众所周知，许多重要的实际问题，如通信网络、产品设计、统计与财务等数学模型可以表示为如下概率约束优化问题。

$\underset{x\in X}{\min }f\left(x\right)$

$\text{s}.\text{t}.\text{Pr}\left\{c\left(x,\xi \right)\le 0\right\}\ge 1-\alpha$，(SCCP)

其中x是d维的决策随机向量， $\xi$是支撑 $\Xi \subset {\Re }^k$上的k维随机向量，并且 $X\subset {\Re }^d$， $f:{\Re }^d\to R$， $c:{\Re }^d\times \Xi \to R$， $\alpha \in \left(0,1\right)$。 $\Omega$表示问题(SCCP)的可行集。在问题(SCCP)中，要求约束被满足的概率至少为 $1-\alpha$。

为了简便记法，将问题(SCCP)改写成如下形式：

$\underset{x\in X}{\min }f\left(x\right)$

$\text{s}.\text{t}.E\left[1_{\left(0,+\infty \right)}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right]\le \alpha$(P)

其中， $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)=\{\begin{array}{l}1,z\in \left(0,+\infty \right)\\ 0,z\notin \left(0,+\infty \right)\end{array}$。

由于问题(P)通常是非凸和非光滑的 [1] ，解决这类问题一般比较困难，一种有效的方法就是寻找特征函数的近似函数 [2] ，具有代表性的近似函数有：二次近似 [3] ，D.C.近似 [4] ，和光滑近似 [5] 等。本文构造了一个特征函数的光滑D.C.近似函数，并建立了问题 (P)的等价近似问题。

当 $t>0$时，考虑函数：

${\phi }_1\left(z,t\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}\right)$和 ${\phi }_2\left(z,t\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}\right)$，

定义函数：

$\phi \left(z,t\right)={\phi }_1\left(z,t\right)-{\phi }_2\left(z,t\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}\right)-\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}\right).$

从 图1 和 图2 可以看出，当t足够小时， $\phi \left(z,t\right)$是特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$的一个光滑近似。

下述命题刻画了函数 $\phi \left(z,t\right)$的性质。

命题1 对于 $t>0$函数 $\phi \left(z,t\right)$具有以下性质：

$\phi \left(z,t\right)$是关于z的D.C.函数。

$\phi \left(z,t\right)$在定义域内单调递增。

当 $z>0$时， $\phi \left(z,t\right)$在t中是单调递减的，当 $z<0$时， $\phi \left(z,t\right)$在t中是单调递增的。

$\phi \left(z,t\right)$是关于z的无穷阶连续可微的。

证明 (1) 很容易证明 ${\phi }_1\left(z,t\right)$和 ${\phi }_2\left(z,t\right)$是x中的凸函数。

函数 ${\phi }_1\left(z,t\right)$关于z的一阶导为：

$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}$

${\phi }_1\left(z,t\right)$关于z的二阶导为：

$\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}{\phi }_1\left(z,t\right)=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{t^2{\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}^2}\ge 0$

当 $t>0$，分子 ${\text{e}}^{\frac{z}{t}}$是正的且分母 $t^2{\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}^2$也为正，因此 $\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}{\phi }_1\left(z,t\right)$总是非负的， ${\phi }_1\left(z,t\right)$是z中的凸函数。类似的 ${\phi }_2\left(z,t\right)$也是z中的凸函数。显然 $\phi \left(z,t\right)$是关于z的D.C.函数。

(2) 函数 $\phi \left(z,t\right)$关于z的微分函数。

$\frac{\partial }{\partial z}\phi \left(z,t\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}-\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}}{t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}\right)}=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}}{t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}\right)}\ge 0$

由于 ${\text{e}}^{\frac{z}{t}}$是递增的，所以 ${\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}>0$，同时分母 $t\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}\right)$也大于0， $\frac{\partial }{\partial z}\phi \left(z,t\right)$大于0， $\phi \left(z,t\right)$在定义域内单调递增。

(3) 关于t的微分函数 $\phi \left(z,t\right)$，有

$\frac{\partial }{\partial t}\phi \left(z,t\right)=\frac{z\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}-{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)}{t^2\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}\right)}$

由于 ${\text{e}}^{\frac{z}{t}}$单调递减， ${\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}-{\text{e}}^{\frac{z}{t}}$总是小于0，分母 $t^2\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}}\right)\left(1+{\text{e}}^{\frac{z}{t}-1}\right)$恒大于0。当 $z>0$时， $\frac{\partial }{\partial t}\phi \left(z,t\right)<0$， $\phi \left(z,t\right)$在t中是单调递减的，当 $z<0$时， $\frac{\partial }{\partial t}\phi \left(z,t\right)>0$， $\phi \left(z,t\right)$在t中是单调递增的。

