在研究复杂网络时，通常采用图论的方法来构建模型。具体来说，一个网络可以通过一个图G来表示，该图由两部分组成：节点集V和边集E。在这个模型中，V包含了网络中的所有节点，记为 $V=\left\{v_1,v_2,v_3,\cdots ,v_{\left|V\right|}\right\}$，而E则包含了网络中所有的连接，记为 $E=\left\{e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{\left|E\right|}\right\}$。为了便于分析，网络的连接关系可以通过一个邻接矩阵 $A=a_{ij}\in V\times V$来表示。在这个矩阵中，如果 $a_{ij}$的值为1，则表示节点 $v_i$与节点 $v_j$之间存在直接的连接；如果 $a_{ij}$的值为0，则表示这两个节点之间没有直接的连接。本研究中，我们假设所有考虑的网络都是无向的，即边是双向的，没有指定的方向。

度中心性 [10] 定义了节点的一阶邻居数作为其传播影响的度量，表示为：

$DC\left(i\right)=\frac{k\left(i\right)}{N-1}$(1)

其中k(i)表示节点i的度，N是网络中节点的总数。

介数中心性 [12] 定义了作为两个不相连群体之间桥梁角色的节点作为传播影响节点，表示为：

$BC\left(i\right)={\displaystyle \underset{u\ne i\ne v}{\sum }\frac{g_{uv}^i}{g_{uv}}}$(2)

其中 $g_{uv}$表示节点v和节点u之间的最短路径数， $g_{uv}^i$表示通过节点i的节点v和节点u之间的最短路径数。

k-核值 [13] 能够反映节点的位置。具体而言，k-核值根据节点的度递归地移除节点，将节点分割成不同的层次来获得。

SPC算法 [17] 是一种基于信息传播和感染动态来识别复杂网络中具有影响力的节点的模型。表示为：

$SPC\left(i\right)={\displaystyle \underset{j\in R_i^3}{\sum }{\alpha }^{d_{ij}}}$(3)

其中， $R_i^3$表示节点i的三阶邻居节点集合， $d_{ij}$表示节点i和节点j之间的最短路径长度， $\alpha$是一个可调参数，代表信息从节点i到节点j的传播概率。

在网络科学和复杂系统的研究中，用户影响通常被定义为一个用户促使其他用户采取特定行为的能力。在本文中，我们依据易感者–感染者(SI)模型，将一个节点作为感染源并衡量其感染网络中其他未感染节点的能力，以此作为该节点影响力的量化指标。具体而言，节点的传播能力可以通过计算该节点感染未感染邻居节点的概率来确定。然而，一个节点的影响力并非仅由其自身的属性决定，还受到其邻居节点影响力的影响。因此，一个节点的总体影响力应该是由其自身的影响力和其邻居节点影响力的综合效应所共同决定的。为了准确评估这种复合影响力，本文通过结合信息熵，同时考虑节点自身的传播影响力及其邻居节点的传播影响，提出了一种传播概率熵(Epidemic Spreading Probability Entrop, ESPE)的模型，该模型不仅考虑了节点的直接传播能力，还考虑了其邻居节点的传播潜力。

ESPE模型的实施步骤可以概括如下：

1) 节点状态初始化：首先，需要确定网络中每个节点的当前状态，这可以是易感者、感染者或传播者。

2) 识别三阶邻居节点集：对于目标节点i，识别其所有直接相连的邻居节点，即三阶邻居节点集合 $R_i^3$。

3) 计算单个节点的传播概率：对于目标节点i的每一个三阶邻居节点j，计算节点i传播给节点j的概率 $SP\left(i\right)$。这通常基于节点之间的连接强度和网络的拓扑结构。

$SP\left(i\right)={\displaystyle \underset{j\in R_i^3}{\sum }{\alpha }^{d_{ij}}}$(4)

其中， $\alpha$是传播概率的衰减因子， $d_{ij}$是节点i到其三阶邻居j之间的距离。

4) 计算节点的总传播概率：累加节点i的所有一阶邻居节点的SP值，得到 $TSP\left(i\right)$：

$TSP\left(i\right)={\displaystyle \underset{j\in R_i^1}{\sum }SP\left(i\right)}$(5)

5) 确定信息传播的概率分布：使用 $SP\left(i\right)$和 $TSP\left(i\right)$来确定信息从节点i传播到其每一个一阶邻居节点j的概率 $p\left(j\right)$：

$p\left(j\right)=\frac{SP\left(j\right)}{TSP\left(i\right)}$(6)

6) 计算传播影响概率熵：最后，计算目标节点i的传播影响概率熵 $ESPE\left(i\right)$，这反映了节点i对其邻居节点影响力的不确定性或信息的混乱程度：

