脉冲微分方程理论被广泛应用于种群动力学、生物系统、最优控制问题以及金融系统等领域。含有脉冲的发展方程具有的共同特征是，在发展过程的某些时刻都经历了状态的突然变化，因此具有更丰富的应用背景，事实上，脉冲与各种发展方程都密切相关。因此，要精确地描述和分析发展系统就很有必要考虑脉冲问题。周期运动是自然科学中常见且非常重要的现象。脉冲周期系统是研究周期演化过程中状态发生突变的动力学模型。在过去的几十年里，关于有限维和无穷维空间中脉冲周期系统解的存在性问题的研究得到了许多重要的结果 [1] - [7] 。

最近，Alvarez等 [8] 通过研究著名的Mathieu方程 $x^{″}+ax=2q\cos \left(2t\right)x$的任意解 $x\left(t\right)$的性质 $x\left(\cdot +\omega \right)=cx(\cdot )$引入了 $\left(\omega ,c\right)$-周期函数的概念。显然，当 $c=1$和 $c=-1$时， $\left(\omega ,c\right)$-周期函数分别为标准的 $\omega$周期函数和 $\omega$-反周期函数。2018年，Li等 [9] 研究了脉冲方程 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax+f\left(t,x\right),t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N}:=\{1,2,\cdots \}\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=x\left({\tau }_i^{+}\right)-x\left({\tau }_i^{-}\right)=Bx\left({\tau }_i^{-}\right)+c_i\end{array}$的 $\left(\omega ,c\right)$-周期解，其中A、B是矩阵。2020年，Agaoglou等 [10] 利用 $\left(\omega ,c\right)$-周期函数的概念研究了复Banach空间中半线性发展方程 $x^{\prime }=Ax+f\left(t,x\right)$ $\left(\omega ,c\right)$-周期解的存在唯一性。接着，Liu等 [11] 研究了一类新的 $\left(\omega ,c\right)$-周期非瞬时脉冲微分方程，利用不动点定理证明了该类方程 $\left(\omega ,c\right)$-周期解的存在唯一性。2022年，Feckan等 [12] 研究了脉冲方程 $\left(\omega ,T\right)$-周期解的存在唯一性。受以上文献的启发，本文研究了如下脉冲微分方程的 $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解。

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N}:=\{1,2,\cdots \},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=x\left({\tau }_i^{+}\right)-x\left({\tau }_i^{-}\right)=Bx\left({\tau }_i^{-}\right)+c_i,\end{array}$(1.1)

其中，A是稠定闭线性算子，生成X中的C₀半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$。B是有界线性算子， $f\in C\left(R^{+}\times X,X\right)$，且f满足 $f\left(t+\omega ,cx\right)=cf\left(t,x\right)$。 $x\left({\tau }_i^{-}\right)$和 $x\left({\tau }_i^{+}\right)$分别表示 $x\left(t\right)$在 $t={\tau }_i$处的左右极限。此外，假设 $x\left({\tau }_i^{-}\right)=x\left({\tau }_i\right)$，为了方便讨论方程(1.1)，我们给出如下基本假设：

(H₁) A是稠定闭线性算子，生成X中的C₀半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$，B是有界线性算子，且满足 $T\left(t\right)B=BT\left(t\right)$；

(H₂) $c_i,{\tau }_i>0$，满足 $c_{i+m}=c_i$， ${\tau }_{i+m}={\tau }_i+\omega$， $i\in {\rm N}$，其中 $m\triangleq i\left(0,\omega \right)$代表区间 $\left[0,\omega \right]$上脉冲点的个数；

(H₃) $c\notin \sigma \left(T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)$，即 ${\left(cE-\left(T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)\right)}^{-1}$存在，其中 $\sigma (\cdot )$表示线性算子的谱，E是单位算子；

(H₄) 存在常数 $\mu ,\nu \ge 0$，使得 $\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le \mu +\nu \Vert x\Vert$， $\forall t\in R^{+}$， $x\in X$；

(H₅) $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$是紧半群。

设X是Banach空间，其范数为 $\Vert \cdot \Vert$。再引进一个Banach空间 $\left\{x:R^{+}\to X:x\in C\left(\left(t_i,t_{i+1}\right],X\right),x\left(t_i^{-}\right)=x\left(t_i\right),\forall i\in {\rm N},且x\left(t_i^{+}\right)存在\right\}$，其范数为 ${\Vert x\Vert }_{PC}=\underset{t\in R^{+}}{\sup }\Vert x\left(t\right)\Vert$。

定义2.1 [13] 若X为Banach空间， $B\left(X\right)$表示X中线性有界算子全体构成的Banach空间。假设 $T\left(t\right):\left[0,\infty \right]\to B\left(X\right)$满足：

1) $T\left(0\right)=I$；

2) 对 $\forall t,s\ge 0$， $T\left(t+s\right)=T\left(t\right)T\left(s\right)$。

则称 $T\left(t\right)t\ge 0$为X中的线性算子半群。

若1)和2)满足，且对 $\forall x\in X$，有 $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }T\left(h\right)x=x$，则称 $T\left(t\right)t\ge 0$为X中的强连续半群，也称为C₀-半群。

