算初始地应力，不考虑拉张截断的影响。边坡数值模型的左右边界设定为对称边界条件，即仅约束法向位移，底部为固定边界条件。在工况管理器中选择6-高斯点单元，初始单元数量为10,000个，并以剪切耗散作为自适应控制变量进行6次的自适应迭代。计算完成后自适应网格和剪切耗散，如 图3 所示，计算的安全系数为0.533，说明该边坡处于不稳定的状态，这与实际工程情况是吻合的。 图3(b) 的剪切耗散，反映了边坡失稳时塑性区贯通，也即是滑动面的位置，可以看出该失稳机构属于对数螺线类型，这与作者 [5] 采用MCSE-LA分析非均质边坡的结果一致。

通常对不稳定边坡治理最简单、最直接的方案就是放坡，即文 [13] 中所指坡率法。即将边坡坡角降低，以增强边坡的稳定性。 图4 中为两种不同的放坡方案， 图4(a) 为一级放坡，即沿图中红色虚线5→22进行开挖，削去5→22→4→5所围成的三角形区域，从而将坡角降低； 图4(b) 中则为二级放坡方案，即沿5→22→23→24红色虚线进行分级开挖，削去5→22→23→24→4→5所围成的多边形区域。分级放坡与一级放坡相比，一方面可以控制坡角，另一方面可以控制坡高。分级放坡后实际上是降低了每一级边坡的高度，由此可以较少的降低坡角，有可能减少开挖土量。下文将采用数值极限分析模型的参数分析，对比这两种放坡的效果。

图5 中是 图4(a) 的一级放坡方案中随坡角不断减小边坡稳定安全系和土挖方量的变化情况。从图中可以看出随着挖方土量不断的增加，坡角不断减小后，边坡的安全系数不断增加，当坡角 $\beta >26.6˚$时，安全系数逐渐增大超过1，此时挖方量则超过了3300 m³。不同的放坡方案有可能减少土方开挖量，为此，这里考虑 图4(b) 的二级放坡方案，建立数值极限分析模型进行不同放坡方案的参数对比分析。

图6. 安全系数为1时两种切坡方案的失稳模式

图6 对比了 图4 中两种放坡方案边坡整体安全系数等于1时的失稳模式。根据塑性剪切耗散自适应结果可以看出两种切坡方案的失稳模式略有不同，方案1的失稳模式明显符合对数螺线的特征，而方案2则接近两个对数螺线的复合模式。相对于方案1而言，方案2中分级放坡后，上部土体对下部土体而言成为了超载作用，导致下部失稳时的滑动面的形状和位置发生了变化，与上部土体中滑动面不一致。 图7 中对比了边坡安全系数为1时两种方案的挖方土量，方案1的挖方量约为6153 m³，方案2的挖方量约为4227 m³，其中阴影部分为两种放坡方案的挖方土量之差约为1926 m³。可见，两种放坡方案在安全系数相等的情况下，方案2中采用二级放坡的方式挖方量相对较少，可以降低边坡治理的工程成本。

然而二级放坡中边坡的失稳模式相对复杂，如 图8 所示，三种模型放坡的尺寸不同，两级边坡的坡度也不同，虽然三种模型的安全系数接近，但失稳模式却不同。 图8(a) 和 图8(c) 属于局部失稳，而 图8(b) 为复合对数螺线的整体失稳模式。此种现象可能是由于不同的放坡中开挖导致应力状态改变规律不同。 图8(a) 中下部坡面附近土体的应力状态较其它区域更接近屈服面，导致此区域先发生滑动。而 图8(b) 的这样的区域则出现在上部土体。由此可见，在方案2中虽然挖方土量减少了，但边坡的失稳模式变得相对复杂，对挖方施工和边坡治理中其它工序带来了一定的难度。