车轮镟修一般分为落轮镟修和不落轮镟修，其中落轮车轮镟修的流程一般为，牵引动车组入库，车轮对位，测量与计算，镟修车轮，检查车轮表面，牵引出库。车轮镟修的原理如图所示，通过磨削轮径的方式来恢复轮缘厚度，如 图1 所示，下方的蓝色线表示车轮镟修之前的车轮轮廓，上方橙色线表示车轮镟修之后的车轮轮廓。

其中，蓝色的线代表车轮镟修之前的轮廓，橙色的线代表车轮镟修之后的轮廓， $\Delta D/2$为车轮半径的

切削量， $\Delta T$为恢复的轮缘厚度量， $\Delta D/\Delta T$为镟修比例系数，镟修比例系数k₀被定义为镟修前后车轮直径的减小量与轮缘厚度增大量之间的比率，本文的k₀值基于前人研究 [8] ，取k₀= 4.2。

某型车轮的轮对布置如 图2 所示，由导向轮对，中间轮对，三位轮对构成，其中1，4，7，10为导向轮对，2，5，8，11为中间轮对，3，6，9，12为三位轮对。

我们对每个车轮的数据建立磨耗曲线，经过初步比较，不难发现1号车轮磨损速度最快。原因是1号车轮为导向轮，当列车通过曲线轨道时，导向轮会受到侧向力的作用，车轮与轨道之间的摩擦力增加，使得导向轮的磨损程度相较于中间轮和三位轮更大，同时，列车的制动操作也会导致导向轮磨损更大。

列车车轮的参数包括轮缘厚度，轮缘高度，车轮直径等，在本文中，选择轮缘厚度Sd和车轮直径D作为研究对象。因为随着列车运行，这两个参数直接关系到车轮的使用寿命。为了保持列车安全运行，在列车运行以及车轮镟修过程中，列车车轮的参数需要在可接受的范围内。某型车轮的可接受范围规范如下：

$\begin{array}{l}26.0\text{mm}<Sd<34.0\text{mm}\\ 1150\text{mm}<D<1250\text{mm}\\ 0\text{mm}<\Delta D<100\text{mm}\end{array}$(1)

某型车轮的初始镟修方案为到达轮缘厚度下限26 mm后，将轮缘厚度恢复至轮缘厚度上限34 mm，此种方案的镟修结果为：镟修3次，寿命4.52年。然而这种镟修方案虽然返厂次数少，但存在很多弊端，例如：轮缘厚度数值较小时，车轮磨损过快，且车辆转弯时可靠性降低等。所以，制定更好的车轮镟修策略是亟待解决的问题。

在进行数据拟合之前，我们需要对数据进行预处理，数据的预处理一般为处理异常值和缺失值进行处理。在数据预处理后，为了准确地得到轮对的磨耗速率，本节对轮缘厚度和轮径的变化速率做出如下定义：

$\begin{array}{l}{v}_D=\frac{D_{t_{i+1}}-D_{t_i}}{t_{i+1}-t_i}\ast 9\\ v_T=\frac{T_{t_{i+1}}-T_{t_i}}{t_{i+1}-t_i}\ast 9\end{array}$(2)

其中，i和i + 1表示车轮检测的次数， $t_{i+1}$， $t_i$表示检测的天数， $D_{t_{i+1}}$， $D_{t_i}$表示当天检测的车轮直径的数值， $T_{t_{i+1}}$， $T_{t_i}$表示当天检测的轮缘厚度的数值。该型车轮的检测时间为8~10天，所以本文选取9天为检测的时间间隔。 $v_D$和 $v_T$表示轮径和轮缘厚度每间隔0.1毫米的轮径和轮缘厚度变化速率的平均值。轮径磨耗速率图和轮缘磨损速率图如 图3 和 图4 所示。

通过上述步骤最终得到轮径变化率、轮缘厚度变化率和轮径、轮缘厚度之间的关系，求得的磨耗函数如下：

$V_T=0.0709\times T^2-4.396\times T+68.23$(3)

$V_D=-0.001035\times D^2+2.5667\times D-1591.4$

车轮的寿命和轮缘厚度变化如 图5 所示，其中34毫米为初始轮缘厚度，Td_i为车轮镟修前的轮缘厚度，Tu_i为车轮镟修后的轮缘厚度，T_end为达到累积磨耗后的轮缘厚度。其中橙线为车轮运行磨损导致的轮缘厚度减少，黑色虚线为通过镟修对车轮轮缘厚度的恢复。

多目标约束目标函数问题在数学上可以定义为：

$\begin{array}{l}\underset{x}{\max }\text{or}\underset{x}{\min }{f}_i\left(x\right)=\left(f_1\left(x\right),\cdots ,f_M\left(x\right)\right)\\ x\in D\\ g_j\left(x\right)\le 0,j=1,\cdots ,p\end{array}$(4)

其中 $f_i\left(x\right)$表示第i个目标函数， $i=1,2,\cdots ,m$， $g_j\left(x\right)$是第p个约束条件， $j=1,2,\cdots ,p$，x满足D内的约束条件。

基于多目标优化的原理以及轮缘厚度变化的特点，下面先进行目标函数的选择和计算：

第一个目标函数选择为车轮的总寿命，车轮总寿命为:车轮轮缘厚度磨损的量除以轮缘厚度磨损速率。

$f_1\left(x\right)=\frac{1}{V_T}\left[{\displaystyle \underset{i}{\overset{n}{\sum }}\left(T{u}_i-T{d}_i\right)+34-T_{end}}\right]$(5)

