定义1： [14] 设 $P\left(X\right)$为非空集合 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$的幂集，非空集合X上的模糊测度 $\mu :P\left(X\right)\to \left[0,1\right]$满足以下边际条件和单调性：

1) 边际条件： $\mu \left(\phi \right)=0$， $\mu \left(X\right)=1$；

2) 单调性： $\forall A,B\in P\left(X\right)$，若 $A\subseteq B$，则 $\mu \left(A\right)\le \mu \left(B\right)$。

由定义1可知，为了确定n个属性指标集上的模糊测度，通常需要 $2^n-2$个值，为了减少模糊测度计算的复杂性，可用 $\lambda$-模糊测度来代替一般的模糊测度。

定义2： [14] 对于任意的 $A,B\in P\left(X\right)$， $A\cap B=\varnothing$， $\lambda \in \left(-1,\infty \right)$。如果模糊测度 $\mu$满足：

$\mu \left(A\cup B\right)=\mu \left(A\right)+\mu \left(B\right)+\lambda \mu \left(A\right)\mu \left(B\right)$

则称 $\mu$为 $\lambda$-模糊测度。由定义2可知：

1) 若 $\lambda =0$，即 $\mu \left(A\cup B\right)=\mu \left(A\right)+\mu \left(B\right)$，则 $\lambda$为可加性度量，A和B相互独立；

2) 若 $\lambda <0$，即 $\mu \left(A\cup B\right)<\mu \left(A\right)+\mu \left(B\right)$，则 $\lambda$为次可加性度量，A和B相互冗余；

3) 若 $\lambda >0$，即 $\mu \left(A\cup B\right)>\mu \left(A\right)+\mu \left(B\right)$，则 $\lambda$为超可加性度量，A和B相互互补。

如果集合 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$是有限的，那么 $\lambda$-模糊度量满足：

$\mu \left(A\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\lambda }\left[{\displaystyle \underset{x_i\in A}{\prod }\left(1+\lambda \mu \left(x_i\right)\right)-1}\right],\lambda \ne 0\\ {\displaystyle \underset{x_i\in A}{\sum }\mu }\left(x_i\right),\lambda =0\end{array}$(1)

利用公式(1)可以通过边界条件 $\mu \left(X\right)=1$唯一确定参数 $\lambda$ [15] ，即求解下面的方程：

$\lambda +1={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(1+\lambda \mu \left(x_i\right)\right)}$(2)

基于 $\lambda$-模糊测度的Shapley函数 [16] 作为处理具有相互关联属性事物的工具，可以综合考虑指标集S评估来元素的重要性。Shapely函数值的计算公式 [17] 如下：

$s_j={\displaystyle \underset{T\subset X\backslash S}{\sum }\frac{\left(n-s-t\right)!t!}{\left(n-s+1\right)!}}\left[\mu \left(S\cup T\right)-\mu \left(T\right)\right]$(3)

其中，X是所有指标的集合，S是X的任意一个子集， $X\backslash S$表示X与S的差集，T是 $X\backslash S$的任意一个子集，n、t和s分别是集合X、T、S的基数， $\mu$是X上的模糊测度。Shapley值不仅能够反映单个指标或者几个指标集之间对全部指标集的贡献值，还能反映单个指标或者几个指标集之间对全部指标集的整体平均贡献。由于涉及指标排序，离散Choquet积分只能对相邻指标的相互关系进行分析 [18] ，而Shapley值可以分析所有指标间的相互影响关系。因此，本文采用求得的Shapley值作为指标权重。

定义3： [13] 设T为一个给定的非空集合，定义在集合T上的犹豫模糊集H是从T到区间[0，1]上的一个子集的映射函数。犹豫模糊集的数学形式：

$H=\left\{\langle t,h_H\left(t\right)\rangle |t\in T\right\}$

其中， $h_H\left(t\right)$是区间[0，1]中几个不同的实数值的集合，表达的意思是 $t\in T$属于犹豫模糊集H的几种可能的程度，它是犹豫模糊集H的基本元素。

记 $h=h_H\left(t\right)=\left\{\gamma |\gamma \in h_H\left(t\right)\right\}=H\left\{{\gamma }^1,{\gamma }^2,\cdots ,{\gamma }^{\#h}\right\}$为一个犹豫模糊数 [19] ，其中 ${\gamma }^{\lambda }\in \left[0,1\right]$， $\left(\lambda =1,2,\cdots ,\#h\right)$， $\#h$表示犹豫模糊数H中元素的个数。例如，H {0.5，0.7，0.8}表示决策者对某备选方案的某项指标持有三种观点，其评估值可能为：0.5，0.7或0.8。

由于在现实决策过程中，决策者给定的犹豫模糊数偏好信息中的可能的隶属度值通常是无序的，且不同的犹豫模糊数中元素的个数通常是不同的。处理这样两个犹豫模糊数，如比较它们的大小或者计算它们之间的距离，是十分困难的。为了计算方便且不失一般性，我们将犹豫模糊数内所有的元素按増序 [20] 进行排列，即 $h=H\left\{{\gamma }^{\lambda }|\lambda =1,2,\cdots ,\#h\right\}$，其中 ${\gamma }^{\lambda }$为犹豫模糊数h中第 $\lambda$小的元素。

