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Articles
数学与物理
对称群S
3 和S
4 的c-可补充子群
3 and S
4
赵
佳
西华师范大学数学与信息学院，四川 南充
03
07
2024
14
07
48
52
31
5
：2024
30
5
：2024
30
6
：2024
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2024
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
在有限群中，子群的c-可补充性质对刻画群结构有着重要影响。这些性质比较抽象，因此找一些具体的例子对于理解这些性质至关重要。基于c-可补充子群的概念，本文从具体的3次对称群和4次对称群出发，研究了其子群的c-可补充性质，并完全确定了其所有的c-可补充子群。所得到的结论对探讨c-可补充子群的抽象性质和理论课题起到积极的作用。
c-可补充性质，c-可补充子群，对称群
c-Supplemented Subgroups
Symmetry Groups
1. 引言
本文中所有的群皆为有限群，相关术语和符号以文献
[1]
-
[3]
为标准。设H是群G的子群，称H在G中有补充，如果存在G的子群K使
G
=
H
K
，这时K叫作H在G中的补充子群。特别地，当
H
∩
K
≤
H
G
时，称H在G中是c-可补充的，K是H在G中的c-可补充子群。这里，HG 是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。
子群的c-可补充性质与群结构有着紧密的联系，国内外群论学者对相关课题进行了深入研究，并利用它考察了有限群的结构。例如，2000年，Wang
[4]
利用了子群的c-可补充的相关性质，得到了群G是可解的充要条件。2012年，Asaad
[5]
考察了c-可补充性质与Sylow子群之间的联系，发现了其对p-幂零群的影响。2021年，在群G为CN-群的条件下，Li等
[6]
等揭示了c-可补充性质对超可解群的影响。进一步的研究可参考文献
[7]
-
[10]
。为了加深对c-可补充性质这一抽象性质的理解，本文在一些具体的群中，即在3次对称群S3 和4次对称群S4 中，分析了其子群的c-可补充性质，并完全确定了它们的c-可补充子群。
2. 基本引理
定义1
[4]
称子群H在G中是c-可补充的，如果存在G的子群K使得
G
=
H
K
，
H
∩
K
≤
H
G
，这里，HG 是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。
引理1
[1]
(拉格朗日定理)设G是有限群，
H
≤
G
，则
|
G
|
=
|
H
|
|
G
:
H
|
。其中，
|
G
:
H
|
表示有限群G的子群H在G中的指数。
引理2
[1]
设G是有限群，H和K是G的有限子群，则
|
H
K
|
=
|
H
|
|
K
|
|
H
∩
K
|
。
引理3
[11]
3次对称群S3 一共有6个子群，其中除去两个平凡子群外，有3个2阶子群和1个正规子群。具体如下：
1) 2个平凡子群：
{
(
1
)
}
；S3 。
2) 3个2阶子群：
H
3
=
{
(
1
)
,
(
12
)
}
；
H
4
=
{
(
1
)
,
(
13
)
}
；
H
5
=
{
(
1
)
,
(
2
3
)
}
。
3) 1个3阶子群：
H
6
=
{
(
1
)
,
(
123
)
,
(
132
)
}
，且
H
6
⊴
S
3
。
引理4
[12]
4次对称群S4 一共有30个子群，其中除去两个平凡子群之外，有9个2阶循环子群、4个3阶循环子群、7个4阶子群、4个6阶子群、3个8阶子群以及1个12阶子群。具体如下：
1) 两个平凡子群：
{
(
1
)
}
；S4 。
2) 2阶子群：
H
3
=
{
(
1
)
,
(
12
)
}
；
H
4
=
{
(
1
)
,
(
13
)
}
；
H
5
=
{
(
1
)
,
(
14
)
}
；
H
6
=
{
(
1
)
,
(
23
)
}
；
H
7
=
{
(
1
)
,
(
24
)
}
；
H
8
=
{
(
1
)
,
(
34
)
}
；
H
9
=
{
(
1
)
,
(
12
)
(
34
)
}
；
H
10
=
{
(
1
)
,
(
13
)
(
24
)
}
；
H
11
=
{
(
1
)
,
(
14
)
(
23
)
}
。
3) 3阶子群：
H
12
=
{
(
1
)
,
(
123
)
,
(
132
)
}
；
H
13
=
{
(
1
)
,
(
124
)
,
(
142
)
}
；
H
14
=
{
(
1
)
,
(
134
)
,
(
143
)
}
；
H
15
=
{
(
1
)
,
(
234
)
,
(
243
)
}
。
4) 4阶子群：
H
16
=
{
(
1
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
14
)
(
23
)
}
；
H
17
=
{
(
1
)
,
(
12
)
,
(
34
)
,
(
12
)
(
34
)
}
；
H
18
=
{
(
1
)
,
(
13
)
,
(
24
)
,
(
13
)
(
24
)
}
；
H
19
=
{
(
1
)
,
(
14
)
,
(
23
)
,
(
14
)
(
23
)
}
；
H
20
=
{
(
1
)
,
(
1234
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
1432
)
}
；
H
21
=
{
(
1
)
,
(
1243
)
,
(
14
)
(
23
)
,
(
1342
)
}
；
H
22
=
