数值微分是一种近似计算函数的导数或高阶导数的方法。数值微分问题在科学研究和实际问题的应用中有着极其重要的作用，例如图像处理 [1] 、医学成像 [2] 、识别 [3] 、偏微分方程 [4] 等问题主要集中在求数值微分上。数值微分问题是经典的不适定问题，主要是因为输入数据的任意“小”的扰动可能会导致近似导数的任意“大”的误差，从而使数值导数变得无意义，因此许多学者致力于克服这个问题，并提出了许多计算方法。差分方法 [5] - [8] 是通过构造高精度有限差分格式来近似计算函数的导数，但该方法并没有消除数据误差的影响。Tikhonov正则化方法 [9] [10] 是将数值微分问题转化为求解极小化泛函问题，通过在目标函数上加一个惩罚项，得到导数的稳定近似解。安抚方法 [11] 是将误差数据映射到问题的适位性类，并得到缓和数据，最终获得误差估计和最优的缓和参数。

分数阶Landweber方法最早是由Klann、Maaß和Ramlau [12] 提出的，考虑了一种基于滤波正则化技术求解线性逆问题的一般正则化方法。本文研究了高阶数值微分问题，并针对高阶数值微分问题构造了一个分数阶Landweber迭代正则化滤子函数，通过构造滤子函数得到正则解。与传统的Landweber方法相比，分数阶Landweber迭代正则化方法不仅减少了迭代次数，还克服了近似解过度光滑的问题 [13] 。

考虑函数 $f\left(x\right)\in L^2\left(ℝ\right)$，设函数f的傅里叶变换为 $\hat{f}$，则：

$\hat{f}\left(\xi \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right){\text{e}}^{-i\xi x}\text{d}x}.$(1)

对于函数f的k阶导数，用 $f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\frac{{\text{d}}^{k}f\left(x\right)}{\text{d}{x}^k}$进行表示，则有：

$\widehat{f^{\left(k\right)}\left(x\right)}={\left(i\xi \right)}^k\hat{f}\left(\xi \right),$(2)

则傅里叶逆变换为：

$f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(i\xi \right)}^k\hat{f}\left(\xi \right){\text{e}}^{i\xi x}\text{d}\xi }.$(3)

从(2)或(3)的右边部分可知 $\left|{\left(i\xi \right)}^k\right|={\left|\xi \right|}^k$(其中 $\left|\xi \right|$是趋于无穷大的数值，一般不取0)。在现实问题中，高阶数值导数的输入数据只能通过测量所得，这意味着测量数据中所含有的微小误差，会使得近似解具有较大差异，所以需要对不适定问题进行正则化处理。

因此对高阶数值微分问题，定义一个分数阶Landweber迭代正则化滤子函数：

$F_{m,\gamma }\left(\xi \right)={\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma },$(4)

其中， $m\ge 1$， $0<\beta <{\left|\xi \right|}^{2k}$，且 $\frac{1}{2}<\gamma \le 1$为分数阶参数，正则化参数为 $\alpha =\frac{1}{m}$(也可称m为正则化参数)。当 $\gamma =1$时，则为传统的Landweber方法。之后将在引理2.4中证明滤子函数满足文献 [4] 中滤子函数的构造要求。

引理2.1 设 $\frac{1}{2}<\gamma \le 1$， $0<\beta <{\left|\xi \right|}^{2k}$， $m\ge 1$，则有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\le {\beta }^{\frac{1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}}.$(5)

证明. 定义 ${\tau }^2:=\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}$，则有：

$\phi \left(\tau \right)=\beta {\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{2\gamma }{\tau }^{-2},$(6)

并且

$\varphi \left(\tau \right)={\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{2\gamma }{\tau }^{-2}.$(7)

显然有 $\phi \left(\tau \right)=\beta \varphi \left(\tau \right)$。当 $\tau \in \left(0,1\right)$时，两个函数都连续。

根据文献 [14] 可知，当 $\frac{1}{2}<\gamma \le 1$时，且有 $\tau \in \left(0,1\right)$，因此：

$\varphi \left(\tau \right)\le m$

所以有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\le {\beta }^{\frac{1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}}.$

引理2.1得证。

引理2.2 对 $0<\beta <{\left|\xi \right|}^{2k}$， $p>k>0$，并且 $m\ge 1$，则有：

${\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m{\left|\xi \right|}^{k-p}\le {\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}{m}^{\frac{k-p}{2k}}.$(8)

证明. 设 $x=\frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}$，则有：

$f\left(x\right)={\left(1-\beta x\right)}^m{x}^{\frac{p-k}{2k}},$(9)

所以有：

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(1-\beta x\right)}^m{x}^{\frac{p-k}{2k}}\left(-\frac{m\beta }{1-\beta x}+\frac{p-k}{2kx}\right),$(10)

当 $f^{\prime }\left(x\right)=0$时，由(10)式可得驻点 $x_0=\frac{p-k}{2k\beta m+\left(p-k\right)\beta }$，则有：