对于任意两个犹豫模糊数h₁和h₂，如果它们的元素个数不同 [21] ，应拓展元素个数相对少的犹豫模糊数，使得它们具有相同的元素个数。本文考虑决策者的风险厌恶，也就是说该决策者对结果预期一般比较悲观，则重复添加元素个数相对少的犹豫模糊数中最小的元素直到该犹豫模糊数内元素个数和另一个犹豫模糊数的元素个数相同。

定义4： [19] 对于一个犹豫模糊数 $h=H\left\{{\gamma }^1,{\gamma }^2,\cdots ,{\gamma }^{\#h}\right\}$，它的得分函数定义为：

$S\left(h\right)=\frac{1}{\#h}\left({\gamma }^1+{\gamma }^2+\cdots +{\gamma }^{\#h}\right)$(4)

因此，对于任意的两个犹豫模糊数h₁和h₂的基于得分函数的犹豫模糊数排序方法定义为：

1) 如果 $S\left(h_1\right)<S\left(h_2\right)$， $h_1\prec h_2$；

2) 如果 $S\left(h_1\right)=S\left(h_2\right)$， $h_1~h_2$；

3) 如果 $S\left(h_1\right)>S\left(h_2\right)$， $h_1\succ h_2$。

定义5： [22] 对于任意两个元素个数相同的有序犹豫模糊数h₁和h₂，使用欧几里得距离测度表示犹豫模糊距离测度：

$d_E\left(h_1,h_2\right)=\sqrt{\frac{1}{\#h}{\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^{\#h}{\left({\gamma }_1^{\lambda }-{\gamma }_2^{\lambda }\right)}^2}}$(5)

其中， ${\gamma }_1^{\lambda }$和 ${\gamma }_2^{\lambda }$分别是h₁和h₂中第 $\lambda$小的值，且 $\#h=\#h_1=\#h_2$。

传统的TODIM方法是一种基于前景理论的交互式多属性决策方法，只能用来处理属性值是精确数的多属性决策问题，本文考虑了决策者在风险和不确定情况下的有限理性，针对评价值为犹豫模糊信息的决策问题对TODIM方法进行拓展，提出一种基于Shapley值的犹豫模糊TODIM方法来求解犹豫模糊多属性决策问题。

对于一个多属性决策问题，设 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$为m个方案组成的方案集， $C_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$为n个可能存在相互关联的决策属性集，且这些属性的权重已知。设 $X={\left[x_{ij}\right]}_{m\times n}$为专家的决策矩阵，其中 $x_{ij}=H\left\{{\gamma }_{ij}^1,{\gamma }_{ij}^2,\cdots ,{\gamma }_{ij}^{\#h}\right\}$是决策者以犹豫模糊数的形式给出在属性j下对第i个方案的评价。基于Shapley值的犹豫模糊TODIM方法的决策过程如下节所示。

步骤1：确定备选方案的原始评价矩阵 $Y={\left[y_{ij}\right]}_{m\times n}$。其中 $y_{ij}\left(i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n\right)$表示决策者对第i个方案相对于第j个指标的犹豫模糊评价值，且犹豫模糊数内所有的元素按増序排列。

步骤2：确定标准化决策矩阵 $X={\left[x_{ij}\right]}_{m\times n}$。考虑决策者的有限理性，对元素个数不同的犹豫模糊评价值中元素个数相对少的犹豫模糊评价值进行拓展，使得它们具有相同的元素个数。得到标准化决策评价矩阵 $X={\left[x_{ij}\right]}_{m\times n}$，其中 $i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n$。

步骤3：根据Shapley函数计算反映指标间影响关系的指标权重。给定各属性的模糊测度，根据公式(2)计算 $\lambda$值，将 $\lambda$带入公式(1)计算指标子集的模糊测度，再使用公式(3)计算各指标的Shapley值，即各指标的权重值 $w_j=s_j,j=1,\cdots ,n$。

步骤4：确定权重值最大的指标为参考指标 $w_r=\max \left\{w_j|j=1,2,\cdots ,n\right\}$，然后使用公式(6)计算各指标 $w_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$相对于参考指标的相对权重值 $w_{jr}$：

$w_{jr}=\frac{w_j}{w_r},j=1,\cdots ,n$(6)

步骤5：计算各候选方案相对于其他方案的感知价值函数 ${\vartheta }_{iq}$， ${\vartheta }_{iq}$表示候选方案 $A_i$相对于方案 $A_q$的占优度， ${\phi }_{iq}^j$为候选方案 $A_i$在指标j下相对于方案 $A_q$的占优度。

${\vartheta }_{iq}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_{iq}^j},i,q=1,\cdots ,m$(7)