{
(
1
)
,
(
1324
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
1423
)
}
。
其中，H16 是克莱因4元群K4 。
5) 6阶子群：
H
23
=
{
(
1
)
,
(
12
)
,
(
13
)
,
(
23
)
,
(
123
)
,
(
132
)
}
；
H
24
=
{
(
1
)
,
(
12
)
,
(
14
)
,
(
24
)
,
(
124
)
,
(
142
)
}
；
H
25
=
{
(
1
)
,
(
13
)
,
(
14
)
,
(
34
)
,
(
134
)
,
(
143
)
}
；
H
26
=
{
(
1
)
,
(
23
)
,
(
24
)
,
(
34
)
,
(
234
)
,
(
243
)
}
。
6) 8阶子群：
H
27
=
{
(
1
)
,
(
13
)
,
(
24
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
14
)
(
23
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
1234
)
,
(
1432
)
}
；
H
28
=
{
(
1
)
,
(
14
)
,
(
23
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
14
)
(
23
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
1243
)
,
(
1342
)
}
；
H
29
=
{
(
1
)
,
(
12
)
,
(
34
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
14
)
(
23
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
1423
)
,
(
1324
)
}
。
7) 12阶子群
H
30
=
{
(
1
)
,
(
12
)
(
34
)
,
(
14
)
(
23
)
,
(
13
)
(
24
)
,
(
123
)
,
(
124
)
,
(
132
)
,
(
134
)
,
(
142
)
,
(
143
)
,
(
234
)
,
(
243
)
}
，其中
H
30
=
A
4
是4次交错群。
3. 主要结果
结论1 S3 的所有子群都是c-可补充的。
证明：设H是S3 的子群。根据定义1和引理3，我们进行以下讨论：
1) 对于两个平凡子群
{
(
1
)
}
和S3 ：
当
H
=
{
(
1
)
}
时，显然在S3 中是c-可补充的；
当
H
=
S
3
时，取
K
=
{
(
1
)
}
，显然在S3 中也是c-可补充的。
2) 对于2阶子群
H
i
(
i
=
3
,
4
,
5
)
：
当
H
=
H
i
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
。取
K
=
H
6
，
S
3
=
H
i
H
6
，且
H
i
∩
H
6
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故
H
i
(
i
=
3
,
4
,
5
)
在S3 中是的c-可补充的。
3) 对于3阶子群H6 ：
当
H
=
H
6
时，其柱心
H
G
=
H
6
。取
K
=
H
j
(
j
=
3
,
4
,
5
)
，有
S
3
=
H
6
H
j
，且
H
6
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故H6 在S3 中是的c-可补充的。
结论2 S4 的c-可补充子群：
1) 1阶子群
H
=
{
(
1
)
}
和24阶子群S4 在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群分别为S4 和
{
(
1
)
}
；
2) 2阶子群
H
i
(
i
=
3
,
⋯
,
8
)
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群是
A
4
；
3) 3阶子群
H
i
(
i
=
12
,
⋯
,
15
)
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群是8阶子群
H
j
(
j
=
27
,
28
,
29
)
；
4) 4阶子群H16 和
H
i
(
i
=
20
,
⋯
,
22
)
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群是
H
j
(
j
=
23
,
⋯
,
26
)
；
5) 6阶子群
H
i
(
i
=
23
,
⋯
,
26
)
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群是4阶子群H16 和
H
j
(
j
=
20
,
21
,
22
)
；
6) 8阶子群
H
i
(
i
=
27
,
28
,
29
)
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充子群是
H
i
(
i
=
12
,
⋯
,
15
)
；
7) 12阶子群
H
=
A
4
在S4 中是c-可补充的，其c-可补充的子群是
H
j
(
j
=
3
,
⋯
,
8
)
。
证明：设H是S4 的子群。根据定义1和引理4，我们进行以下分析：
1) 两个平凡子群
{
(
1
)
}
和S4 ：
当
H
=
{
(
1
)
}
时，显然在S4 中是c-可补充的；
当
H
=
S
4
时，取
K
=
{
(
1
)
}
，其柱心
