低频噪声的声波较长，传播距离远，衰减较慢，容易发生绕射，而且具有强大的穿透能力，可以轻易地透过障碍物进入室内，对人们的正常生产、生活、学习和身体健康造成严重的影响。通过传统方法有效地控制低频振动和噪声是富有巨大的挑战性。例如，均匀板主要用于衰减噪声，而其隔声能力服从质量密度定律，与频率和表面密度成正比 [1] - [3] 。在实际应用中，结构的质量和空间受到约束时，均质板很难有效地衰减低频声波。传统隔声结构不足以符合生产轻量化和小型化的机械设备以及工程应用发展的要求。

目前，针对低频噪声控制的隔声型声学超材料的研究比较广泛，国内外研究者基于表面辐射相位相消机制设计的隔声型声学超材料可以实现低频反共振。通常将声学超材料置于声源与接收者之间，当声波通过声学超材料结构时，会产生反射和吸收，其中隔声型的超材料是以反射为主。隔声型的声学超材料是利用薄结构实现低频噪声和振动的降低，同时可以满足轻量化的要求，是实际应用中很需要的 [4] 。隔声型的声学超材料可以分为薄膜型 [5] [6] 和薄板型 [7] - [10] 声学超材料。

薄膜型声学超材料是在2008年由Yang等人 [6] 首次提出，将质量块附加在张紧的弹性薄膜上，以轻量化的结构在低频段下突破质量定律的限制，将声波全反射。Naify等人 [11] 设计了一种由圆柱状的振子分布在膜的正中间且框架约束的薄膜型声学超材料，明确了张力对声传输损失的影响。之后，提出单个薄膜由刚性框架支撑拉伸，并将不同质量大小的谐振子分布在每个膜的中心组成膜型声学超材料，对其进行声传输损失测量 [5] 。Yan等人 [12] 设计了一种在薄膜上分布月牙形状和椭圆形状的非对称薄膜型声学超材料结构，利用结构的不对称性拓宽了低频隔声频带。膜型声学超材料在低频均能实现良好的隔声特性，但是薄膜需要张力来拉伸。随后，研究者使用板来代替薄膜，利用板的刚度来控制板的振动。Xiao等人 [7] 提出一种由薄板和二维周期阵列的圆柱谐振子构成的板型声学超材料，该超材料结构也具有反共振特性，还系统地研究了结构参数对隔声峰频带的影响，并进一步制备大样品进行实验测试和验证。Langfeldt等人 [13] 提出了一种带环形附加质量的大尺寸的板型声学超材料，对有限声学超材料结构和无限声学超材料结构的声传输损失进行对比，随着有限声学超材料单胞个数的增加，声传输损失逐渐趋向于无限声学超材料结构的声传输损失。Zhang等人 [14] 提出将外部电路连接到板状型声学超材料的方形谐振子的两端，通过改变电路的电感和电阻来调控隔声频率。

然而，以上所述的附着在薄膜、薄板上的谐振器都是离散的，每平方米分布成千上万离散的谐振器，这导致了昂贵的制造成本，并且加工制造上也带来了一定的难度 [15] 。为了减少谐振器的数量，Langfeldt和Gleine [16] 在保持改进后的传输损失的同时，设计了一种简单的长条状谐振器的板型声学超材料。Wang等人 [17] 计算了长条状板型声学超材料结构的声传输损失、负等效质量面密度和振动模态，并将其与实验进行对比，揭示了该超材料的低频隔声机理，但此类型的谐振器仍是离散的。

为了改进加工过程中谐振子的离散性，本文设计了一种框架式薄板型声学超材料，将框架放置于超材料板的上下的一种框架式薄板型声学超材料，用框架来代替谐振单元，框架将板加紧既可以减小超材料板的弯曲振动，也便于加工制造和应用，同时还能增加超材料结构的使用年限。

如 图1 所示，提出了一种圆孔框架式声学超材料板来有效的控制低频噪声的传播。此超材料板由三部分组成，中间是一层薄板，在上下放置带圆孔的方形支撑框架，使其紧密的结合在一起。其中单胞的晶格常数a = 70 mm，薄板的厚度为h_p= 0.2 mm，支撑框架的厚度h_f= 5 mm，圆孔的直径d_p= 64 mm。超材料板和框架使用的材料分别是铝和环氧树脂，具体的材料参数如 表1 所示。通过调整结构各部分的几何尺寸和材料参数，可以得到超材料结构的局部反共振频率和共振频率。

在文中采用有限元法计算的无限周期框架式薄板型声学超材料的原理图如 图2 所示。数值模拟使用COMSOL Multiphysics 5.6的声学–结构相互作用界面。多物理耦合区域分为两个空气域和一个固体域。为了防止声波的多次混响，在空气域的两侧添加了完美匹配层(PML)。由于框架式薄板型声学超材料是无限周期的，因此在固体域、两个空气域和两个完美匹配层的横向边界添加Floquet-Bloch边界条件。

