钙级联通路结构如 图1 分成四个部分，一是平行纤维刺激诱导产生IP₃，IP₃打开内质网的IP₃R介导的门控通道；二是通过攀缘纤维的激活，引发浦肯野细胞膜的去极化反应，Ca²⁺流入浦肯野细胞的突触棘部；三是Ca₄CaM参与CaMKII活跃化的化学反应，使得α-氨基-3-羟基-5-甲基-4-异恶唑丙酸受体(α-amino-3-hydroxy-5-methyl-4-isoxazole-propionicacid receptor, AMPAR)磷酸化(如梯形区域所示)；四是Ca₄CaM参与蛋白磷酸酶2B (PP2B)的转化，促进AMPAR的去磷酸化(如椭圆区域所示)。决定磷酸化还是去磷酸化的关键在于作为钙库的内质网有无通过IP₃R门控通道释放大量的钙，把打开IP₃R门控通道比作化学反应，那么IP₃是催化剂，减少“化学反应”所需的“活化能”，即浦肯野细胞树突中的Ca²⁺。

对于长时程抑制，PF刺激的去向分成mGluR通路和AMPAR通路。在代谢型谷氨酸受体(mGluR)通路中，PF末端释放谷氨酸(Glu)刺激mGluR，诱导质膜内肌醇磷脂(磷酸肌醇)水解产生IP₃，IP₃扩散到细胞质基质中；而在AMAPR通路中，平行纤维的刺激触发AMPAR激活，导致去极化并开启电压门控Ca通道(VGCC)通道，Ca²⁺流入胞质溶胶。PF刺激后紧接着CF刺激产生去极化，打开VGCC通道Ca²⁺内流进入浦肯野细胞树突棘。在IP₃的帮助下Ca²⁺的量已经达到打开IP₃受体钙门控通道的阈值，大量的Ca²⁺被释放出来，与CaM结合成Ca₄CaM后，促进CaMKII转为激活状态导致AMPAR磷酸化。CaMKII有四种状态，依次是抑制、绑定、磷酸化和自激活。尽管这四种状态均有可能与肌动蛋白相互作用，但只有绑定、磷酸化和自激活三种状态可以促进AMPAR的磷酸化反应，如虚线框所示 [10] 。图中褐色箭头代表在CaMKII的状态切换中，Ca₄CaM作为反应物，绿色箭头代表Ca₄CaM作为生成物。

对于长时程增强，PF刺激的去向相同，但由于缺乏后续的CF刺激，进入浦肯野细胞树突棘的Ca²⁺没有达到IP₃R通道的打开阈值，这些少量的钙参与Ca₄CaM介导的PP2B的激活，促进AMAPR去磷酸化。

参考Pinto [10] 的动力学模型，CaMKII存在以下质量守恒关系，这里使用Pinto的简化表达以及符号，CaMKII用W表示，[ ]代表括号内物质的浓度，相关参数参照 表1 ：

$\left[{\text{W}}_{\text{i}}]=[{\text{W}}_{\text{tot}}]-[{\text{W}}_{\text{b}}]-[{\text{W}}_{\text{p}}]-[{\text{W}}_{\text{a}}]-[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}]-[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}]-[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}]-[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]$(1)

其中W_tot代表CaMKII的总浓度。CaMKII_b和CaMKII_bAc分别磷酸化成CaMKII_p和CaMKII_pAc的浓度变化率计算如下：

${\text{V}}_{\text{a}}=\frac{{\text{K}}_{\text{a}}{\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\right)}^2+\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\right)\left({\text{c}}_{\text{p}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\right)+\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\right)\left({\text{c}}_{\text{a}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\right)}{{\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]}^2}$(2)

