连续性在货币政策中极其重要，因为频繁和剧烈的政策转变可能会削弱政策效果，引起市场不稳定。平滑泰勒规则通过调整利率的过程中引入前期利率，使政策更加平滑，有助于维护经济和金融市场的稳定。因此，本文使用所有的历史数据来拟合利率平滑泰勒规则，并获取所有参数，为了方便使用最小二乘法(OLS)估计 [24] 所有参数以及提高拟合优度，本文在通货膨胀率前加入反应系数，利率平滑泰勒规则的公式如下：

$\begin{array}{c}{i}_t=\rho i_{t-1}+\left(1-\rho \right)\left[r_t^{\text{*}}+a_1{\pi }_t+a_2\left({\pi }_t-{\pi }^{\text{*}}\right)+a_3\left(y_t-y^{\text{*}}\right)\right]+{\epsilon }_t\end{array}$(1)

其中， $i_t$为t期利率， $\rho$为利率平滑系数， $i_{t-1}$为 $t-1$期利率， $r_t^{*}$为自然利率， ${\pi }_t-{\pi }^{*}$为通胀缺口， $y_t-y^{*}$为产出缺口。 $\rho$、 $r_t^{*}$、 $a_1$、 $a_2$和 $a_3$为待估计的参数。

进行利率预测时，长短期记忆(LSTM)模型相较于其他算法具有明显优势。首先，LSTM是一种能够处理序列数据的神经网络，可以捕捉时间序列数据中的依赖关系，而利率预测问题正是一个典型的时间序列数据预测问题。其次，LSTM具有记忆单元，可以避免梯度消失或爆炸问题，使得模型能够学习到更长的序列依赖关系。在处理利率预测问题时，利率的变化可能会受到许多因素的持续影响，使用LSTM可以更好地捕捉这些关系，从而提高预测的准确性。此外，LSTM在处理序列数据时具有较好的泛化能力，能够较好地应对数据中的噪声和变化。在实际应用中，利率的数据可能会存在如异常值等问题，使用LSTM可以较好地处理这一问题，并且能够适应数据的变化。而其他方法，如决策树、支持向量机等，在处理这些问题时可能表现不如LSTM。

综上所述，LSTM模型能够更好地捕捉利率的时间序列特征，提高预测的准确性，因此本文首先选择使用LSTM模型预测利率。

如 图1 所示，在LSTM中，遗忘门、输入门、单元状态和输出门是其中四个关键组成部分。

1) 遗忘门：决定哪些信息应该从单元的状态中被抛弃或保留。

$f_t=\sigma \left(W_f\left[h_{t-1},x_t\right]+b_f\right)$(2)

其中， $f_t$是在时间步t的忘记门的激活向量， $\sigma$是Sigmoid函数， $W_f$是遗忘门的权重矩阵， $b_f$是遗忘门的偏置项， $h_{t-1}$是前一个时间步的隐藏状态， $x_t$是当前时间步的输入。

2) 输入门：决定哪些新的信息将被存储在单元的状态中。

$i_t=\sigma \left(W_i\left[h_{t-1},x_t\right]+b_i\right)$(3)

${\tilde{C}}_t=\tanh \left(W_C\left[h_{t-1},x_t\right]+b_C\right)$(4)

其中， $i_t$是输入门的激活向量， ${\tilde{C}}_t$是候选单元状态，表示可能会加入到当前单元状态的新信息。

3) 单元状态：根据遗忘门和输入门的结果，更新细胞状态。

$C_t=f_t{C}_{t-1}+i_t{\tilde{C}}_t$(5)

其中， $C_t$是当前时间步的单元状态， $C_{t-1}$是上一个时间步的单元状态。

4) 输出门：从当前细胞状态中输出哪些信息到隐藏状态。

$o_t=\sigma \left(W_o\left[h_{t-1},x_t\right]+b_o\right)$(6)

$h_t=o_t\tanh \left(C_t\right)$(7)