$f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)={\left(1-\frac{p-k}{2km+p-k}\right)}^m{\left(\frac{p-k}{2k\beta m+\left(p-k\right)\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}\le {\left(\frac{p-k}{2k\beta m}\right)}^{\frac{p-k}{2k}}={\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}{m}^{\frac{k-p}{2k}}.$

引理2.2得证。

引理2.3 [15] 对于 $m>0$， $0\le \gamma \le 1$，当 $\left|x\right|\le 1$时，有 $\left|1-{\left(1-x^m\right)}^{\gamma }\right|\le {\left|x\right|}^m$。

引理2.4 令 $0<\beta <{\left|\xi \right|}^{2k}$， $\frac{1}{2}<\gamma \le 1$，正则化参数为 $\alpha =\frac{1}{m}$，则函数：

$F_{m,\gamma }\left(\xi \right)={\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma },$(11)

满足以下性质：

1) 对一切 $\alpha >0$和 $\sigma :=\frac{1}{{\left|\xi \right|}^k}\in \left(0,+\infty \right)$成立 $\left|F_{m,\gamma }\left(\xi \right)\right|\le 1$；

2) 存在函数 $c\left(\alpha \right)$使得对一切的 $\sigma :=\frac{1}{{\left|\xi \right|}^k}\in \left(0,+\infty \right)$成立 $\left|F_{m,\gamma }\left(\xi \right)\right|\le c\left(\alpha \right)\sigma$；

3) 对一切的 $\sigma :=\frac{1}{{\left|\xi \right|}^k}\in \left(0,+\infty \right)$成立 $\underset{\alpha \to 0}{\lim }{F}_{m,\gamma }\left(\xi \right)=1$。

证明. 显然，条件1)、3)成立。对于条件2)，通过引理2.1可得：

${\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }\le {\left(\beta m\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{{\left|\xi \right|}^k}={\left(\beta m\right)}^{\frac{1}{2}}\sigma ={\left(\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\frac{1}{2}}\sigma ,$

故有：

$\left|F_{m,\gamma }\left(\xi \right)\right|\le c\left(\alpha \right)\sigma ,$

其中， $c\left(\alpha \right)={\left(\frac{\beta }{\alpha }\right)}^{\frac{1}{2}}$，则条件2)成立。

在本节中，主要讨论分析了数值微分的不适定性，并根据文献 [4] 给出条件稳定性结果。为了得到精确解和正则解之间的误差估计，假设精确数据函数 $f\left(x\right)\in L^2\left(ℝ\right)$与测量数据函数 $f_{\delta }\left(x\right)\in L^2\left(ℝ\right)$满足：

$\Vert f_{\delta }-f\Vert \le \delta .$(12)

其中， $\Vert \cdot \Vert$表示 $L^2$范数， $\delta >0$表示噪声水平。这表明我们在计算高阶数值导数时，测量数据所带来的误差当中的高频成分被放大，甚至可能会被破坏掉，使得计算无意义，这意味着高阶数值导数的计算不能仅依赖于测量数据。所以需要将不适定问题进行正则化处理，此时，我们对精确数据施加一个先验界，对任意 $p\ge 0$，定义Sobolev空间 $H^p\left(ℝ\right)$的范数为：

${\Vert f\Vert }_p:={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(1+{\xi }^2\right)}^p{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{2}}\le E,$(13)

其中， $E>0$是一个常数。

定理3.1 假设先验界(12)成立，则条件稳定性结果如下：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \le E^{\frac{k}{p}}{\Vert \hat{f}\Vert }^{1-\frac{k}{p}}.$(14)

证明. 通过(2)式，并使用Holder不等式，可得：

$\begin{array}{c}{\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert }^2={\Vert {\left|\xi \right|}^k\hat{f}\left(\xi \right)\Vert }^2\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\xi \right|}^{2k}{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\xi \right|}^{2k}{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^{\frac{2k}{p}}{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^{\frac{2\left(p-k\right)}{p}}\text{d}\xi }\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\xi \right|}^{2p}{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{k}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{p-k}{p}}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\xi \right|}^{2p}{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-p}{\left(1+{\xi }^2\right)}^p{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{k}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{p-k}{p}}\\ \le {\left(\underset{\xi \in R}{\sup }{\left|\xi \right|}^{2p}{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-p}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\xi \right|}^{2p}{\left(1+{\xi }^2\right)}^p{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{k}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{p-k}{p}}\\ \le E^{\frac{2k}{p}}\underset{\xi \in R}{\sup }{\left|\xi \right|}^{\frac{2k\left(p-p\right)}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{p-k}{p}}\\ =E^{\frac{2k}{p}}{\Vert \hat{f}\left(\xi \right)\Vert }^{\frac{2\left(p-k\right)}{p}},\end{array}$(15)

所以有：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \le E^{\frac{k}{p}}{\Vert \hat{f}\Vert }^{1-\frac{k}{p}},$

