各向异性材料上的平面弹性力学问题是有应用价值的重要课题，这种材料已被广泛应用于在国防、航空、航天、汽车、船舶等领域。人们对各向异性的材料通常采取“扬长避短”的方式，即在正确的方向使用次方向的特性，使其发挥最佳的性能。然而在实际应用中，介质中的裂纹会对工程造成不同程度的影响，因而研究含裂纹的各向异性材料问题十分有必要。如文献 [1] [2] 在以往的研究中，通常应用平面弹性复变方法，把解析函数边值问题转化为奇异积分方程进行求解，如文献 [3] 。为了统一表达式，本文首次引进混合解析函数，得到各向异性弹性平面上复应力函数的混合解析函数表达式，并将这种方法成功应用到各向异性平面上的任意斜裂纹问题中。

文献 [4] 定义并研究了混合解析函数，得到了相应的Cauchy公式以及Plemelj公式。

在此基础上，文献 [5] 讨论了各向异性弹性平面上复应力函数的混合解析函数表示，即满足下列协调方程的应力函数U：

$a_{22}\frac{{\partial }^{4}U}{\partial x^4}-2a_{26}\frac{{\partial }^{4}U}{\partial x^3\partial y}+2\left(a_{12}+a_{66}\right)\frac{{\partial }^{4}U}{\partial x^2\partial y^2}-2a_{16}\frac{{\partial }^{4}U}{\partial x\partial y^3}+a_{11}\frac{{\partial }^{4}U}{\partial y^4}=0$，(1.1)

可以表示为：

$U=2\mathrm{Re}\left\{F_1\left(z\right)+F_2\left(z\right)\right\}$.(1.2)

其中：

$F_k\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_k\left(\zeta \right)}{\left({\eta }_k\zeta -\overline{{\lambda }_k\zeta }\right)-\left({\eta }_{k}z-\overline{{\lambda }_{k}z}\right)}}\left({\eta }_k\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_k\text{d}\zeta }\right)$，(1.3)

和

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left({\lambda }_k+{\eta }_k\right)=\frac{{\mu }_k}{{\mu }_k-\overline{{\mu }_k}}\\ \frac{1}{2}\left({\eta }_k-{\lambda }_k\right)i=-\frac{1}{{\mu }_k-\overline{{\mu }_k}}\end{array},k=1,2$.

这里μ_k材料力学常数而ω是待定函数。

令

$\Phi \left(z\right)=\frac{\text{d}{F}_1\left(z\right)}{\text{d}z}$， $\Psi \left(z\right)=\frac{\text{d}{F}_2\left(z\right)}{\text{d}z}$(1.4)

我们有各向异性弹性平面上复应力函数的表达式以及复应力分量与复应力函数的关系。

$\begin{array}{l}{\sigma }_x=2\mathrm{Re}\left[{\mu }_1^2{\Phi }^{\prime }\left(z\right)+{\mu }_2^2{\Psi }^{\prime }\left(z\right)\right]\\ {\sigma }_y=2\mathrm{Re}\left[{\Phi }^{\prime }\left(z\right)+{\Psi }^{\prime }\left(z\right)\right]\\ {\tau }_{xy}=-2\mathrm{Re}\left[{\mu }_1{\Phi }^{\prime }\left(z\right)+{\mu }_2{\Psi }^{\prime }\left(z\right)\right]\end{array}\}$. (1.5)

设在无限各向异性材料中含有许多条直线裂纹 $L_j$， $j=1,2,\cdots ,n$，它们与x轴的夹角分别为 ${\theta }_j$， $j=1,2,\cdots ,n$，且互不相交，为方便记 $L={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{L}_j}$，取自 $a_j$到 $b_j$为正向，见 图1 。

设在裂纹L两侧的外应力为 $X_n^{\pm }+i{Y}_n^{\pm }$，外应力主矢量为0，在 $\infty$处无外应力和转动.在边界L给定外应力 $X_n$， $Y_n$的情况下，边界条件为：