其中，

${\phi }_{iq}^j=\{\begin{array}{l}\sqrt{d_{iq}^j{w}_{jr}/{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{w}_{jr}}},S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)>0\\ 0,S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)=0\\ -\frac{1}{\theta }\sqrt{d_{iq}^j{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{w}_{jr}}/w_{jr}},S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)<0\end{array}$(8)

参数 $\theta$为损失的衰减系数，参数 $\theta$越小表示决策者的“损失”规避程度高。犹豫模糊距离 $d_{iq}^j$为犹豫模糊数 $x_{ij}$和 $x_{qj}$之间的欧几里得距离测度 $d_E\left(x_{ij},x_{qj}\right)$。在公式(8)中，通常存在以下三种情况 [21] ：

1) 若 $S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)>0$，表示备选方案 $A_i$相对于 $A_q$在指标 $C_j$方面的收益；

2) 若 $S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)<0$，表示备选方案 $A_i$相对于 $A_q$在指标 $C_j$方面的损失；

3) 若 $S\left(x_{ij}\right)-S\left(x_{qj}\right)=0$，则表示既没有收益也没有损失。

步骤6：使用公式(9)计算方案 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$的综合感知价值函数值 $\Phi \left(A_i\right)$：

$\Phi \left(A_i\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{q=1}^m{\vartheta }_{iq}}-{\min }_i\left\{{\displaystyle {\sum }_{q=1}^m{\vartheta }_{iq}}\right\}}{{\max }_i\left\{{\displaystyle {\sum }_{q=1}^m{\vartheta }_{iq}}\right\}-{\min }_i\left\{{\displaystyle {\sum }_{q=1}^m{\vartheta }_{iq}}\right\}},i=1,\cdots ,m$(9)

步骤7：根据最终综合感知价值函数 $\Phi \left(A_i\right)$的大小对方案 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$进行排序。

在可持续供应商选择问题中，决策专家在各候选供应商在各指标下的满足程度进行评价，这些评价标准体系可能存在相互影响的关系。现考虑某汽车制造企业面临着由传统燃油汽车到新能源汽车的转型问题，拟推出新款纯电动汽车，以满足更多消费者对可持续产品的需求，而如何促进整个供应链的可持续稳定发展是一个重要问题。从供应商评价标准和选择的实际情况出发，由于经济、环境和社会三维评价标准体系的复杂性和冲突性 [23] ，这表明这些评价标准体系是相互关联、相互影响的。

在可持续供应商选择问题中，专家团队从经济、环境和社会三个方面中选择了4个评价指标：经济成本(C₁)、质量安全(C₂)、服务水平(C₃)和社会责任(C₄)，4个指标均为效益型指标。对4个候选供应商 $A=\left(A_1,A_2,A_3,A_4\right)$对各指标进行评价，并给出基于犹豫模糊数的评价矩阵，初始评价信息如 表1 所示。

由于初始评价矩阵中的每一列的评价值，即犹豫模糊数，它们内部的元素个数是不相同的，为了正确地计算犹豫模糊数之间的距离，考虑决策者的有限理性，假设决策专家为风险厌恶型决策者，则通过重复添加元素更少评估值中的最小元素，直到该评估值的元素个数与该列的所有评估值的元素个数相同。犹豫模糊标准化评价矩阵如 表2 所示。

候选可持续供应商的各评价指标存在相互影响关系，假定专家给出的各指标的重要程度 $\mu \left(C_1\right)=0.8$， $\mu \left(C_2\right)=0.5$， $\mu \left(C_3\right)=0.3$， $\mu \left(C_4\right)=0.2$，由公式(2)可得 $\lambda =-0.913$。根据公式(1)和 $\lambda$值计算各指标子集的模糊测度如 表3 所示。使用公式(3)计算各指标的Shapely值为： $s_1=0.382$， $s_2=0.246$， $s_3=0.195$， $s_4=0.177$，得到权重最大的参考指标 $w_r=0.382$。计算每一指标相对参考指标的相对权重值 $w_{1r}=1$， $w_{2r}=0.644$， $w_{3r}=0.510$， $w_{4r}=0.463$。

根据式(8)计算各候选供应商的相对感知价值函数值，损失衰减系数 $\theta$设为1。在各指标下每一方案相对于其他方案的优势度如 表4~7 所示。

使用公式(7)计算各候选供应商相对其他方案的感知价值函数值，结果如 表8 所示。根据公式(9)计算综合感知价值函数 $\Phi \left(A_1\right)=0.618$， $\Phi \left(A_2\right)=0.424$， $\Phi \left(A_3\right)=1$， $\Phi \left(A_4\right)=0$。

最后，根据最终综合感知价值函数值，确定供应商的排序顺序为 $A_3>A_1>A_2>A_4$。因此，考虑可持续供应商选择问题中经济、环境和社会三个方面因素的相互影响和决策者在风险和不确定情况下的有限理性，第三家候选供应商为最优的可持续供应商选择。