文献 [6] 中，第i个簇内的平均距离

$E_i={\displaystyle \underset{x\in D_i}{\sum }\frac{1}{n_i}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\Vert x-M_i\Vert }^2}}$,

簇间的距离

$E_0=\frac{1}{k}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\Vert M_i-M\Vert }^2}$

其中 $D_i$为第i个簇， $n_i$为第i个簇中样本个数，k表示簇的个数， $M_i$为第i个簇的质心，M为所有数据的中心。计算 $E_i$与 $E_0$的比值 $\frac{E_i}{E_0}$，当 $\frac{E_i}{E_0}$取局部最小即下降最快时，求出最优聚类数。在应用时发现， $\frac{E_i}{E_0}$的值有时不单调，容易出现反复。为了处理这种情况将两个公式分别改进。

首先，计算簇内平均距离d。簇内平均距离定义为每个簇中数据与该簇质心之间的距离的总和的平均值，其计算公式为：

$d=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{x\in D_i}{\sum }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\Vert x-M_i\Vert }^2}}$

其中n为样本的总个数。d越小，说明簇内的数据越紧凑，聚类效果越好。

接下来，计算簇间平均距离d₀。簇间平均距离定义为每个簇的质心之间距离的平均值，d₀的计算公式为：

$d_0=\frac{2}{k\left(k-1\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{\Vert M_i-M_j\Vert }^2\left(i<j\right)}}$

簇之间的距离d₀越大，类间的相似度就越小，聚类效果越好 [8] 。

最后，计算簇内平均距离与簇间平均距离的比值，并将此值命名为dd值。其表达式为：

$dd=\frac{d}{d_0}$

这个值可以作为评估聚类效果的标准。当簇内样本紧密而簇间距离较远时，聚类效果通常较好，此时dd值较小。反之，如果簇内样本分散或簇间距离过近，聚类效果较差，此时dd值会增大。dd值越大，聚类效果越差。显然当dd的值取局部最小值时，聚类效果最好，此时的k值即为最优聚类数，这种确定k值的方法称为双均值法。

基于优化初始聚类中心的K-means算法可以描述如下：

1) 初始化过程：设置k的初始值为1，并计算此时的EE值(误差平方和或能量函数值)。

2) 逐步增加k值：将k增加1，并重新计算EE值，将结果记录下来。

3) 确定最优k值：随着k的逐渐增大，并在每个k值下运行传统的K-means算法，并记录每次运行得到的EE值。选择使得EE值局部最小的k值作为最优聚类数，并确定最终的k值。

4) 选择初始聚类中心：从数据集中随机选择第一个数据点作为第一个聚类中心。

5) 重复选择聚类中心：继续从数据集中随机选择数据点，直到选择出k个初始聚类中心。

6) 计算距离：计算数据集中每个样本点到最近聚类中心的距离，记为D(x)。

7) 更新聚类中心：根据每个点D(x)的值，我们为各个类别挑选出新的聚类中心。选择的依据是概率，这个概率与D(x)的值成正比，也就是说，距离越近的点被选为新聚类中心的可能性越大。

8) 重复更新过程：不断重复步骤(7)，直到所有的k个聚类中心都被选中并更新。

9) 运行K-means算法：使用确定的最优k值和更新后的聚类中心，运行传统的K-means算法进行聚类。

通过上述步骤，我们可以实现基于优化初始聚类中心的K-means算法，以改进传统算法的效率和准确性。