$\begin{array}{l}2\mathrm{Re}\left[\Phi \left(z\right)+\Psi \left(z\right)\right]=-{\displaystyle {\int }_0^s{Y}_n\text{d}s}+c_1\\ 2\mathrm{Re}\left[{\mu }_1\Phi \left(z\right)+{\mu }_2\Psi \left(z\right)\right]={\displaystyle {\int }_0^s{X}_n\text{d}s}+c_2\end{array}\}$(2.1)

这里是c₁，c₂常数，在一个边线上它们可以任意指定。

由以上条件，根据平面弹性力学中的弹性复变方法，可将求解原弹性平衡问题转化为求解复应力函数满足边界条件的混合解析函数边值问题：

$a_0{\Phi }^{\pm }\left(t\right)+b_0\overline{{\Phi }^{\pm }\left(t\right)}+{\Psi }^{\pm }\left(t\right)=F^{\pm }\left(t\right)+c$， $t\in L$，(2.2)

其中

$a_0=\frac{{\mu }_1-{\bar{\mu }}_2}{{\mu }_2-{\bar{\mu }}_2}$， $b_0=\frac{{\bar{\mu }}_1-{\bar{\mu }}_2}{{\mu }_2-{\bar{\mu }}_2}$

$F^{\pm }\left(t\right)=\frac{\left(1-i\overline{{\mu }_2}\right)f^{\pm }\left(t\right)-\left(1+i\overline{{\mu }_2}\right)\overline{f^{\pm }\left(t\right)}}{2i\left({\mu }_2-\overline{{\mu }_2}\right)}$

$f^{\pm }\left(t\right)=\pm i{\displaystyle {\int }_L\left[X_n^{\pm }\left(t\right)+i{Y}_n^{\pm }\left(t\right)\right]\text{d}s}$， $t\in L$

$c=\frac{c_2-{\mu }_2{c}_1}{{\mu }_2-\overline{{\mu }_2}}$.

由(2.2)式可得：

$a_0\left[{\Phi }^{+}\left(t\right)-{\Phi }^{-}\left(t\right)\right]+b_0\left[\overline{{\Phi }^{+}\left(t\right)}-\overline{{\Phi }^{-}\left(t\right)}\right]+\left[{\Psi }^{+}\left(t\right)-{\Psi }^{-}\left(t\right)\right]=F^{+}\left(t\right)-F^{-}\left(t\right)$(2.3)

$a_0\left[{\Phi }^{+}\left(t\right)+{\Phi }^{-}\left(t\right)\right]+b_0\left[\overline{{\Phi }^{+}\left(t\right)}+\overline{{\Phi }^{-}\left(t\right)}\right]+\left[{\Psi }^{+}\left(t\right)+{\Psi }^{-}\left(t\right)\right]=F^{+}\left(t\right)+F^{-}\left(t\right)$(2.4)

考虑Plemelj公式，将(1.18)、(1.20)代入(2.3)式得：

$a_0{\omega }_1\left(t\right)+b_0\overline{{\omega }_1\left(t\right)}+{\omega }_2\left(t\right)=F^{+}\left(t\right)-F^{-}\left(t\right)$，(2.5)

即：

${\omega }_2\left(t\right)=-\left[F^{-}\left(t\right)-F^{+}\left(t\right)+a_0{\omega }_1\left(t\right)+b_0\left(t\right)\overline{{\omega }_1\left(t\right)}\right]$(2.6)

将(2.6)式代入(1.20)式中，得到：

$\Psi \left(z\right)=-\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{a_0{\omega }_1\left(\zeta \right)+b_0\overline{{\omega }_1\left(\zeta \right)}+F^{-}\left(\zeta \right)-F^{+}\left(\zeta \right)}{\left({\eta }_2\zeta -\overline{{\lambda }_2\zeta }\right)-\left({\eta }_{2}z-\overline{{\lambda }_{2}z}\right)}}\left({\eta }_2\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_2\text{d}\zeta }\right)$， $z\notin L$(2.7)