声波入射到框架式薄板型声学超材料时，其传播方向与z方向的夹角称为仰角(θ)，与x方向的夹角称为方位角(φ)。入射声波的振幅(P_i)设为1 Pa，并在入射声域中加入背景压力场。入射到框架式薄板型声学超材料上的声波将产生透射声压(P_t)和反射声压(P_r)。入射声压表示为

$p_{in}\left(x,y,z,t\right)=p_{in}\left(x,y,z\right){\text{e}}^{-i\omega t}=p_i{\text{e}}^{-i\left(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z\right)}{\text{e}}^{-i\omega t}$, (1)

其中，k_x、k_y,、k_z由声波的波矢量k₀分解而来，可以用仰角和方位角表示：

$k_x=k_0\sin \theta \cos \phi ,k_y=k_0\sin \theta \sin \phi ,k_z=k_0\cos \theta ,k_0=\omega /c_0$, (2)

入射声功率(W_in)和透射声功率(W_out)是通过对声波在实体域中的入射面和出射面的声压进行面积积分得到的。

$W_{in}={\displaystyle \int \frac{P_0^2\cos \theta }{2{\rho }_0{c}_0}\text{d}{S}_{in}}$, (3)

$W_{out}={\displaystyle \int I_z\text{d}{S}_{out}}$, (4)

其中，ρ₀和c₀分别为入射空气的密度和声速，I_z代表z方向透射平面的声能。S_in和S_out分别代表声波入射面和出射面的面积。因此，可以得到FPAM的STL：

$STL=10\lg \left(W_{in}/W_{out}\right)$, (5)

同时，公式(6)和(7)也可用来表示框架式薄板型声学超材料的法向位移和等效质量密度。

$d_z=\bar{x}$, (6)

$m_{eff}=\frac{{\displaystyle \int P_i\text{d}{S}_{in}-{\displaystyle \int P_t\text{d}{S}_{out}}}}{{\displaystyle \int a}\text{d}V}$, (7)

其中，x和a分别表示薄板在z方向上的位移和加速度，“ $\stackrel{¯}{}$”表示薄板域内的体积平均算子，dV是单元格结构的体积积分 [7] [18] 。

本文研究的是低频隔声性能，所以设置扫描频带为100~1000 Hz，步长为1 Hz，仿真计算超材料板的声传输损失如 图3 所示。对于大尺寸的超材料板，在416 Hz和624 Hz处分别存在反共振峰值频率和共振谷值频率，它与基于辐射相位相消机制的圆柱形谐振子的板型声学超材料的声传输损失的隔声性能是相似的 [19] [20] 。由于超材料结构的反共振，在A点处的隔声量比质量定律给出的隔声量高18.2 dB，

表现出良好的隔声性能。在声传输损失的峰值频率，该声学超材料结构的表面平均法向位移d_z为零，表明单胞振动的声能不会向远场辐射。如 图4 所示，A点对应单胞模型峰值频率处的模态振型，可以看出，在A点处壳体和框架以相反的相位振动，这就是所谓的反共振。相反，在B点，框架几乎处于静止状态，壳体振动剧烈，此时位移最大，声波很容易通过薄板传播出去。并且证明该超材料结构具有反共振特性。

有效质量密度和有效容积模量等有效参数可用于更好地理解超材料结构的隔音机制。由于板非常薄，在受到低频声波作用时，声学超材料的体积变化非常小。如 图5 所示，根据公式(7)，有效质量密度定义为单元格两侧的压力差与单元格振动加速度的体积积分之比。当接近声传输损失峰值频率时，有效质量密度与法向加速度(即位移)有关，由正变负。在此频率下，有效质量密度达到最大值，A点单元格的平均振动位移为零，隔音性能最佳。此超材料结构的有效质量密度在B点为零，这是因为此超材料结构振动剧烈，声波在此共振频率下几乎完全传播。这一发现与Tan等人的研究结果 [21] 相吻合，再次证明了此超材料结构与隔音材料之间的紧密联系。

为了进一步探究框架式板型声学超材料隔声性能的形成机理和变化规律，对薄板和框架的尺寸、以及板和框架的材料对隔声量的影响进行了研究。

在本文中，提出了一种新型的双面框架式板型声学超材料，薄板和框架结构结合使超材料结构的复杂性大大降低，便于工程上的加工和应用。通过数值仿真，证明基于辐射相位相消机制的框架式板型声学超材料的隔音能力显著，并且在低频范围能够实现对100~500 Hz频率范围内的声波的有效隔离，且在反共振频率处最高可达到43 dB的声衰减。结合等效质量密度和振动位移验证了该超材料结构的局域共振特性。进一步研究了各部分材料和几何参数对声传输损失的影响，框架和薄板共同影响反共振频率，薄板主要对共振频率起主要作用。因此，可以根据工程应用需求选择不同的材料和几何尺寸，从而达到隔声的目的。