其中c_b、c_p和c_a是与每个活动状态的激酶活性成比例的加权因子。K_a是经验立方函数，用来模拟相邻的自磷酸化，K_a的计算如下：

${\text{K}}_{\text{a}}={\text{<msup> K <mo> ′ </mo> </msup>}}_{\text{a}}\left({\text{aT}}_{\text{a}}+{\text{bT}}_{\text{a}}^2+{\text{cT}}_{\text{a}}^3\right)$(3)

其中CaMKII自磷酸化的现象速率为 ${\text{<msup> K <mo> ′ </mo> </msup>}}_{\text{a}}$, a, b和c为调整参数，T_a为活跃CaMKII的总比例：

${\text{T}}_{\text{a}}=\frac{\left[{\text{W}}_{\text{b}}]+[{\text{W}}_{\text{p}}]+[{\text{W}}_{\text{a}}\right]}{\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]}$(4)

W_b、W_p和W_a的浓度变化率计算如下：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]}{\text{dt}}=-{\text{V}}_{\text{a}}\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]+{\text{k}}_{\text{ib}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{bi}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\cdots \\ +{\text{k}}_{\text{bacb}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{bbac}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\left[\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{fphos}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]\cdots \\ +\left({\text{k}}_{\text{bphos}}+{\text{k}}_{\text{actphos}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{AMPAR}\right]\end{array}$(5)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]}{\text{dt}}=-{\text{V}}_{\text{a}}\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]+{\text{k}}_{\text{ap}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{pa}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\cdots \\ +{\text{k}}_{\text{pacp}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{ppac}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{fphos}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]\cdots \\ +\left({\text{k}}_{\text{kbphos}}+{\text{k}}_{\text{kactphos}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{AMPAR}\right]\end{array}$(6)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]}{\text{dt}}=-{\text{k}}_{\text{ap}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{pa}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]+{\text{k}}_{\text{aaca}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{\text{aaac}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{fphos}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]\cdots \\ +\left({\text{k}}_{\text{kbphos}}+{\text{k}}_{\text{kactphos}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{AMPAR}\right]\cdots -{\text{k}}_{\text{dephos}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\end{array}$(7)

其中[W_bAMPAR]、[W_pAMPAR]和[W_aAMPAR]分别是与AMPAR结合的W_b、Wp和Wa的浓度。此外CaMKII亚基可以通过相邻的活性Ac绑定亚基磷酸化生成W_bAc、W_pAc和W_aAc。

与Ac结合的CaMKII亚基的自磷酸化率V_ac是如下：

${\text{V}}_{\text{ac}}=\frac{{\text{K}}_{\text{ac}}{\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\right)}^2+\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\right)\left({\text{c}}_{\text{p}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]\right)+\left({\text{c}}_{\text{b}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\right)\left({\text{c}}_{\text{a}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]\right)}{{\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]}^2}$(8)

${\text{K}}_{\text{ac}}={\text{<msup> K <mo> ′ </mo> </msup>}}_{\text{a}}\left({\text{aT}}_{\text{ac}}+{\text{bT}}_{\text{ac}}^2+{\text{cT}}_{\text{ac}}^3\right)$(9)

${\text{T}}_{\text{ac}}=\frac{\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}]+[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}]+[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]}{\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]}$(10)

W_iAc、W_bAc、W_pAc和W_aAc的计算如下：

$\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}\right]}{\text{dt}}=-{\text{k}}_{\text{iaci}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}\right]+{\text{k}}_{\text{iiac}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\right]\left[\text{Ac}\right]+{\text{k}}_{\text{baciac}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\mathrm{...}-{\text{k}}_{\text{iacbac}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]$(11)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]}{\text{dt}}=-{\text{V}}_{\text{ac}}\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]+{\text{k}}_{\text{iacbac}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{bbac}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\left[\text{Ac}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{\text{baciac}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{bacb}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\end{array}$(12)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]}{\text{dt}}=-{\text{V}}_{\text{ac}}\left[{\text{W}}_{\text{tot}}\right]+{\text{k}}_{\text{aacpa}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{ppac}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{Ac}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{\text{pacaac}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{pacp}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\right]\end{array}$(13)