再将(1.18)、(2.7)代入(2.4)式中得到奇异积分方程：

$\begin{array}{l}\frac{a_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_1\left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}t-\overline{{\lambda }_{1}t}\right)}}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)-\frac{a_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_1\left(\zeta \right)}{\left({\eta }_2\zeta -\overline{{\lambda }_2\zeta }\right)-\left({\eta }_{2}t-\overline{{\lambda }_{2}t}\right)}\left({\eta }_2\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_2\text{d}\zeta }\right)}\\ -\frac{b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\overline{{\omega }_1\left(\zeta \right)}}{\left(\overline{{\eta }_1\zeta }-{\lambda }_1\zeta \right)-\left(\overline{{\eta }_{1}t}-{\lambda }_{1}t\right)}\left(\overline{{\eta }_1\text{d}\zeta }-{\lambda }_1\text{d}\zeta \right)}-\frac{b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\overline{{\omega }_1\left(\zeta \right)}}{\left({\eta }_2\zeta -\overline{{\lambda }_2\zeta }\right)-\left({\eta }_{2}t-\overline{{\lambda }_{2}t}\right)}\left({\eta }_2\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_2\text{d}\zeta }\right)}\\ -\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{F^{-}\left(\zeta \right)-F^{+}\left(\zeta \right)}{\left({\eta }_2\zeta -\overline{{\lambda }_2\zeta }\right)-\left({\eta }_{2}t-\overline{{\lambda }_{2}t}\right)}\left({\eta }_2\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_2\text{d}\zeta }\right)}=F^{-}\left(\zeta \right)+F^{+}\left(\zeta \right)\end{array}$(2.8)

同时还要满足位移单值性条件：

${\displaystyle {\int }_L{\omega }_1\left(\zeta \right)\text{d}\zeta }=0$.(2.9)

不失一般性，我们设直裂纹 $L_{ab}$与x轴方向夹角为 $\theta$，长度为2l。其裂纹中点就在y轴上(若不在，可利用坐标将其移到y轴上)。引入一个新的实变量u，在 $L_{ab}$上的参数 $\zeta$为：

$\zeta =l\cos \theta \cdot u+i\left(b+ul\sin \theta \right)$， $\left|u\right|=1$(2.10)

考虑到仿射变换：

$t=l\cos \theta \cdot u_0+i\left(b+u_{0}l\sin \theta \right)$

$\zeta =l\cos \theta \cdot u+i\left(b+ul\sin \theta \right)$

$\bar{\zeta }=l\cos \theta \cdot u-i\left(b+ul\sin \theta \right)$

$\text{d}\zeta =\left(l\cos \theta +il\sin \theta \right)\text{d}u$

$\overline{\text{d}\zeta }=\left(l\cos \theta -il\sin \theta \right)\text{d}u$

将上述式子代入 ${\omega }_1\left(\zeta \right)$、 $\overline{{\omega }_1\left(\zeta \right)}$、 $F^{\pm }\left(\zeta \right)$、 $F^{\pm }\left(t\right)$中，它们变为 ${\omega }_1\left(u\right)$、 $\overline{{\omega }_1\left(u\right)}$、 $F^{\pm }\left(u\right)$、 $F^{\pm }\left(u_0\right)$。(2.8)式变为：

