定义1 [5] ：设 $\mathscr{H}$是Hilbert空间，对于 $\forall \left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$， ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }$，等式 $p_{\left\{x_n\right\}}\left(T\right)={\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert T{x}_n\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$定义了 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$上的半范数 $p_{\left\{x_n\right\}}\left(T\right)$，由半范数族 $\left\{p_{\left\{x_n\right\}}:\left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H},{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }\right\}$生成的 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$上的局部凸拓扑称为 $\sigma$-强算子拓扑，记为 $\sigma$-SOT。

引理1 [5] ：对于 $\forall \left\{T_{\lambda }\right\}\subseteq B\left(\mathscr{H}\right)$， $T\in B\left(\mathscr{H}\right)$， $T_{\lambda }\stackrel{\sigma \text{-SOT}}{\to }T$ $\iff$ $\forall \left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$， ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }$，有 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(T_{\lambda }-T\right)x_n\Vert }^2\to 0}$。

定义2 [5] ：设 $\mathscr{H}$是Hilbert空间，对于 $\forall \left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$， ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }$，等式 $p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}\left(T\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle T{x}_n,y_n\rangle \right|}$定义了 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$上的半范数 $p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}\left(T\right)$，由半范数族 $\left\{p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}:\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H},{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }\right\}$生成的 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$上的局部凸拓扑称为 $\sigma$-弱算子拓扑，记为 $\sigma$-WOT。

引理2 [5] ：对于 $\forall \left\{T_{\lambda }\right\}\subseteq B\left(\mathscr{H}\right)$， $T\in B\left(\mathscr{H}\right)$， $T_{\lambda }\stackrel{\sigma \text{-WOT}}{\to }T$ $\iff$ $\forall \left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$， ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }$，有 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(T_{\lambda }-T\right)x_n,y_n\rangle \right|\to 0}$。

引理3 [6] ：设 $\mathfrak{B}{\left(\mathscr{H}\right)}_1=\left\{x\in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right):\Vert x\Vert \le 1\right\}$是 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$的闭单位球，则在 $\mathfrak{B}{\left(\mathscr{H}\right)}_1$上。

1) WOT拓扑 = $\sigma$-WOT拓扑；

2) SOT拓扑 = $\sigma$-SOT拓扑。

引理4 [4] ： $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$的凸子集 $\mathcal{K}$的弱算子闭包和强算子闭包重合。

符号表示：映射 $\phi \left(A\right)=tA$，为了方便表示，本文直接记为 $A\to tA$，其余映射同理。

定理1：如果 $\mathfrak{A}$是作用于Hilbert空间 $\mathscr{H}$上的 $C^{\ast }$-代数， $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$是作用于Hilbert空间 $\mathscr{H}$上的von Neumann代数，且 $\eta$是 $\mathfrak{A}$到 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$的线性映射，在 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_r^{+}$中的0处 $\sigma$-强算子拓扑连续到 $\sigma$-弱算子拓扑，那么 $\eta$在 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$上是 $\sigma$-弱算子拓扑连续的。

证明：因为 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(tA-t{A}_0\right)x_n\Vert }^2}\le {\Vert t\Vert }^2{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\Vert \left(A-A_0\right)x_n\Vert }\to 0$和 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(tA-t{A}_0\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\left|t\right|{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-A_0\right)x_n,y_n\rangle \right|}\to 0$，其中 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\in \mathscr{H}$， $A,A_0\in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$，t为标量，所以映射 $A\to tA$在 $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$上是 $\sigma$-强算子拓扑和 $\sigma$-弱算子拓扑连续的。

同理映射 $B\to tB$在 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$上 $\sigma$-强算子拓扑和 $\sigma$-弱算子拓扑连续的。若 $\Vert tA\Vert <r$，则 $\Vert A\Vert <t^{-1}r$，所以映射 $tA\to \eta \left(tA\right)=t\eta \left(A\right)$在 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_{t^{-1}r}$上具有与 $\eta$在 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$上相同的连续性。

因此我们对 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$和 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$有相同的假设，如果我们对单个 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$建立题目所述的连续性，就可以得出对于所有 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$有题目所述连续性。

映射 $A\to A^{+}$和 $A\to A^{-}$将 $\mathfrak{A}$的单位球中自伴算子的集合 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$映到 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1^{+}$，

由 ${\Vert A{x}_n\Vert }^2={\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2+{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2$得：

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A^{+}-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}\to 0$

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A^{-}-0\right)x_n\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}}}}}\to 0$，

所以映射 $A\to A^{+}$和 $A\to A^{-}$在 ${\mathfrak{A}}_h$中的0处是 $\sigma$-强算子拓扑连续的。

由第一段假设可得，当

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A^{+}-0\right)x_n\Vert }^2}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A^{-}-0\right)x_n\Vert }^2}\to 0$时，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A^{+}\right)-\eta \left(A^{-}\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ ={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \eta \left(A^{+}\right)x_n,y_n\rangle -\langle \eta \left(A^{-}\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \eta \left(A^{+}\right)x_n,y_n\rangle \right|+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \eta \left(A^{-}\right)x_n,y_n\rangle \right|}}\\ ={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A^{+}\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A^{-}\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