$\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{\text{aaca}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]+{\text{k}}_{\text{aaac}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\left[\text{Ac}\right]-{\text{k}}_{\text{pacaac}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}]-[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]$(14)

Ca₄CaM除了能够活化CaMKII之外，还具有与PP2B的非活性形式(PP2B_i)相结合的能力。一旦结合，原本不活跃的磷酸酶随即被激活并转化为其活性形式PP2B_ac。PP2B_ac对于AMPA受体的去磷酸化起介导作用。PP2B_i和PP2B_ac浓度的时间演化为

$\frac{\text{d}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{i}}\right]}{\text{dt}}=-{\text{k}}_{\text{ppia}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{i}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{ppai}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]$(15)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{\text{ppia}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{i}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{ppai}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]-{\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{dephos}}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]\left[\text{AMPARP}\right]\cdots \\ +\left({\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{dephos}}}+{\text{k}}_{{\text{act}}_{\text{dephos}}}\right)\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\text{AMPARP}\right]\end{array}$(16)

其中[AMPARP]表示与磷酸化AMPA受体(AMPARP)结合的PP2Bac的浓度。AMPA受体(AMPAR)的计算如下：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[\text{AMPAR}\right]}{\text{dt}}=-{\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]+{\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{AMPAR}\right]-{\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]\cdots \\ +{\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{AMPAR}\right]-{\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]+{\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{AMPAR}\right]\cdots \\ +{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{dephos}}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\text{AMPARP}\right]\end{array}$(17)

其中W_bAMPARP、W_bAMPARP、W_bAMPARP和PP2B_acAMPARP的浓度变化率计算如下：

$\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{AMPAR}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]-\left({\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{AMPAR}\right]$(18)

$\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{AMPAR}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]-\left({\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{AMPAR}\right]$(19)

$\frac{\text{d}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{AMPAR}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\left[\text{AMPAR}\right]-\left({\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{phos}}}+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\right)\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{AMPAR}\right]$(20)

$\frac{\text{d}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\text{AMPARP}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{dephos}}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]\left[\text{AMPARP}\right]-\left({\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{dephos}}}+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{dephos}}}\right)\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\text{AMPARP}\right]$(21)

AMPARP的演化计算如下：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[\text{AMPARP}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{AMPARP}\right]+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\text{AMPARP}\right]+{\text{k}}_{{\text{cat}}_{\text{phos}}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\text{AMPARP}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{{\text{f}}_{\text{dephos}}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]\left[\text{AMPARP}\right]+{\text{k}}_{{\text{b}}_{\text{dephos}}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\text{AMPARP}\right]\end{array}$(22)

长时程抑制和长时程增强诱导的协议涉及钙信号刺激，钙的浓度变化如下：

$\frac{\text{d}\left[\text{Ca}\right]}{\text{dt}}=-4{\text{k}}_{\text{on}}{\left[\text{Ca}\right]}^4\left[\text{CaM}\right]+4{\text{k}}_{\text{off}}\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+\text{φ}\left(\text{t}\right)-\text{κ}\left(\left[\text{Ca}\right]-\left[{\text{Ca}}_{\min }\right]\right)$(23)

$\varphi \left(\text{t}\right)-\text{κ}\left(\left[\text{Ca}\right]-\left[{\text{Ca}}_{\min }\right]\right)$描述了钙动力学模型的动态，其中 $\varphi \left(\text{t}\right)$表示每个最小时间(ms)的钙浓度输入，其值来自输入表， $\text{κ}$反映钙扩散、泵送、交换的转移率的术语，[Ca_min]是基底钙浓度。CaM的时间演化为：

$\frac{\text{d}\left[\text{CaM}\right]}{\text{dt}}=-{\text{k}}_{\text{on}}{\left[\text{Ca}\right]}^4\left[\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{off}}\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]$(24)

