关联规则挖掘 [1] 是数据挖掘领域的一个重要研究方向，它被广泛用于在大规模数据库中寻找共现的项目，例如用于购物篮分析 [2] 、挖掘蛋白质-DNA结合序列模式 [3] 、教育中的学生管理 [4] 、提取和可视化临床事件 [5] 、动物迁移优化 [6] 等等。为了更好地挖掘感兴趣的关联规则，已经提出了许多兴趣度量，例如Support [1] ，Confidence [1] [7] ，Lift [8] ，Conviction [2] ，以及许多其他有趣的度量 [9] [10] 。

当前的关联规则挖掘主要在Support-Confidence框架下进行。然而，仅使用支持度和置信度进行挖掘通常无法满足研究人员的需求。因此，在关联规则挖掘过程中，学者们经常增加使用提升度、确信度等兴趣度量，或者构建新的兴趣度量来挖掘自己感兴趣的规则。但是，几乎所有的兴趣度量都是基于前件的支持度、后件的支持度、前件和后件共现的支持度以及对立事件的支持度来计算的 [11] 。随着这类研究的持续增长，兴趣指标的数量也飞速增加。因此，这些不同的兴趣度量之间是否存在相关性以及是否有必要建立如此多的兴趣度量需要进一步研究。兴趣度量的增加阿使得没有深入研究过兴趣度量的人很难在众多兴趣度中选择合适的一个来挖掘感兴趣的关联规则 [9] [11] 。

事实上，如果能够探索不同兴趣度量之间的关系，特别是在特定条件下一种度量是否可以被另一种度量取代，将对研究人员在关联规则挖掘中起到有效的指导作用，并帮助他们减少挖掘关联规则时需要考虑的兴趣度量，从而降低了难度。因此，本研究的目的是探索兴趣度量之间的关系，为关联规则挖掘领域提供一种更清晰可行的方法，帮助研究人员在众多兴趣度量中选择最合适的度量，使挖掘过程更高效，并使关联规则挖掘广泛应用于不同领域和场景。

在许多兴趣度量中，文献 [12] - [17] 认为支持度、置信度、提升度和确信度是发现关联规则最常用的兴趣度，它们被用于各种问题。同时，这四个兴趣度也被写入R语言和Python软件的关联规则分析包中，供数据分析师在选择一些参数后使用。文献 [12] [18] 提出了标准化的Lift，它能够比较不同的事务集间挖掘到的关联规则的感兴趣程度。除了发现数据中的一般关联之外，提升度和确信度也用于数据分类 [9] [19] [20] 。Azevedo和Jorge [9] 在UCI 17数据集的分类过程中应用了多种兴趣度来选择和确定规则，并对分类结果进行了分析。Wei Song等人 [21] 探讨了支持度、置信度和确信度的理论，并讨论了一种规则与另一种规则之间确信度的关系；王枭翔 [16] 证明了提升度与另一种兴趣度量之间的等价性；Fuguang Bao等人 [17] 对支持、信心、提升和信念进行了一些理论研究，提出了双向支持(Bi-Support)、双向提升度(Bi-Lift)和双向置信度(Bi-Confidence)。

通过研究，我们发现在一定条件下，提升度和确信度在关联规则挖掘中可以替代使用。主要贡献为：1) 在置信值或后项集固定的情况下，发现了确信度和提升度之间的两个函数关系，一个是凸函数，另一个是凹函数，并且在这两个函数中，确信度都随提升度单调增加；并得出结论：在固定置信度或后项集的情况下，通过确信度筛选的关联规则与通过提升度筛选的关联规则是相同的。2) 通过教育数据和开放数据中的关联规则分析严格验证了确信度和提升度的函数关系以及相应的结论。