所以映射 $A=A^{+}-A^{-}\to \eta \left(A^{+}\right)-\eta \left(A^{-}\right)=\eta \left(A\right)$在 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$中的0处是 $\sigma$-强算子拓连续到 $\sigma$-弱算子拓扑。因此 $\eta$在 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_2$上的0处有相同的连续性；又由

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(\left(A-A_0\right)-\left(B-A_0\right)\right)x_n\Vert }^2={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(A-B\right)x_n\Vert }^2\to 0}}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A\right)-\eta \left(B\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left[\left(\eta \left(A\right)-\eta \left(A_0\right)\right)-\left(\eta \left(B\right)-\eta \left(A_0\right)\right)\right]x_n,y_n\rangle \right|}\\ ={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\eta \left(A-A_0\right)-\eta \left(B-A_0\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}\to 0\end{array}$

所以映射 $A\to A-A_0\to \eta \left(A-A_0\right)=\eta \left(A\right)-\eta \left(A_0\right)\to \eta \left(A\right)$在 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$中的 $A_0$处是 $\sigma$-强算子拓扑连续到 $\sigma$-弱算子拓扑。

我们描述了 $B\left(\mathcal{K}\right)$中弱算子开集族的一个子基，使得每个子基都有一个凸补集。

(对于 $B\left(\mathcal{K}\right)$上的弱算子开集族 $\left\{B:\mathrm{Re}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\langle \left(B-B_0\right)x_n,y_n\rangle <a}\right\}$，其中a为实数， $x_n,y_n\in \mathcal{K}$)。这样一

个补在 $\eta$下的逆象与 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$在一个强算子闭凸集相交。由引理3和引理4可知，这个逆象是弱算子闭的，也是 $\sigma$-弱算子闭的，这个逆像的补集，即子基集的逆象，在 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$中是 $\sigma$-弱算子开的。由此可以看出， $\eta$从 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$到 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$是 $\sigma$-弱算子拓扑连续的。因为

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\frac{A+A^{\ast }}{2}-\frac{B+B^{\ast }}{2}\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle +\langle \left(A\ast -B^{\ast }\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle \right|+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle y_n,\left(A-B\right)x_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\frac{A+A^{\ast }}{2i}-\frac{B-B^{\ast }}{2i}\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle -\langle \left(A\ast -B^{\ast }\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle \right|+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(A-B\right)y_n,x_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

所以映射 $A\to \frac{A+A^{\ast }}{2}$和 $A\to \frac{A-A^{\ast }}{2i}$从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$到 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$是 $\sigma$-弱算子连续的，

因此映射 $A=\frac{A+A^{\ast }}{2}+i\frac{A-A^{\ast }}{2i}\to \eta \left(\frac{A+A^{\ast }}{2}\right)+\eta \left(i\frac{A-A^{\ast }}{2i}\right)=\eta \left(A\right)$从 ${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$到 $B\left(\mathcal{K}\right)$是 $\sigma$-弱算子拓扑连续的。由此题目得证。

定理2：如果 $\phi$是作用在Hilbert空间 $\mathscr{H}$上的 $C^{\ast }$-代数 $\mathfrak{A}$到von Neumann代数 $B\left(\mathcal{K}\right)$的表示，并且 $\phi$在0处从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1^{+}$到 $B\left(\mathcal{K}\right)$是 $\sigma$-弱算子拓扑连续的，则 $\phi$从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$到 $B\left(\mathcal{K}\right)$是 $\sigma$-强算子拓扑连续的。

证明：由于 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\langle \left(A^{\ast }A-0\right)x_n,y_n\rangle }\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\Vert A{x}_n\Vert }\Vert A{y}_n\Vert ={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }\Vert \left(A-0\right)y_n\Vert \to 0$，

所以映射 $A\to A^{\ast }A$在0处从 $\mathfrak{A}$(因此，也从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$)的 $\sigma$-强算子拓扑中连续到 $\mathfrak{A}$的 $\sigma$-弱算子拓扑中。同时因为 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \left(B-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle B{x}_n,B{x}_n\rangle \right|}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(B^{\ast }B-0\right)x_n,x_n\rangle \right|}\to 0$，使得如果 $B^{\ast }B$在 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$的 $\sigma$-弱算子拓扑中趋于0，则B在 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$的 $\sigma$-强算子拓扑中趋于0。由于

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \left(\phi \left(A^{\ast }A\right)-0\right)x_n,x_n\rangle \right|}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\langle \phi \left(A\right)x_n,\phi \left(A\right)x_n\rangle \right|}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert \phi \left(A\right)x_n\Vert }^2}\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\Vert \phi \Vert }{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2\to 0$

因此， $A\to A^{\ast }A\to \phi \left(A^{\ast }A\right)=\phi {\left(A\right)}^{\ast }\phi \left(A\right)$在0处从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$的 $\sigma$-强算子拓扑中连续到 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$的 $\sigma$-弱算子拓扑中；且 $A\to \phi \left(A\right)$从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$到 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$在0处是 $\sigma$-强算子拓扑连续的。因此， $A\to \phi \left(A\right)$从 ${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$到 $\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$是 $\sigma$-强算子拓扑连续的。