四个钙离子与CaM的结合生成Ca₄CaM，它的作用是激活PP2B、W_b、W_p、W_bAc和W_pAc。表示Ca₄CaM浓度演化的方程为

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\left[\text{Ca}4\text{CaM}\right]}{\text{dt}}={\text{k}}_{\text{on}}{\left[\text{Ca}\right]}^4\left[\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{off}}\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{ppai}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{ac}}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{\text{ib}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{ppia}}\left[\text{PP}2{\text{B}}_{\text{i}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{bi}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\right]+{\text{k}}_{\text{pa}}\left[{\text{W}}_{\text{p}}\right]\cdots \\ -{\text{k}}_{\text{ap}}\left[{\text{W}}_{\text{a}}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]-{\text{k}}_{\text{iacbac}}\left[{\text{W}}_{\text{i}}\text{Ac}\right]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]+{\text{k}}_{\text{baciac}}\left[{\text{W}}_{\text{b}}\text{Ac}\right]\cdots \\ +{\text{k}}_{\text{pacaac}}[{\text{W}}_{\text{p}}\text{Ac}\left]-{\text{k}}_{\text{aacpac}}\right[[{\text{W}}_{\text{a}}\text{Ac}]\left[{\text{Ca}}_4\text{CaM}\right]\end{array}$(25)

训练后每个PF-PC突触权重的计算如下：

${\text{w}}_{\text{n}}\left(\text{Per}\right)={\text{w}}_0\left(\text{Per}\right)+{\text{w}}_0\left(\text{Per}\right)\text{*}\left(\left[{\text{AMPAR}}_{\text{n}}]-[{\text{AMPAR}}_0\right]\right)$(26)

其中w_n(Per)表示第Per个周期下第n个突触的权重，[AMAPR_n]表示第n个周期结束时AMPAR的浓度。

续表

续表

钙级联动力学系统的求解涉及到常微分方程组(Ordinary Differential Equation, ODE)的计算，对于无法求出解析解的情况，通常人们使用欧拉法或龙格–库塔法求出数值解。ODE的结构如下：

$\text{<msup> y <mo> ′ </mo> </msup>}\left(\text{t}\right)=\text{f}\left(\text{y}\left(\text{t}\right),\text{t}\right)$(27)

欧拉法的算式如下：

$\text{y}\left(\text{t}+\text{h}\right)=\text{y}\left(\text{t}\right)+\text{h <msup> y <mo> ′ </mo> </msup>}\left(\text{t}\right)$(28)

其中h是步长，步长越短求解越精确，但同时有耗时的问题。有研究指出 [11] ，ODE的欧拉解法实际上是循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)的一个特例。在RNN中对于一个向量序列的输入 $\left({\text{x}}_1,{\text{x}}_2,{\text{x}}_3,\cdots ,{\text{x}}_{\text{t}}\right)$，输出时另一个序列 $({\text{y}}_1,{\text{y}}_2,{\text{y}}_3,\cdots ,{\text{y}}_{\text{t}})$，满足以下递归关系：

${\text{y}}_{\text{t}}=\text{f}\left({\text{y}}_{\text{t}-1},{\text{x}}_{\text{t}},\text{t}\right)$(29)

式(28)中的h是离散变量，式(4)~(29)中的t是连续变量。在式(4)~(28)中以h为时间单位，记 $t=nh$，n是整数，那么式(4)~(28)变成：

$\text{y}\left(\left(\text{n}+1\right)\text{h}\right)=\text{y}\left(\text{nh}\right)+\text{hf}\left(\text{y}\left(\text{nh}\right),\text{nh}\right)$(30)

此时(30)满足(29)的递归关系。实际上前向传播就是解ODE(RNN的预测过程)，反向传播是推断ODE的参数(RNN的训练过程)。

以视动反应 (optokinetic eye movement response, OKR)实验作为例子，用该模型进行仿真，观察视动反应的运动学习记忆形成过程。刺激信号如 图2 所示，一次训练周期有2000 ms，刺激信号和误差信号的脉冲数量分布符合正弦信号的频率，分别是30 hz和3 hz，最后两者均在2000 ms时结束，这样的流程对应一次训练，共训练200周期。