关联规则分析里经典的算法是Apriori算法，使用一些规则挖掘某些事物发生的是否频繁发生，或者某件事情X的发生是否能够引起另外一件事情Y的频繁发生，这里的X叫前件(Antecedent)、Y叫后件(Consequent)。在分析前件和后件关系的过程中，关联规则的兴趣度量用于衡量一条规则是否准确地显示了数据集中包含的规律，其中，支持度(Support)、置信度(Confidence)、提升度(Lift)和确信度(Conviction)是常见的度量方式 [16] 。

定义1 (项集函数) [22] 一个将标识符集映射到项集的映射 $i:2^{\mathcal{T}}\to 2^{ℐ}$。定义如下：

$i\left(T\right)=\left\{x\in ℐ|\forall t\in T,t所对应的项集包含x\right\}$.

其中，对于一个集合X， $2^X$表示X的幂集； $T\subseteq \mathcal{T}$，且 $i\left(T\right)$是事务标识符集T中所有事务的公共项的集合。

定义2 (标识符集函数) [22] 一个将项集映射到标识符集的映射 $t:2^{ℐ}\to 2^{\mathcal{T}}$。定义如下：

$t\left(X\right)=\left\{t|t\in \mathcal{T},t所对应的项集包含X\right\}$.

定义3 (支持度) [22] 一个项集X的支持度为：

$Support\left(X\right)=\frac{\left|\left\{t|\langle t,i\left(t\right)\rangle \in D\wedge X\subseteq i\left(t\right)\right\}\right|}{\left|D\right|}=\frac{\left|t\left(X\right)\right|}{\left|D\right|}=P\left(X\right)$,

$Support\left(X\to Y\right)=\frac{\left|t\left(XY\right)\right|}{\left|D\right|}=P\left(XY\right)$,

其中， $\left|D\right|$表示D中事务个数。

这个定义中其实发生了X的定义转换， $Support\left(X\right)$与 $P\left(X\right)$中的X其实一个是项集另一个是随机事件。如果 $P\left(X\right)$中的X用 $X^{\prime }$表示，那么定义应该按照以下方式进行书写：

假设随机事件 $X^{\prime }$表示“项集X中的所有元素共同出现”，那么 $Support\left(X\right)=P\left(X^{\prime }\right)$。为了便于书写将 $X^{\prime }$与X全部书写为X。

假设 $X=\left\{a,b,c\right\}$，那么 $Support\left(X\right)=P\left(X\right)=P\left(a出现,b出现,c出现\right)$，也就是X的支持度是包含X中的每个项出现的联合概率 $P\left(abc\right)$。

定义4 (置信度) [22] X发生的前提下，Y发生的概率称为置信度：

$Confidence\left(X\to Y\right)=P\left(Y|X\right)=\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)}=\frac{Support\left(X\to Y\right)}{Support\left(X\right)}.$(1)

定义5 (提升度) [16] X出现的前提下Y的出现的概率与数据库中Y出现的概率的比值，或X和Y共同出现的概率与X和Y分别出现的概率乘积的比值称为提升度：

$Lift\left(X\to Y\right)=\frac{Support\left(X\to Y\right)}{Support\left(X\right)Support\left(Y\right)}=\frac{Confidence\left(X\to Y\right)}{Support\left(Y\right)}=\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)P\left(Y\right)}.$(2)

定义6 (确信度) [2] 数据库中Y不出现的概率与X出现的前提下Y不出现概率的比值称为确信度：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{1-Support\left(Y\right)}{1-Confidence\left(X\to Y\right)}=\frac{P\left(\bar{Y}\right)}{P\left(\bar{Y}|X\right)}=\frac{1-P\left(Y\right)}{1-\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)}}.$(3)

理解1：Lift是一种双向关系，很多文献里关于它的定义都型如定义(5)那样，实际上，还可以写成如下这种形式：

$Lift\left(X\to Y\right)=\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)P\left(Y\right)}=Lift\left(Y\to X\right)$，或者： $Lift\left(X\leftrightarrow Y\right)=\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)P\left(Y\right)}$。