$\begin{array}{l}\frac{a_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{{\omega }_1\left(u\right)\left[\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)l\cos \theta +\left({\eta }_1+{\lambda }_1\right)il\sin \theta \right]\text{d}u}{\left[\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)l\cos \theta +\left({\eta }_1+{\lambda }_1\right)il\sin \theta \right]\left(u-u_0\right)}}\\ -\frac{a_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{{\omega }_1\left(u\right)\left[\left({\eta }_2-{\lambda }_2\right)l\cos \theta +\left({\eta }_2+{\lambda }_2\right)il\sin \theta \right]\text{d}u}{\left[\left({\eta }_2-{\lambda }_2\right)l\cos \theta +\left({\eta }_2+{\lambda }_2\right)il\sin \theta \right]\left(u-u_0\right)}}\\ -\frac{b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\overline{{\omega }_1\left(u\right)}\left[\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)l\cos \theta +\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)il\sin \theta \right]\text{d}u}{\left[\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)l\cos \theta +\left({\eta }_1-{\lambda }_1\right)il\sin \theta \right]\left(u-u_0\right)}}\\ -\frac{b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\overline{{\omega }_1\left(u\right)}\left[\left({\eta }_2-{\lambda }_2\right)l\cos \theta +\left({\eta }_2+{\lambda }_2\right)il\sin \theta \right]\text{d}u}{\left[\left({\eta }_2-{\lambda }_2\right)l\cos \theta +\left({\eta }_2+{\lambda }_2\right)il\sin \theta \right]\left(u-u_0\right)}}=g\left(u_0\right)\end{array}$

这里

$g\left(u_0\right)=\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{F^{-}\left(u\right)-F^{+}\left(u\right)}{u-u_0}\text{d}u}+F^{+}\left(u_0\right)+F^{-}\left(u_0\right)$.(2.11)

整理之后得到：

$-\frac{2b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\overline{{\omega }_1\left(u\right)}}{u-u_0}\text{d}u}=g\left(u_0\right)$(2.12)

${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\omega }_1}\left(u\right)\text{d}u=0$(2.13)

对(2.12)和(2.13)两式进行求导，并记 $\Omega \left(u\right)={{\omega }^{\prime }}_1\left(u\right)$，于是有：

$-\frac{2b_0}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\overline{\Omega \left(u\right)}}{u-u_0}\text{d}u}=\frac{2\left(X_n+\overline{{\mu }_2}{Y}_n\right)}{{\mu }_2-\overline{{\mu }_2}}\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\text{d}u}{u-u_0}}$(2.14)

${\displaystyle {\int }_{-1}^1\Omega \left(u\right)\text{d}u}=0$(2.15)

我们便可得到 $\overline{\Omega \left(z\right)}$在 $L={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{L}_j}$上的正则型的奇异积分方程：

$K\Omega =\frac{2\overline{b_0}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\Omega \left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}t-\overline{{\lambda }_{1}t}\right)}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}=\frac{\overline{X_n}+{\mu }_2\overline{Y_n}}{\overline{{\mu }_2}-{\mu }_2}h\left(t\right)$(2.16)

这里 $h\left(t\right)=\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{1}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}t-\overline{{\lambda }_{1}t}\right)}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}$， $t\in L$。

它以 $a_j$、 $b_j$为节点(积分端点)，要求在 $h_0$类中求解，也就是，允许 $\Omega \left(z\right)$在 $a_j$、 $b_j$处有不到一阶的奇异性。

由文献 [6] ，令

${\Phi }_1\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\Omega \left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}$(2.17)

我们可将(2.16)转化为在 $h_0$类中关于 ${\Phi }_1\left(z\right)$的非齐次Riemann边值问题，

${\Phi }_1^{+}\left(t\right)=-{\Phi }_1^{-}\left(t\right)+g\left(t\right)$(2.18)

$g\left(t\right)=\frac{\overline{X_n}+{\mu }_2\overline{Y_n}}{2\overline{b_0}\left(\overline{{\mu }_2}-{\mu }_2\right)}h\left(t\right)$(2.19)

其指标 $\kappa =n$，并且端点a、b均为普通端点，从而得到奇异积分方程(2.16)的解：

${\Phi }_1\left(z\right)=\frac{X\left(z\right)}{2\pi i}\frac{\overline{X_n}+{\mu }_2\overline{Y_n}}{2\overline{b_0}\left(\overline{{\mu }_2}-{\mu }_2\right)}{\displaystyle {\int }_L\frac{h\left(\zeta \right)}{X^{+}\left(\zeta \right)\left[\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)\right]}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}$， $z\notin L$(2.20)