$ESPE\left(i\right)=-{\displaystyle \underset{j\in R_i^1}{\sum }p\left(j\right)\times \ln \left[p\left(j\right)\right]}$(7)

为了全面地评估ESPE算法的性能，本文使用以下六个真实网络，这些网络相关的统计特征如 表1 所示。1) LastFM [22] ：该网络由亚洲地区的LastFM用户组成，用户之间的连接关系基于相互的追随关系。2) Jazz [23] ：此网络展现了爵士音乐家之间的合作关系，节点代表音乐家，边代表他们之间的合作。3) Email [24] ：该网络基于西班牙塔拉戈纳的Rovirai Virgili大学(URV)的内部电子邮件通信数据构建，其中节点代表组织成员，包括员工、研究人员等，边代表他们之间的电子邮件往来。4) Faa [25] ：是 https://networkrepository.com/ 网站上的一个网络。5) Facebook [26] ：这个网络由Facebook用户及其朋友构成，每个节点代表一个用户，节点间的连接表示朋友关系。6) Vote [27] ：该网络由维基百科用户之间的投票关系构成，节点代表用户，有向边代表用户之间的投票行为。在本研究中，这些有向边被处理为无向边以简化分析。

SIR模型 [28] 是流行病学中用于描述传染病传播的典型模型，它将人群分为三个主要状态：易感者(Susceptible, S)、感染者(Infected, I)和康复者(Recovered, R)。在该模型中，每个感染节点以概率h将其感染状态传播给其易感的直接邻居，同时以概率b恢复并退出感染状态。恢复后的节点不会再被感染。这个过程会持续进行，直到网络中没有新的感染发生，达到一个稳定状态。

为了评估节点的感染能力，我们首先将特定节点设定为初始感染状态，而其他所有节点设为易感状态。通过模拟网络达到稳定状态的过程，我们可以统计出在最终状态下的感染节点数和恢复节点数。节点的感染能力，即其标签，可以通过1000次独立实验的平均结果来确定，以提高评估的准确性并减少随机波动的影响。感染能力的计算公式为：

$IC\left(x\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{1000}{N}_j^i+N_j^r}}{1000\times N}$(8)

其中， $IC\left(x\right)$表示节点x的感染能力， $N_j^i$和 $N_j^r$表示在第j个实验中感染节点和恢复节点的数量。

此外，为了量化网络中感染传播的难易程度，我们引入了感染传播阈值 ${\beta }_{th}$，该阈值可以通过平均场理论来估算。具体计算公式如下：

${\beta }_{th}=\frac{\langle k\rangle }{\langle k^2\rangle -\langle k\rangle }$(9)

其中，k表示节点的度， $\langle \cdot \rangle$表示计算平均值。

通过这种方法，SIR模型不仅能够模拟传染病的传播过程，还可以用于评估个体节点在网络中的感染能力，以及整个网络对疾病传播的抵抗性。这些信息对于设计有效的疾病控制策略和提高网络的鲁棒性具有重要意义。

其中n和m分别是网络中的节点总数和边总数， $\langle k\rangle$是网络的平均度， $k_{\max }$是网络的最大度，c是网络的平均聚类系数， $G_{C_V}\text{\%}$和 $G_{C_E}\%$分别表示网络中最大组件中节点和边占总节点数和总边数的比例，d是网络的密度， ${\beta }_{th}$是网络的传播阈值。若网络的 $G_{C_V}\%\approx 100$且 $G_{C_E}\%\approx 100$，则它是一个连通网络，否则它是一个非连通网络。

在本文中，我们采用了肯德尔相关系数(Kendall’s tau coefficient) [29] 来衡量两组排名之间的关联程度。肯德尔相关系数的计算公式如下：

$\tau =\frac{2\left(N_c-N_d\right)}{N_L\left(N_L-1\right)}$(10)

在这个公式中， $N_L$是排名列表中的节点数量， $N_c$和 $N_d$分别是一致对和不一致对的数量。具体来说，对于两个数据对 $\left(x_i,y_i\right)$和 $\left(x_j,y_j\right)$，如果 $x_i>x_j$且 $y_i>y_j$，或 $x_i<x_j$且 $y_i<y_j$，则这一对数据 $\left(x_i,y_i\right)$和 $\left(x_j,y_j\right)$是一致的。如果 $x_i>x_j$且 $y_i<y_j$，或 $x_i<x_j$且 $y_i>y_j$，则这一对数据 $\left(x_i,y_i\right)$和 $\left(x_j,y_j\right)$是不一致的。如果 $x_i=x_j$， $y_i=y_j$，这对既不是一致的也不是不一致的。

肯德尔相关系数的取值范围从−1到1。当 $\tau$的值越接近1，表明两个排名列表的一致性越高。如果 $\tau =1$，则表示两个排名完全一致。当 $\tau =0$，表明排名列表之间没有显著的相关性。而当 $\tau =-1$，则意味着两个排名列表完全相反。