这是因为提升度不但表达了 $X\to Y$，也表达了 $Y\to X$，是X和Y之间双向关系的展现。

理解2：这里的Conviction有人叫它“出错率”或者“错误率” [23] [24] ，我们认为不合适，因为这个指标的取值，不是越小越好(错误率的直观意思是：值越小越好)，后面可以看到，这个Conviction (X → Y)的取值的范围是(0, ∞)，不一定是越小越好。在文献 [2] 里，当Conviction被提出来的时候，作者针对一份人口分析数据，探讨了其取值对应着不同的有趣的规则，其中有23,712条规则的Conviction取值是大于1.25的，并且其中的6732条规则的Conviction取值是∞，而且他们总结出，针对他们分析的那份数据，Conviction取值在[1.01, 5]的规则是最有趣的，最值得被关注。

理解3：Lift实际上，就是看X里Y发生的概率，以及整体里Y发生的概率，Lift就是这两个概率的比，

$Lift\left(X\to Y\right)=\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)P\left(Y\right)}=\frac{P\left(XY\right)/P\left(X\right)}{P\left(Y\right)}$

如果前面概率值大于后面概率值，Lift就大于1，说明X的发生、提升了Y的发生；如果前面概率值小于后面概率值，说明X的发生没有提升Y的发生、或者反方向提升了、实际是降低了Y的发生；如果两个概率值相等，则说明X的发生对Y的发生既没有正方向提升、也没有反方向提升。文献 [25] 里，把

$\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)}$看成一个增量，这个增量就能体现X的出现对Y的出现提升了多少。

理解4：Conviction确信度里“确信”的意思。根据公式(3)，分子1-P(Y)表示Y不在总体里发生的概率，分母1 − P(XY)/P(X)表示Y不在X里发生的概率，如果前者概率值大于后面概率值，说明Y在整体里不发生的情况多于Y在X里不发生的情况，相当于X的出现“确信”了Y的出现；如果前面概率值小于后面概率值，就说明Y在总体里不发生的情况少于Y在X里不发生的情况，相当于X的出现“确信”了Y的不出现，即反向“确信”了Y的出现。

本节针对如何在错综复杂的兴趣度量中选取适用的兴趣度量进行关联规则挖掘这一问题进行深入探讨。在固定后项和固定置信度这两种不同条件的实际情况下，给出了关于提升度和确信度间的关系。

定理1 设后项(Consequent)不变，即 $P\left(Y\right)=c$，c是常数，则确信度随提升度单调增加，且Conviction (Lift)是一个凸函数。

证明：

将 $Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{1-P\left(Y\right)}{1-\frac{P\left(X,Y\right)}{P\left(X\right)}}$的分子分母同时乘以 $P\left(X\right)$，得到：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{P\left(X\right)-P\left(X\right)P\left(Y\right)}{P\left(X\right)-P\left(XY\right)}$.(4)

将Lift的定义公式(2)进行变形，可以得到：

$P\left(XY\right)=Lift\left(X\to Y\right)P\left(X\right)P\left(Y\right)$.(5)

然后将公式(5)代入公式(4)中即可得到：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{P\left(X\right)\left[1-P\left(Y\right)\right]}{P\left(X\right)\left[1-Lift\left(X\to Y\right)P\left(Y\right)\right]}$.(6)

又因为 $P\left(X\right)\ne 0$，因此可以将公式(6)化简称为：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{1-P\left(Y\right)}{1-Lift\left(X\to Y\right)P\left(Y\right)}$.(7)

公式(7)是确信度和提升度的函数表达式。由定理假设 $P\left(Y\right)=c$，并且将确信度和提升度赋予数学符号为： $Conviction\left(X\to Y\right)=g\left(t\right)$， $Lift\left(X\to Y\right)=t$，因此公式(7)可以被表示为： $g\left(t\right)=\frac{1-c}{1-ct}$。