其中，

$X\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{\left(z-b_j\right)}^{-1}}\sqrt{\frac{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}\left(b_j-z\right)}}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}\left(a_j-z\right)}}}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}\sqrt{\frac{1}{\left(z-b_j\right)\left(z-a_j\right)}}}$(2.21)

进而我们可以得到 $\Omega \left(z\right)$、 ${\omega }_1\left(z\right)$，最终求出复应力函数 $\Phi \left(z\right)$和 $\Psi \left(z\right)$。

设 $\Phi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)}}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)$，则：

${\Phi }^{\prime }\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\Omega \left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)}}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)$

利用仿射变换(2.10)，

由文献 [3] ，应力强度因子：

$\begin{array}{c}K=K_I-i{K}_{II}=\underset{z\to l}{\lim }2\sqrt{2\pi \left(z-l\right)}{\Phi }^{\prime }\left(z\right)\\ =\underset{z\to l}{\lim }2\sqrt{2\pi \left(z-l\right)}\frac{X\left(z\right)}{2\pi i}\frac{\overline{X_n}+{\mu }_2\overline{Y_n}}{2\overline{b_0}\left(\overline{{\mu }_2}-{\mu }_2\right)}{\displaystyle {\int }_L\frac{h\left(\zeta \right)}{X^{+}\left(\zeta \right)\left[\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)\right]}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}\end{array}$

不失一般性，我们令 $f=1$，则 $X_n=\cos \theta$， $Y_n=\sin \theta$，取各向异性板的各种参数为：

$E_1=1.4\times {10}^5$， $E_2=\frac{1.4}{12}\times {10}^5$， $v_1=0.46$， $v_2=\frac{0.46}{12}$，

$G=0.12\times {10}^5$， $\frac{E_1}{E_2}=12$， ${\mu }_1=3.08i$， ${\mu }_2=1.12i$

当 $\theta =0$，这时我们考虑的是平行于x轴的单裂纹，假设作用在裂纹上下边缘的力为零，作用在无穷远处的应力为 $\Gamma$，旋转角为 ${\Gamma }^{\prime }$。

带到边界条件(2.2)中得：

$a_0{\Phi }_0^{\pm }\left(t\right)+b_0\overline{{\Phi }_0^{\pm }\left(t\right)}+{\Psi }_0^{\pm }\left(t\right)=F_0^{\pm }\left(t\right)$

$F_0^{\pm }\left(t\right)=-\left(a_0\Gamma +b_0\Gamma +{\Gamma }^{\prime }\right)t$， $t\in L$

这样，我们可以得到奇异积分方程：

$\frac{2\overline{b_0}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\Omega \left(\zeta \right)}{\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}t-\overline{{\lambda }_{1}t}\right)}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}=-2\left(\overline{a_0\Gamma }+\overline{b_0}\Gamma +\overline{{\Gamma }^{\prime }}\right)$， $t\in \left[-l,l\right]$

经过求解，我们可以得到：

${\Phi }_1\left(z\right)=\frac{X\left(z\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{-l}^l\frac{-\left(\overline{a_0\Gamma }+\overline{b_0}\Gamma +\overline{{\Gamma }^{\prime }}\right)}{\overline{b_0}{X}^{+}\left(\zeta \right)\left[\left({\eta }_1\zeta -\overline{{\lambda }_1\zeta }\right)-\left({\eta }_{1}z-\overline{{\lambda }_{1}z}\right)\right]}\left({\eta }_1\text{d}\zeta -\overline{{\lambda }_1\text{d}\zeta }\right)}$， $z\notin \left[-l,l\right]$

其中 $X\left(z\right)=\sqrt{\frac{1}{\left(z-l\right)\left(z+l\right)}}$。

这时，应力强度因子为：

不失一般性，我们取 $\Gamma =1$， ${\Gamma }^{\prime }=0$，可以得到精确解时的应力强度因子随裂纹长度变化的曲线(如 图2 )。