图1 为基于瑞丽索末菲衍射的逆向设计实现光学全息的概念图。平面光(plane wave input)直接照射在全息相位板上，经过利用瑞丽索末菲衍射理论与逆向设计的前向传播和逆向优化过程，调制出所需的全息相位分布(目标区域如图所示)。衍射神经网络的工作原理如 图1 所示，入射光输入到第一层衍射相位层后，受到所在位置上相位改变的影响，相位信息受到调制，随后在当前位置，作为新的波源以衍射的方式进行传播，从而实现衍射相位单元对于出射光场在指定成像面上的强度调制。这种利用平行光场实现全息的优势是，在成像的区域中，没有零级亮斑，极大地减小了衍射的能量损失，提高了全息成像的衍射效率。

在本文的模型中，平行光场入射到一个长宽为L，每一个相位单元都可以独立调节相位，在传播过程中，基于瑞丽索末菲公式，计算出光场在预定的传播距离的成像面上的强度。瑞丽索末菲衍射一般被描述为：

$w_i^l\left(x,y,z\right)=\frac{z-z_i}{r^2}\left(\frac{1}{2\pi r}+\frac{1}{j\lambda }\right)\exp \left(\frac{j2\pi r}{\lambda }\right)$(1)

其中，l代表第l层衍射层，i代表在全息相位版上的第i个衍射像素单元，其坐标为 $\left(x_i,y_i,z_i\right)$， $\lambda$代表入射光波长即光学全息的工作波段，

$r=\sqrt{{\left(x-x_i\right)}^2+{\left(y-y_i\right)}^2+{\left(z-z_i\right)}^2}$(2)

代表当前衍射单元到目标衍射区域在自由空间中传播的距离， $j=\sqrt{-1}$代表虚数单位。根据此式，可以对成像空间的任意一个点进行积分计算，得到该处的光强信息。

基于瑞丽索末菲衍射的逆向设计中的一个关键内容，就是要构建一个合适的优化损失函数(Loss function) [19] [20] 。损失函数是一个在机器学习和逆向设计中广泛使用的参数，主要用于衡量模型预测值与真实值之间的差异或误差。损失函数是一种非负实值函数。在逆向设计中，通过最小化损失函数来改进模型，使得模型的预测更加准确。损失函数越小，通常意味着模型的预测值更接近真实值，模型的稳定性和性能越好。

根据计算全息的优化目标，本节设计了一种复合型优化损失函数(hybrid loss function)。这一损失函数包含两个部分，一部分损失函数针对目标区域外，一部分损失函数针对目标区域内。从数学形式上表达可以定义为：

$\text{Loss}\left(\text{outside}\right)={\displaystyle {\sum }_0^{i}w\left(x,y,z\right)}$(3)

$\text{Loss}\left(\text{inside}\right)=1-{\displaystyle {\sum }_0^{i}w\left(x,y,z\right)}$(4)

$\text{Loss}\left(\text{total}\right)=\text{Loss}\left(\text{outside}\right)+\text{Loss}\left(\text{inside}\right)$(5)

特别指出，采用这种复合型的损失函数的优势是非常明显的。这是因为，传统的逆向设计的优化函数一般采用一个优化部分，在仿真中，本文发现单独使用一个优化函数，虽然能够让目标区域内的光强实现最大，但是无法让目标区域外的光强实现最小。而使用这种复合形式的损失函数，能够极大程度的避免这一现象。

使用复合形式的损失函数能够满足逆向设计在运算过程中对损失函数追求到最小的目标(在接下来的研究中会详细介绍)。本文采用了python进行基于瑞丽索末菲衍射的逆向设计构建和训练，其中使用N × N的矩阵代表当前相位衍射层的单个衍射单元，并设置权重网络计算当前衍射层对入射光的调制结果，并用瑞丽索末菲公式数值模拟光经过相位衍射层的传播，以此来模拟全息成像的过程。根据分类结果，反向传播算法会将损失函数结果返回到权重网络，修改权重网络，再次计算新的结果，根据梯度向下算法，经过多次的训练–返回的优化后，可以得到一定范围内的局部最优解情况。