首先确定t的取值范围，根据提升度的取值范围可知 $0\le t\le \min \left\{\frac{1}{P\left(X\right)},\frac{1}{P\left(Y\right)}\right\}$，又因为存在间断点： $t=\frac{1}{P\left(Y\right)}$，所以t的取值范围是： $0\le t\le \frac{1}{P\left(X\right)}<\frac{1}{P\left(Y\right)}$或者 $0\le t<\frac{1}{P\left(Y\right)}$。这两个区间段都处于间断点的左侧，因此在后续求单调性与凹凸性的时候只考虑间断点左侧的区间。

然后通过求取 $g\left(t\right)$的一阶导数和二阶导数，来判断单调性与凹凸性：

$g\left(t\right)$的一阶导数为：

$g^{\prime }\left(t\right)=\left(1-c\right)\left(-\frac{1}{{\left(1-ct\right)}^2}\right)\left(-c\right)$.

因为 $0<c<1$，所以 $\left(1-c\right)>0$， $-\frac{1}{{\left(1-ct\right)}^2}<0$，因此 $g^{\prime }\left(t\right)>0$，即 $g\left(t\right)$为t的单调增函数。

$g\left(t\right)$的二阶导数为：

$g^{″}\left(t\right)=\frac{2c^2\left(1-c\right)}{{\left(1-ct\right)}^3}=\frac{2c^2\left(1-c\right)}{{\left(1-\frac{P\left(XY\right)}{P\left(X\right)}\right)}^3}=\frac{2c^2\left(1-c\right)}{{\left(1-Confidence\left(X\to Y\right)\right)}^3}$.

因为 $c<1$，并且 $Confidence\left(X\to Y\right)<1$，所以 $g^{″}\left(t\right)>0$，即 $g\left(t\right)$是t的凸函数。

综上所述，当后项不变时，确信度是提升度的单调增函数，并且函数Conviction (Lift)是一个凸函数。定理证明完毕。

定理2 设置信度是不变的，即 $Confidence\left(X\to Y\right)=c$，c是常数，则确信度随提升度单调增加，且Conviction (Lift)是一个凹函数。

证明：

将Lift的定义公式(2)进行变形：

$P\left(Y\right)=\frac{P\left(XY\right)}{Lift\left(X\to Y\right)P\left(X\right)}$.(8)

然后将公式(8)代入到确信度定义(3)中，得到：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{1-\frac{P\left(X,Y\right)}{P\left(X\right)Lift\left(X\to Y\right)}}{1-\frac{P\left(X,Y\right)}{P\left(X\right)}}$.(9)

将置信度定义(1)代入到公式(9)中可知：

$Conviction\left(X\to Y\right)=\frac{1-\frac{Confidence\left(X\to Y\right)}{Lift\left(X\to Y\right)}}{1-Confidence\left(X\to Y\right)}$,(10)

整理公式(10)得到确信度和提升度的函数关系式：

$\begin{array}{l}Conviction\left(X\to Y\right)\\ =\frac{1}{1-Confidence\left(X\to Y\right)}-\frac{Confidence\left(X\to Y\right)}{1-Confidence\left(X\to Y\right)}\cdot \frac{1}{Lift\left(X\to Y\right)}\end{array}$(11)

由定理假设 $Confidence\left(X\to Y\right)=c$，并且将确信度和提升度赋予数学符号为： $Conviction\left(X\to Y\right)=h\left(t\right)$， $Lift\left(X\to Y\right)=t$。因此公式(11)可以被表示为： $h\left(t\right)=\frac{1}{1-c}-\frac{c}{1-c}\cdot \frac{1}{t}$。

$h\left(t\right)$的一阶和二阶导数分别为： $h^{\prime }\left(t\right)=\frac{c}{1-c}\frac{1}{t^2}$， $h^{″}\left(t\right)=-\frac{c}{1-c}\frac{2}{t^3}$。由于 $0<c<1$， $t>0$，因此 $h^{\prime }\left(t\right)>0$， $h^{″}\left(t\right)<0$，即 $h\left(t\right)$为t的单调增函数，且是凹函数。