若1)和2)满足，且有 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\Vert T\left(t\right)-I\Vert =0$，则称 $T\left(t\right)t\ge 0$为X中的一致连续半群。

引理2.2 [13] 设 $T\left(t\right)t\ge 0$为X中的强连续半群，则存在常数 $\omega \ge 0$和 $M\ge 1$，使得：

$\Vert T\left(t\right)\Vert \le M{\text{e}}^{\omega t},\left(t\ge 0\right).$

定义2.3 [8] 对所有的 $t\in R^{+}$，如果 $f\left(t+\omega \right)=cf\left(t\right)$，则称函数 $f:R^{+}\to X$是 $\left(\omega ,c\right)$-周期的，其中 $c\in R\backslash \left\{0\right\}$， $\omega >0$。

设 ${\Phi }_{\omega ,c}=\left\{x:x\in PC\left(R^{+},X\right),cx(\cdot )=x\left(\cdot +\omega \right)\right\}$，则 ${\Phi }_{\omega ,c}$表示所有分段连续的 $\left(\omega ,c\right)$-周期函数的集合。

引理2.4 [10] $x\in {\Phi }_{\omega ,c}$当且仅当：

$x\left(\omega \right)=cx\left(0\right).$(2.1)

引理2.5 设(H₁)和(H₂)成立。齐次线性脉冲方程初值问题：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=Ax,t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=Bx,\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}$(2.2)

有一个解 $x\in {\Phi }_{\omega ,c}$当且仅当：

$\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)x_0=0.$

证明 对任意的 $t\in \left[0,\infty \right)\backslash \xi$， $\xi ={\left\{{\tau }_i\right\}}_{i\in N}$，方程(2.2)的解 $x\in PC\left(R^{+},X\right)$为：

$x\left(t\right)=T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0,t\ge 0.$

对任意的 $t\in \left[0,\infty \right)\backslash \xi$，

$\begin{array}{l}x\left(t+\omega \right)=cx\left(t\right)\iff T\left(t+\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t+\omega \right)}{x}_0=cT\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0\\ \iff T\left(t\right)T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(E+B\right)}^{i\left(t,t+\omega \right)}{x}_0=cT\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0\\ \iff T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,t+\omega \right)}{x}_0=c{x}_0\\ \iff \left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)x_0=0\end{array}$

接下来，主要考虑非齐次线性脉冲发展方程：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax+g\left(t\right),t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=Bx+c_i\end{array}$(2.3)

$\left(\omega ,c\right)$-周期mild解的存在性，其中 $g\in C\left(R^{+},X\right)$是 $\left(\omega ,c\right)$-周期函数。

引理2.6 [12] 设(H₁)~(H₃)成立。非齐次脉冲发展方程(2.3) $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解 $x\in \Omega :=PC\left(\left[0,\omega \right],X\right)$，其表达式为：

$x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t,\tau \right)g\left(\tau \right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}G\left(t,{\tau }_i\right)c_i},$(2.4)

其中， $G\left(t,\tau \right)$是Green函数，其定义为：

$G\left(t,\tau \right)=\{\begin{array}{l}\left(T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,\omega \right)}+E\right)T\left(t-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t\right)},0<\tau <t,\\ T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,\omega \right)},t\le \tau <\omega .\end{array}$(2.5)

引理2.7 [12] 设(H₁)~(H₃)成立。对任意的 $t\in \left[0,\omega \right]$，有如下不等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le M_{\eta }=\{\begin{array}{l}M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}{\text{e}}^{\eta \omega }\left(\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M+1\right){\displaystyle \underset{1<i<m}{\sum }{\text{e}}^{\eta \left(\omega -{\tau }_i\right)}}\Vert c_i\Vert ,\eta >0,\\ M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\left(\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M+1\right){\displaystyle \underset{1<i<m}{\sum }\Vert c_i\Vert },\eta \le 0.\end{array}\end{array}$

引理2.8 [12] 设(H₁)~(H₃)成立。对任意的 $t\in \left[0,\omega \right]$，有如下不等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }\\ \le N_{\eta }=\{\begin{array}{l}\left\{M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert {\text{e}}^{\eta \omega }+\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert ,1\right\}\right\}M\frac{{\text{e}}^{\eta \omega }-1}{\eta },\eta \ne 0,\\ \left\{M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert +\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert ,1\right\}\right\}M\omega ,\eta =0.\end{array}\end{array}$

引理2.9 [14] (Schauder不动点定理)设X为Banach空间，B为X中的有界凸比子集。若算子为 $L:B\to B$为全连续算子，则算子L在X中至少存在一个不动点。

定理3.1 设(H₁)~(H₅)成立。如果 $0<v{N}_{\eta }<1$，则半线性脉冲发展方程(1.1)有一个 $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解 $x\in {\Phi }_{\omega ,c}$。

证明 令 $B_r=\left\{x\in \Omega |{\Vert x\Vert }_{PC}\le r\right\}$， $r=\frac{\mu N_{\eta }+M_{\eta }}{1-v{N}_{\eta }}$。在 $B_r$上定义如下算子 $\Lambda$如下：