为了方便观察AMPAR随训练次数和钙尖峰的变化，此处以延迟眨眼反射范式为例说明，周期仍为2000 ms，输入和误差信号采用固定频率。输入信号从200 ms开始，1200 ms结束，误差信号从450 ms开始，持续30 ms。用范围在0到30 uM内的多个钙尖峰分别计算200周期后AMPAR的含量，通过插值得出不同训练次数和不同钙尖峰AMPAR的变化。

如 图3 所示，上部分图不同曲线代表了不同训练次数下AMPAR浓度随钙尖峰的变化，下部分图是不同钙尖峰下AMPAR浓度随训练次数的变化。上部分图中钙尖峰0到2 uM对AMAPR浓度几乎没有影响，因此认为该区间无可塑性；从2 uM开始，训练30次、100次和200次后的AMAPR浓度都远远高于初始值，随着训练次数上升，AMPAR浓度回到初始值时对应的钙尖峰从12.2 uM逐渐下降到9.1 uM，这几个从2 uM到不同钙尖峰结束值的区间分别是这几个不同训练次数曲线的LTP区间，然而训练5次后的曲线几乎无LTP。LTP区间后AMPAR浓度低于初始值，是LTD区间。因此可得出结论，在学习效果突显后，随着训练次数增加，可塑性方向转换的阈值逐渐下降。

下部分图中钙尖峰在2 uM和6.3 uM时，AMPAR浓度随着训练次数上升。而从8.3 uM开始，浓度有下降趋势，到了10 uM，浓度在训练110次后低于初始值。之后随着钙尖峰上升，可塑性方向转换所需的训练次数越来越少。

对于视动反应，本文使用优化了RNN结构的seq2seq进行预测。首先通过TorchDiff库的odeint求解器使用龙格–库塔法求解在第11次到第18次训练内16个平行纤维上的突触权重对应的钙级联动力学系统18种物质的量的变化，因此数据集时间长度是16,000 ms，有16个样本和18种特征。通过小脑神经元模型生成随机的时空活动序列和误差信号，计算出钙尖峰序列。之后取对应样本在第1次到第9次的状态变化作为seq2seq的训练集，在预处理阶段，由于所有特征均大于等于0，且部分特征的数值数量级差异大，这部分特征先做对数化处理再进行归一化。外部输入通过钙尖峰序列查表得出每毫秒对应的钙信号。共训练1000次，loss在0.00376处收敛。

图4 从左到右分别是三条平行纤维对应的AMPARP、AMPAR和PP2B_i变化，其中AMPARP和AMPAR的含量用百分比表示，PP2B的量化单位是微摩尔(uM)，时间统一是8次训练总时长。其中同一种颜色的曲线表示来自同一条PF，散点是对应曲线的预测值。

设定AMPARP和AMPAR起始值都是50%，随着训练次数AMPARP含量上升，AMPAR下降，PP2B_i呈上升趋势。红色样本的物质变化率较大，原因是这些样本来自不同的颗粒细胞簇，活跃细胞簇对应的动力学系统对外来的钙尖峰更为敏感。

AMPARP和AMPAR在钙级联中互相转化，因此当误差信号紧接着输入信号时，会导致内质网的IP₃受体门控通道的打开阈值暂时降低，在这个短暂的时间窗口由误差信号驱动释放在浦肯野细胞树突棘上的Ca²⁺，能够与CaM相结合，形成Ca₄CaM。接下来Ca4CaM参与CaMKII自磷酸化从而导致AMPAR的磷酸化，形成LTD。这时Ca₄CaM几乎没有参与由PP2B_i转化成PP2Bac介导的AMPAR去磷酸化，LTP受到抑制，PP2B_i含量上升。