综上所述，当置信度保持不变时，确信度是提升度的单调增函数，并且函数Conviction (Lift)是一个凹函数。定理证明完毕。

通过上面定理1和定理2，得到结论：当Consequent不变或者Confidence不变时，用Lift或者Conviction的值排序筛选出来的规则是相同的。

得到上面的结论，是因为：根据固定的Consequent或者Confidence，一共得到很多条规则，然后把规则根据对应Lift的从小到大排序得到顺序1，也把规则根据对应Conviction从小到大排序到大顺序2，这时候，发现顺序1和顺序2对应的规则完全一致。那么当按照大于或等于某个Lift值取出来规则时，也就是按照对应的Conviction大于或等于另外某个值取出来的规则，所以完全对应。实际上，因为Conviction是Lift的函数，那么当Lift取某个值时，根据函数关系，也能计算出Conviction的一个值，这两个值对应到同一条规则。

本节利用一个私有数据集挖掘关联规则、计算相关兴趣度量取值，验证定理1和定理2。通过实验挖掘到的关联规则计算它们的兴趣度量取值，然后绘制兴趣度量间的折线图验证相关定理。

实验中所使用的私有数据是某大学2016~2018级数学系本科生课程成绩，在后续书写过程中称作“教育数据”。该数据选取了某大学2016~2018三个年级数学大类中“应用统计学”和“信息与计算科学”两个专业共233名学生的所有成绩，该数据的每一行是一个学生的某门课程的一次考试的各种信息，包括：学号、姓名、学制、开课学期、上课院系、班级名称、课程编号、课程名称、总成绩、原始总成绩、成绩标志、课程性质、课程属性、通选课类别、学时、学分、开课单位、考试性质、补重学期，共19项。在本文中主要使用学号、课程名称、总成绩、学分这四列，部分数据如 表1 所示。

考虑到原始数据存在：隐私信息未加密、数据格式不匹配、同一门课程多次考试(挂科)、学生在毕业前退学或转专业、同一门课程多学期连续开课等情况，需要对数据进行成绩预处理和基于处理后数据构建独热编码2种操作。

从 表6 进行筛选，选定某一个Consequent，此处选择“回归分析、应用随机过程”得到多条规则如 表13 所示。

将 表13 按照提升度、前项集降序排列，选取前五条规则结果如 表14 所示。将 表13 按照确信度、前项集降序排列，选取前五条规则结果如 表15 所示。

从 表6 进行筛选，随机选定某一个Confidence，此处选择Confidence = 0.875得到多条规则如 表16 所示。

将 表16 按照提升度、前项集降序排列，选取前五条条规则如 表17 所示。将 表16 按照确信度、前项集降序排列，选取前五条条规则如 表18 所示。

综合 表14 、 表15 和 表17 、 表18 这两组表格进行观察，发现通过两种方法所选择到的规则是相同的，因此结论得到印证。也就是在假设情况的前提条件下，利用确信度或者提升度所筛选到的规则是一致的。

本文关于关联规则分析中两个重要的兴趣度量Lift和Conviction进行了研究，找到了二者的函数关系和单调性变化情况等。最后还从教育数据的关联规则挖掘的过程中，对得到的函数关系定理和结论进行了验证，且实验验证结果与所提出的定理一致。因此，可以认为用Lift (X → Y)或者Conviction (X → Y)找到的关联规则是一模一样的。未来，针对这二种兴趣度量，研究者们只需要选择其中之一进行使用就可以了。此外，如果要研究X和Y的双向关系，选择Conviction的话，可以从Conviction (X → Y)和Conviction (Y → X)两个方面研究，和Lift是一样的。

^*共第一作者。