(4) 我们知道 ${\text{e}}^{\frac{1}{t}z}$是关于z的无穷阶连续可微的，因此 $\ln \left(z\right)$也是关于z的无穷阶连续可微的，故 ${\phi }_1\left(z,t\right)$是关于z的无穷阶连续可微的。类似的， ${\phi }_2\left(z,t\right)$也是关于z的无穷阶连续可微函数。 $\phi \left(z,t\right)$是关于z的无穷阶连续可微的。

定理1 对于 $t>0$时，对任意 $z\in R$， $\phi \left(z,t\right)\in \left(0,\text{1}\right)$，且当对任意 $z\in R\backslash \left\{0\right\}$， $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$。

证明 对 $\forall z\in R$，

$\phi \left(z,t\right)=\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}\right)-\ln \left(1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}\right)=\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)$

由命题1(2)可知， $\phi \left(z,t\right)$在定义域内单调递增。

当 $z\to +\infty$时，

$\underset{z\to +\infty }{\lim }\phi \left(z,t\right)=\underset{z\to +\infty }{\lim }\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=\underset{z\to +\infty }{\lim }\ln \left(\frac{\frac{1}{t}{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{\frac{1}{t}{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=\underset{z\to +\infty }{\lim }\ln \left(\text{e}\right)=1$

故 $\max \phi \left(z,t\right)<1$。

当 $z\to -\infty$时，

$\underset{z\to +\infty }{\lim }\phi \left(z,t\right)=\underset{z\to -\infty }{\lim }\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=0$

故 $\min \phi \left(z,t\right)>0$。

因此，对任意 $z\in R$， $\phi \left(z,t\right)\in \left(0,\text{1}\right)$。

对 $\forall z\in R\backslash \left\{0\right\}$，当 $z>0$时，

$\underset{t\to 0}{\lim }\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\text{ln}\left(\frac{\frac{1}{t}{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{\frac{1}{t}{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\text{ln}\left(\text{e}\right)=1$

当 $z<0$时，

$\underset{t\to 0}{\lim }\ln \left(\frac{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z}}{1+{\text{e}}^{\frac{1}{t}z-1}}\right)=0$

因此， $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$， $\forall z\in R\backslash \left\{0\right\}$。

令

${\Psi }_1\left(x,t\right)=E\left[{\phi }_1\left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]$， ${\Psi }_2\left(x,t\right)=E\left[{\phi }_2\left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]$

$\phi \left(x,t\right)={\Psi }_1\left(x,t\right)-{\Psi }_2\left(x,t\right)$

$\hat{p}\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]$

考虑如下问题

$\underset{x\in X}{\min }f\left(x\right)$

$\text{s}.\text{t}.\hat{p}\left(x\right)\le \alpha$( $\hat{\text{P}}$)

为了证明问题( $\hat{\text{P}}$)和问题(P)的等价性，给出如下假设。

假设1 集合 $X\subset {ℝ}^d$是凸紧集， $\xi$的支撑集 $\Xi$包含于 ${ℝ}^d$且是闭集， $\forall \xi \in \Xi$， $f\left(x\right)$， $c\left(x,\xi \right)$，关于 $\forall x\in O$都是连续可微且是凸的，其中O是一个有界开集，且 $X\subset O$。

假设2 函数 $c\left(x,\xi \right)$是Carathoédory函数，即：对于每一个 $X\subset {ℝ}^d$， $c\left(x,\cdot \right)$都是可测的，且 $c\left(x,\cdot \right)$对于几乎每一个 $\xi \in \Xi$都是连续的。

假设3 $\forall \bar{x}\in X$，集合 $\left\{\xi \in \Xi :c\left(x,\xi \right)=0\right\}$的概率测度为0，即 $c\left(x,\xi \right)\ne 0$。

下述问题描述了问题( $\hat{\text{P}}$)和问题(P)的等价性。

定理2 假设1~假设3均成立，则对任意的t趋于0，问题( $\hat{\text{P}}$)和问题(P)是等价的。

证明 由假设1~假设3和定理1可知，

$z>0$时， $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1$；当 $z<0$时， $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=0$。

令 $z=c\left(x,\xi \right)$，可得

$\begin{array}{c}\underset{t\to 0}{\lim }E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]=\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}P\left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\underset{t\to 0}{\text{lim}}\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}P\left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{1}_{\left(0,+\infty \right)}c\left(x,\xi \right)\text{d}P\left(\xi \right)}\\ =E\left[1_{\left(0,+\infty \right)}c\left(x,\xi \right)\right]\end{array}$

即 $\hat{p}\left(x\right)=E\left[1_{\left(0,+\infty \right)}c\left(x,\xi \right)\right]$。

因此问题( $\hat{\text{P}}$)和问题(P)等价。

辽宁师范大学本科生科研训练项目(项目编号：CX202302014)。