基于上述算法，本节首先探索并实现了利用瑞丽索末菲衍射的逆向设计实现离散光场的全息。离散点全息实现的意义在于，离散点全息光场可以被用来实现多焦点的光场控制 [21] ，对于全息多焦点的激光加工(holographic multi-focus laser fabrication)、光信息存储(optical data storage)等领域都具有重要的研究价值 [22] [23] 。因为人眼对于图像的识别并不需要图像具有很强的连续性，即通过点阵的方式也能表现出图像的形状。本研究首先探索实现具有固定光点组成的离散光场全息。如 图2 所示，使用了18个点组成的字母A，这样在能表示图形形状的同时，还减少了探测区域的成像面积，有助于提高成像效果。

针对单个字母的离散光场全息计算结果如 图2 所示。可以看到，经过逆向设计的算法的loss函数随着训练次数epoch的增加而逐渐降低，在训练次数超过250次左右，损失函数的数值接近于0。在训练超过250次之后，损失函数的值几乎保持不变，体现了逆向设计的方法具有超强的拟合能力。 图1(c) 展示了训练得到的全息相位板的相位分布。逆向设计程序是在一台内存为128G (NVIDIA QUADRO P4000 GPU)的工作站上运行。训练时间约为5分钟，训练好的逆向设计程序对全息图计算的逻辑推理时间大约是5.2 ms。

同时，根据瑞丽索末菲衍射仿真得到了平行光场经过全息相位板的全息成像结果，在复合损失函数的作用下，全息成像的字母A的目标区域以内的区域光强非常均匀，且强度比目标区域以外的区域强很多。本文定义了一个全息衍射效率作为衡量全息成像的标准。全息衍射效率定义为目标区域内的光强与目标区域以外的光强的比值。通过计算得到全息衍射效率为91.8%，对应于极低的全息成像噪声。

根据这一研究成果，本文利用训练好的逆向设计程序，设计了多个字母的全息板，在 图3 中展示。结果显示，训练的逆向设计模型均能根据优化目标，逆向设计出相应的全息相位。这些全息想相位经过瑞丽索末菲衍射数值模拟，能够得到高于90%全息衍射效率的全息显示，这些结果证明了逆向设计的算法的可靠性和强大的逆向设计拟合能力。衍射效率定义为，目标光场区域的光强与目标区域外光强的比值。

图3. 探测区域为不同字母的点阵时的训练模拟成像及对应相位板。(a)~(f) 分别对应字母B, C, K, S, X, Z以及计算得到的全息相位板。其全息衍射效率分别对应为：91.26%，95.30%，89.60%，96.30%，95.34%，90.46%。标尺大小为20微米

在光学全息中的应用中，一个重要的方向是全息显示(holographic display)。全息显示要求全息成像是一个非离散的光场。非离散光场全息的实现要求全息具有较高的全息衍射效率 [24] 。因此，本文初步探索了利用逆向设计实现非离散光场全息的研究。

首先本文利用提所提出的基于瑞丽索末菲衍射的逆向设计的方法，对离散的光场图像(手写字母A)进行逆向设计的计算，计算结果如 图4(a) 所示。针对较大的目标函数区域，虽然逆向设计程序可以成功的将损失函数降低到理想的数值范围，但是利用瑞丽索末菲衍射的全息显示的恢复的数据显示，其全息衍射效率只有78.25%，这一参数远远低于离散光场的全息计算的结果。而且，在恢复的数字A的图像中，可以明显地看到其光强的分布并不均匀。

为了提高全息衍射效率，本文探索了缩小目标区域的大小对衍射效率的影响。从物理上而言，当全息相位板的像素数目和大小一定时，其能衍射的光强的比例取决于全息计算的目标区域的大小。针对较小的目标区域(较小的字母A图像)，逆向设计算法能够充分发挥所有全息相位板像素的衍射能力，提高全息衍射效率。计算结果如 图4(b) 所示。

当目标区域大小减小到原图的1/4时，逆向设计得到的全息相位板通过瑞丽索末菲衍射恢复出的图像的具有明显提高的亮度，其计算得到的全息衍射效率为92.58%。相比于较大的目标区域，这一数值提高了约10%。这一发现为逆向设计全息计算在实际中的应用提供了有力的指导方向。

对于字母内部光强分布极度不均的问题，本文猜测，对于执行全息任务的衍射单元，需要经过较大的衍射角实现全息，因此，就要求全息相位版的衍射单元具有较强的相位的调制能力。原有单一的损失函数不足以支撑对衍射单元相位调制能力约束的需求，需要更复杂的损失函数对神经元进行控制。在未来的研究中，将进一步对此进行深度探索和实验上的实现。