定理3.1证毕。

注3.1 正则化参数的后验选取规则是在条件稳定性结果的基础上建立的，所以只给出条件稳定性结果。

在第4节将引入分数阶Landweber迭代正则化方法，并给出相应的误差估计。

在本节中，主要使用分数阶Landweber正则化方法解决高阶数值微分的不适定性，并给出了先验正则化参数规则选取下的误差估计。

通过带噪声的数据表示分数阶Landweber正则化解：

$R\left(\widehat{f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)}\right)={\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k{\hat{f}}_{\delta }\left(\xi \right),$(16)

其傅里叶逆变换为：

$R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k{\hat{f}}_{\delta }\left(\xi \right){\text{e}}^{i\xi x}\text{d}\xi }.$(17)

不带噪声的精确数据的分数阶Landweber正则化解为：

$R\left(\widehat{f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)}\right)={\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\hat{f}\left(\xi \right),$(18)

其傅里叶逆变换为：

$R\left(f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\hat{f}\left(\xi \right){\text{e}}^{i\xi x}\text{d}\xi }.$(19)

需要注意的是，其中 $m\ge 1$为正则化参数， $0<\beta <{\left|\xi \right|}^{2k}$，且 $\frac{1}{2}<\gamma \le 1$为分数阶参数。当 $\gamma =1$时，便是Landweber迭代方法。

下面将给出先验选取规则下的误差估计结果。

定理4.1 假设高阶数值微分问题满足条件(12)和(13)，选取正则化参数为 $m\left(\delta \right)={\left(\frac{E}{\delta }\right)}^{\frac{2k}{P}}$，其中 $p>1$且 $p>k$(k为正整数)，则收敛估计为：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert \le \left[{\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}+{\beta }^{\frac{1}{2}}\right]E^{\frac{k}{P}}{\delta }^{1-\frac{k}{P}}.$(20)

证明. 通过三角不等式可知：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert \le \Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert +\Vert R\left(f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert .$(21)

首先证明第一部分，根据(13)式可得：

$\begin{array}{c}\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert =\Vert \widehat{f^{\left(k\right)}\left(x\right)}-R\left(\widehat{f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)}\right)\Vert \\ =\Vert {\left|\xi \right|}^k\hat{f}-\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m{}^{\gamma }\right]{\left|\xi \right|}^k\hat{f}\Vert \\ =\Vert \left[1-{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }\right]{\left|\xi \right|}^k\hat{f}\Vert \\ ={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\left[1-{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }\right]{\left|\xi \right|}^k\right|}^2{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{2}}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\left[1-{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }\right]{\left|\xi \right|}^k\right|}^2{\left(1+{\xi }^2\right)}^p{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-p}{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le \underset{\xi \in R}{\sup }A\left(\xi \right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(1+{\xi }^2\right)}^p{\left|\hat{f}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le \underset{\xi \in R}{\sup }A\left(\xi \right)E,\end{array}$(22)

其中，

$A\left(\xi \right)=\left[1-{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }\right]{\left|\xi \right|}^k{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}.$(23)

根据引理2.2和引理2.3，可得：

$A\left(\xi \right)\le {\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m{\left|\xi \right|}^k{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\le {\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m{\left|\xi \right|}^{k-p}\le {\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}{m}^{\frac{k-p}{2k}}.$(24)

结合(22)和(24)式，可得：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert \le {\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}{m}^{\frac{k-p}{2k}}E.$(25)

接下来证明第二部分，根据引理2.1及(12)式，可以得到：

$\begin{array}{c}\Vert R\left(f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert =\Vert R\left(\widehat{f_m^{\left(k\right)}\left(x\right)}\right)-R\left(\widehat{f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)}\right)\Vert \\ \le \Vert {\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\left(\hat{f}-{\hat{f}}_{\delta }\right)\Vert \\ \le \delta \underset{\xi \in R}{\sup }{\left[1-{\left(1-\beta \frac{1}{{\left|\xi \right|}^{2k}}\right)}^m\right]}^{\gamma }{\left|\xi \right|}^k\\ \le {\beta }^{\frac{1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}}\delta .\end{array}$(26)

将(25)和(26)式带入(21)式，可以得到：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert \le {\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}{m}^{\frac{k-p}{2k}}E+{\beta }^{\frac{1}{2}}{E}^{\frac{k}{P}}{\delta }^{1-\frac{k}{P}}.$

选取正则化参数 $m\left(\delta \right)={\left(\frac{E}{\delta }\right)}^{\frac{2k}{P}}$，则可以得到收敛估计为：

$\Vert f^{\left(k\right)}\left(x\right)-R\left(f_{\delta ,m}^{\left(k\right)}\left(x\right)\right)\Vert \le \left[{\left(\frac{p-k}{2k\beta }\right)}^{\frac{p-k}{2k}}+{\beta }^{\frac{1}{2}}\right]E^{\frac{k}{P}}{\delta }^{1-\frac{k}{P}}.$

定理4.1证毕。

本文提出了一种分数阶Landweber迭代正则化方法来分析高阶数值微分的不适定问题。通过分数阶Landweber迭代格式的构造，给出数值微分问题的正则解。最后在正则化参数的先验选取规则下，得到正则解和精确解之间的误差估计。