第二个目标函数为单个车轮服役期间平均每年的成本，根据该型车辆得知，该车的车轮制造成本为8000元，考虑到本次研究的镟修为整车返厂的C4大修，根据进行单轮每次镟修平均成本为200元，基于此，每年的平均成本应为车轮制造成本加镟修成本之和除以车轮寿命。

$f_2\left(x\right)=\frac{8000+200n}{V_T}\left[{\displaystyle \underset{i}{\overset{n}{\sum }}\left(T{u}_i-T{d}_i\right)+34-T_{end}}\right]$(6)

考虑到最终输出的结果包括每次镟修前后的数值，下面附加约束条件：

1) 镟修前的轮缘厚度小于镟修后的轮缘厚度，以及每次镟修量的上限。经过测试，由于算法的寻优较为广泛，会找到一些不符合条件的镟修结果，应该对其进行排除，例如每次镟修恢复的轮缘厚度之间差距过大，例如第一次镟修恢复1 mm，第二次镟修恢复6 mm，这在实际中是不被允许的。于是，我们根据蒙特卡洛循环的结果，对每次的镟修值的上限进行了约束。

$g_1\left(x\right)=T{u}_i-T{d}_i$(7)

2) 由于车轮运行会导致轮缘厚度磨损，所以第n次镟修后的轮缘厚度应该大于n + 1次镟修前的轮缘厚度：

$g_2\left(x\right)=T{d}_{i+1}-T{u}_i$(8)

3) 轮径累积磨耗的数值，累积磨耗为车轮磨损量与镟修量的数值之和，其数值应小于轮径上下限的差值，

$g_3\left(x\right)=\left(\frac{V_D}{V_T}+k_0\right){\displaystyle \underset{1}{\overset{n}{\sum }}\left(T{u}_i-T{d}_i\right)}+\frac{V_D}{V_T}\left(34-T_{end}\right)$(9)

最后，为了统一目标函数，则目标函数及约束为：

$\underset{x}{\min }f\left(x\right)=\left(-f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)\right)$

$\text{s}\text{.t}\{\begin{array}{l}0<g_1\left(x\right)<E\\ g_2\left(x\right)<0\\ 0<g_3\left(x\right)<100\end{array}$(10)

将以上目标函数和约束输入MATLAB (R2022a, Math Works Inc., USA)的工具箱PlatEMO 4.0 [9] ，并在win10运行系统下对多目标优化模型进行仿真求解。结果如 表1 所示：

从 表1 可以看出，6次镟修的平均成本最低，是最佳的车轮镟修方案，也说明车轮镟修并不能一味的提高镟修次数。

NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II)即非支配排序遗传算法-II，由Deb [10] 提出，是一种多目标优化算法，其步骤包括用于解决具有多个相互矛盾目标的优化问题。其主要步骤为：初始化种群，评估个体适应度，按顺序选择，个体交叉，个体变异，重复迭代，生成结果在多目标优化的寻优过程中，会有大量的评价指标，为复杂的决策问题提供了全面而有效的衡量标准，帮助决策者在多个方面进行权衡和优化。这些评价指标能够体现不同决策选择之间的权衡关系和潜在的冲突点。通过综合考虑多个指标，可以更全面地评估决策方案的优劣。本文选择了一些常见的多目标优化的评价指标。

超体积HV (Hypervolume)，用于衡量优化算法搜索到的解集合与真实帕累托前沿之间的近似程度。HV越大，表示解集合具有更好的多样性和覆盖性。反世代距离IGD (Inverted Generational Distance)，是解集合与真实帕累托前沿之间的平均距离的逆指标。IGD越小表示算法生成的解越接近真实帕累托前沿。可行率Fr (Feasible rate)，用来衡量优化算法在搜索过程中找到满足约束条件的可行解的能力，越大越好，在指标相同时，迭代次数越小说明搜索速度越快。Spacing (分布间距)，Spacing用于衡量帕累托前沿中相邻解之间的距离，以评估解的分布情况。Spacing值越小，表示表示解在帕累托前沿上分布更加均匀。帕累托距离DeltaP (Delta Pareto)，是一种评估算法的搜索效果以及生成的解集合与真实帕累托前沿之间的接近程度。DeltaP的值越小，表示生成的解集合越接近真实帕累托前沿。帕累托前沿覆盖范围CPF (Coverage of Pareto Front)，指多目标优化问题中的非劣解集合，即没有其他解能在所有目标上同时取得更好结果的解。如果一个算法的CPF接近于1，说明该算法在搜索过程中能够有效地覆盖帕累托前沿分布值Spread，Spread越大，表示解集合越广泛地覆盖了帕累托前沿，具有更好的多样性和覆盖性。生成距离GD (Generational Distance)，用于衡量优化算法生成的解集与真实前沿之间的距离，用于衡量优化算法生成的解集与真实前沿之间的距离，GD越小表示生成的解越接近真实Pareto前沿，即算法的性能越好。

当可行率到1.00时，NSGA-II算法的迭代次数为3000次，GDE需要14,000次。由 表2 可以看出总体来说NSGA-II算法的效果优于GDE算法。

传统镟修方案缺陷在于，蒙特卡洛循环求解镟修策略缺陷在于随着轮径变化，轮缘厚度的磨耗速率也在发生变化，仅使用固定的镟修轮缘厚度修是不可取的，有优化的必要性。

从 表3 可以看出，NSGA-II求解的结果明显优于传统镟修方案和蒙特卡洛循环法，略优于GDE算法。