H
G
=
S
4
，有
S
4
=
H
K
，
H
∩
K
=
{
(
1
)
}
≤
S
4
。于是，H在S4 中是c-可补充的，故结论(1)成立。
2) 2阶子群
H
i
(
i
=
3
,
⋯
,
11
)
：
① 当
H
=
H
i
(
i
=
3
,
⋯
,
8
)
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，由引理2，取
K
=
A
4
，有
S
4
=
H
i
A
4
，
H
i
∩
A
4
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故结论(2)成立；
② 当
H
=
H
i
(
i
=
9
,
10
,
11
)
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
。因为
H
i
≤
A
4
，所以
S
4
≠
H
i
A
4
，4次对称群S4 不能分解成
H
i
与S4 的真子群的乘积。但若
K
=
S
4
，有
S
4
=
H
i
S
4
，
H
i
∩
S
4
=
H
i
>
H
G
，不满足定义，故
H
i
(
i
=
9
,
10
,
11
)
在S4 中不是的c-可补充的。
3) 3阶子群
H
i
(
i
=
12
,
⋯
,
15
)
：
当
H
=
H
i
，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
。因为
H
i
≤
A
4
，所以
S
4
≠
H
i
A
4
；由引理1可知，S4 可以分解成3阶子群和8阶子群
H
j
(
j
=
27
,
28
,
29
)
的乘积，又因为
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
(
i
=
12
,
⋯
,
15
；
j
=
27
,
28
,
29
)，所以由引理2有，
S
4
=
H
i
H
j
，
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故
H
i
在S4 中是c-可补充的。
4) 4阶子群
H
i
(
i
=
16
,
⋯
,
22
)
：
① 当
H
=
H
16
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，取
K
=
H
j
(
j
=
23
,
⋯
,
26
)
，有
S
4
=
H
16
H
j
，
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故H16 在S4 中是c-可补充的。
② 当
H
=
H
i
(
i
=
17
,
18
,
19
)
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，但
S
4
≠
H
i
H
j
(
i
=
17
,
18
,
19
;
j
=
23
,
⋯
,
26
)
，故
H
i
(
i
=
17
,
18
,
19
)
在S4 中不是c-可补充的。
③ 当
H
=
H
i
(
i
=
20
,
21
,
22
)
时，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，先考虑将S4 分解为4阶与6阶子群的乘积，由于
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
，其中
j
=
23
,
⋯
,
26
，由引理2，取
K
=
H
j
(
j
=
23
,
⋯
,
26
)
，有
S
4
=
H
i
H
j
，
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故
H
i
(
i
=
20
,
21
,
22
)
在S4 中是c-可补充的。
5) 6阶子群
H
i
(
i
=
23
,
⋯
,
26
)
：
当
H
=
H
i
，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，由4)中的分析，取
K
=
H
j
(
j
=
16
,
20
,
21
,
22
)
，有
S
4
=
H
i
H
j
(
i
=
23
,
⋯
,
26
;
j
=
16
,
20
,
21
,
22
)
，
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故
H
i
(
i
=
23
,
⋯
,
26
)
在S4 中是c-可补充的。
6) 8阶子群
H
i
(
i
=
27
,
⋯
,
29
)
：
当
H
=
H
i
，其柱心
H
G
=
{
(
1
)
}
，取
K
=
H
j
(
j
=
12
,
⋯
,
15
)
，
S
4
=
H
i
H
j
(
i
=
27
,
28
,
29
;
j
=
12
,
⋯
,
15
)
，
H
i
∩
H
j
=
{
(
1
)
}
≤
H
G
，故
H
i
(
i
=
27
,
28
,
29
)
在S4 中是c-可补充的。
7) 12阶子群A4 ：
当
H
=
A
4
，其柱心
H
G
=
A
4
，取
K
=
H
j
(
j
=
3
,
⋯
,
8
)
，有
S
4
=
A
4
H
j
，
A
4
∩
H
j
≤
H
G
，故A4 在S4 中是c-可补充的。
4. 总结
本文完全确定了三次对称群S3 和四次对称群S4 中的c-可补充的子群。这有助于加深理解c-可补充子群的定义和相关性质，也为后续研究其对有限群结构的影响提供了例子支撑。
基金项目
四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。
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