$\left(\Lambda x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}G\left(t,{\tau }_i\right)c_i},$(3.1)

首先证明 $\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$。对任意的 $x\in B_r$和 $t\in \left[0,\omega \right]$，由引理2.7和2.8，有：

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le \mu {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+\nu {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert }\Vert x\left(\tau \right)\Vert \text{d}\tau +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le \mu N_{\eta }+\nu N_{\eta }{\Vert x\Vert }_{PC}+M_{\eta }=r,\end{array}$

所以 $\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$。

下证 $\Lambda$是连续的。

设 $x_n$是 $B_r$中的柯西列，且 $x_n\to x\left(n\to \infty \right)$。记 $f_n=f\left(\cdot ,x_n(\cdot )\right)$， $f=f\left(\cdot ,x(\cdot )\right)$。

由f的连续性可得， $f_n\to f\left(n\to \infty \right)$。

由(3.1)式，有：

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Lambda x_n\right)\left(t\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert }\Vert f\left(\tau ,x_n\left(\tau \right)\right)-f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }\Vert f_n-f\Vert \le M_{\eta }\Vert f_n-f\Vert \\ \to 0.\end{array}$

因此， $\Lambda$是连续的。

最后证明 $\Lambda \left(B_r\right)$是相对紧的。由 $\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$，易见 $\Lambda \left(B_r\right)$是一致有界的。下证 $\Lambda$是等度连续算子。

对任意的 $0<t_1<t_2\le \omega$和 $x\in B_r$，有：

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t_2\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t_1\right)\Vert \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert }\Vert f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t_2,{\tau }_i\right)-G\left(t_1,{\tau }_i\right)\Vert }\Vert c_i\Vert \\ \le \left(\mu +\nu {\Vert x\Vert }_{PC}\right){\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t_2,{\tau }_i\right)-G\left(t_1,{\tau }_i\right)\Vert }\Vert c_i\Vert .\end{array}$

由(2.5)式，

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ =\{\begin{array}{l}\Vert T\left(t_2\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_2\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\\ +T\left(t_2-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t_2\right)}-T\left(t_1\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_1\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\\ \times T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}-T\left(t_1-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t_1\right)}\Vert ,0<\tau <t_1<t_2,\\ \Vert T\left(t_2\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_2\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\\ -T\left(t_1\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_1\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\Vert ,t_1<t_2<\tau <\omega .\end{array}\end{array}$

如果 $0<\tau <t_1<t_2$，有：

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ \le \Vert T\left(t_2\right)-T\left(t_1\right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert \Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M{\text{e}}^{\eta \left(\omega -\tau \right)}\\ +\Vert T\left(t_2-\tau \right)-T\left(t_1-\tau \right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert .\end{array}$

由半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$的紧性知， $\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0\left(t_2-t_1\to 0\right)$。

如果 $t_1<t_2<\tau <\omega$，则A：

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ \le \Vert T\left(t_2\right)-T\left(t_1\right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert \Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M{\text{e}}^{\eta \left(\omega -\tau \right)}.\end{array}$

再由半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$的紧性可知， $\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0\left(t_2-t_1\to 0\right)$。

所以，对任意的 $0<t_1<t_2<\omega$都满足：

$\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0$， $t_2-t_1\to 0$。 (3.2)

这意味着当 $t_2-t_1\to 0$时， $\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t_2\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t_1\right)\Vert \to 0$。因此，算子 $\Lambda$是等度连续算子。

在 $B_r$上作算子 ${\Lambda }_{\epsilon }$如下：

$\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)=T\left(\epsilon \right)\left({\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t-\epsilon ,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)c_i}\right)$, $t\in \left[0,\omega \right]$.

令 $K=\left\{\left(\Lambda x\right)\left(t\right):t\in \left[0,\omega \right]\right\}$， $K_{\epsilon }=\left\{\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right):t\in \left[0,\omega \right]\right\}$， $0<\epsilon <\omega$，由条件(H₅)， $K_{\epsilon }$是相对紧的。

所以，对任意的 $x\in B_r$有：

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)-\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)\Vert \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)-G\left(t-\epsilon ,\tau \right)\Vert \Vert f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)-G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)\Vert \Vert c_i\Vert }\\ \le \left(\mu +\nu r\right){\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)-G\left(t-\epsilon ,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)-G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)\Vert \Vert c_i\Vert }\end{array}$

由(3.2)式，当 $\epsilon \to 0$时， $\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)-\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)\Vert \to 0$，所以K在X中相对紧。根据Arzela-Ascoli定理，K在 $PC\left(\left[0,\omega \right],X\right)$上相对紧，所以 $\Lambda$是全连续算子。由Schauder不动点定理半线性脉冲发展方程，(1.1)至少有一个 $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解。

本文讨论了Banach空间中一类半线性脉冲发展方程 $\left(\omega ,c\right)$-周期解的存在性，首先给出了非齐次脉冲发展方程 $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解的表达形式，其次在紧半群情形下利用Schauder不动点定理证明了系统(1.1) $\left(\omega ,c\right)$-周期mild解的存在性。