在本文的第3.3.1节中，我们将利用 $\tau$来评估由SIR模型产生的排名与通过ESPE模型以及其他方法得到的排名之间的关联性。通过这种方法，我们可以定量地分析不同排名方法之间的一致性和差异性，为进一步的研究提供依据。

该性能指标旨在衡量所提出方法相较于其他现有方法在识别性能上的提升幅度。改进率是基于所提方法的识别准确率与对比方法的识别准确率之间的差异百分比来计算的。具体来说，这个指标反映了所提方法在识别准确率上相对于其他方法的增长或减少的幅度。当这个百分比值为正时，意味着所提方法在性能上优于对比方法；若为负，则意味着性能有所下降。此指标是评估新方法在竞争性方法面前性能优势的重要工具。

$\eta \%=\frac{ESPE\left(\tau \right)-SPC\left(\tau \right)}{SPC\left(\tau \right)}\times 100$(11)

其中， $ESPE\left(i\right)$表示所提出方法的肯德尔相关性系数，而 $SPC\left(i\right)$表示SPC算法的肯德尔相关性系数。通过这个公式，我们可以定量地评估所提出方法在识别任务上相对于SPC算法的改进情况，进而为选择更合适的方法提供决策依据。

从 图1 的分析结果可以观察到，ESPE算法实现了较高的肯德尔相关系数，这揭示了ESPE算法生成的节点排名与实际SIR传播模型的一致性较高。本研究进一步通过将SPC算法设定为对照组，来评估 ESPE算法在肯德尔相关系数上相较于SPC算法的改进程度。

图2 的数据揭示了ESPE算法在六个真实网络中都展现了正向的改进，意味着其性能超越了SPC算法。具体来看，在Vote网络中，ESPE算法的平均改进率达到了5.98%，在Jazz网络中达到了9.80%，在LastFM网络中为4.96%，在Email网络中为5.88%，在Facebook网络中显著达到了18.77%，在Faa网络中则为5.38%。这些结果表明，ESPE算法在识别网络中关键节点的准确性方面具有优势，能够更有效地捕捉节点间的复杂关系，从而为关键节点的识别提供了更加精确的方法。

综上所述，ESPE 算法在多个真实网络结构上的表现均优于SPC算法，尤其在Facebook网络中的改进表现尤为突出。这证明了ESPE算法在网络分析中的潜力和实用性，尤其是在需要高精度识别网络关键节点的应用场景中。

续表

为了更清楚地验证算法在识别网络中关键节点传播能力方面的性能，本研究通过 表2 对不同网络中被识别为最重要的前10个节点进行了比较分析。使用ESPE算法与其他基线方法进行对比，结果如下。

对于Facebook网络，ESPE算法的识别结果与其他算法相比略逊一筹。然而在其他5个真实网络中，本文所提出的算法在所有比较的基线方法中与SIR模型匹配的节点数量均是最高的。具体而言，在LastFM网络中，ESPE算法与SIR模型识别出的前10个节点有6个是重合的。在Email网络中，ESPE算法与SIR模型匹配的节点数量为8个。在Jazz网络、Vote网络和Faa网络中，ESPE算法与SIR模型一致的节点数量均为8个。

综合考虑，与其它基线方法相比，ESPE算法在识别网络中最关键的前10个节点方面整体表现更为优秀。这一结果表明ESPE算法在捕捉网络中节点的重要性和传播影响力方面具有较高的准确性和可靠性，尤其是在Email网络、Jazz网络、Vote网络和Faa网络中，ESPE算法展现出了其在识别头部节点方面的显著优势。

为了评估ESPE算法与SPC算法在区分网络节点传播影响力上的能力， 图3 展示了两种算法得到的排名分数之间的相关性分析。在此图中，X轴代表ESPE算法计算得到的归一化传播影响力，而Y轴代表SPC算法得出的相应数据。每个数据点的颜色基于SIR模型模拟得到的节点传播影响力而定，这使得我们可以通过观察点的分布和颜色来评估两种算法的识别效率。

从 图3 的观察结果可以得出，在所有六个真实世界的网络数据集上，ESPE与SPC算法的排名分数呈现出正相关性。特别地，在LastFM和Facebook网络中，ESPE算法为具有较高传播影响力的红色节点赋予了更高的评分，而在蓝色节点上，SPC算法则给出了相对较高的评分。这一现象表明ESPE算法在辨别传播影响力节点的准确性和分辨率方面优于SPC算法。

这一发现强调了ESPE算法在识别网络中具有显著传播能力节点方面的优越性，尤其是在区分节点传播影响力的细微差别时。ESPE算法通过更精确地量化节点的传播潜力，为网络分析提供了一种改进的方法，这在复杂网络的结构和行为分析中具有重要的应用价值。