其中， $o_t$是输出门的激活向量， $W_o$是输出门的权重矩阵， $b_o$是输出门的偏置项。

为进一步验证其他机器学习算法在预测利率方面的可行性，本文选择随机森林这一更为泛用的机器学习算法。随机森林能够有效处理高维数据，而利率的预测正需要多种经济数据，这些数据包含许多特征。随机森林通过构建多个决策树来处理这些高维数据，每个决策树都能捕捉到一部分特征的重要性，从而避免了单一模型因维度灾难而失效的问题。不仅如此，随机森林具有较强的抗过拟合能力和鲁棒性。由于其采用的是集成学习的方法，即通过结合多个决策树的预测结果来得到最终的预测值。一方面，这种机制可以减少单个决策树对特定训练数据集的过度依赖，从而提高模型的泛化能力；另一方面，即使其中一些决策树的表现不佳，整个模型的性能也不会受到太大影响。因此，在预测利率时，随机森林也是一个较为优越的算法。随机森林的结构原理如 图2 所示。

为了获得时间段内的所有利率预测值，本文所使用的是一种滚动窗口预测方法，这种方法的核心在于其迭代的过程：首先，将数据集的前两个月作为初始测试集(由于使用了利率滞后项，第一期数据剔除)，而将剩余的数据用作训练集来训练预测模型。在模型训练并预测了第一个两个月的利率之后，测试集会滚动到下一个三个月，同时新的测试集更新为该三个月以外的所有数据。这个过程持续进行，每次都将新的三个月数据作为测试集，以此类推，直至覆盖整个数据集。采用滚动窗口策略的好处在于，它既能够预测整个时间段内的所有数据，又能够防止信息泄露，即数据既在训练集中出现，又在测试集中出现。总的来说，这种方法提供了一种灵活、动态且可靠的方式来适应并预测复杂的金融时间序列数据。

在这两种方法下，模型参数调整是通过两种不同的优化技术实现的：LSTM模型通过贝叶斯优化框架(Optuna)进行参数调整，它利用历史信息来智能地选择参数，以便更有效地探索参数空间。随机森林模型采用了随机化搜索(Randomized Search CV)，这种方法通过在预定义的参数分布中随机采样来近似最优解。

利率预测的精确性对于经济政策制定和金融市场的稳定性至关重要。通过将预测利率对应的GDP和CPI与实际值进行比较，可以有效评估预测利率的准确度和可靠性。这种做法的主要支持理由在于GDP和CPI作为两个核心经济指标，它们的表现直接影响到利率的调整和货币政策的制定。

首先，GDP是衡量国家经济活动总量的指标，反映了经济的总体健康状态。预测的利率通常基于对未来经济增长的预期；如果实际GDP与预测值相差较大，这可能表明利率预测未能准确反映经济实际运行情况，从而指出需要调整利率预测模型或输入参数。其次，CPI是衡量通胀水平的重要指标，通胀预期是中央银行设定利率的重要依据。如果预测利率下的CPI与实际通胀率出现显著偏差，这意味着利率水平可能没有适当反应经济中的价格变动，进而影响到货币政策的有效性。

为了能够获取不同利率水平对应的GDP和CPI，本文构建了两个多元线性回归模型，通过估计不同变量的反应系数进而计算具体的GDP和CPI数值。模型如下：

$\begin{array}{c}GD{P}_t=a_{1}I{R}_{t-1}+a_{2}S{M}_{t-1}+a_{3}E{R}_{t-1}+a_{4}PG{R}_{t-1}+a_{5}I{E}_{t-1}+a_{6}U{R}_{t-1}+{\epsilon }_t\end{array}$(8)

$\begin{array}{c}CP{I}_t=a_{1}I{R}_{t-1}+a_{2}S{M}_{t-1}+a_{3}E{R}_{t-1}+a_{4}PG{R}_{t-1}+a_{5}I{E}_{t-1}+a_{6}U{R}_{t-1}+{\epsilon }_t\end{array}$(9)

其中，IR为利率，利率是中央银行控制货币供应和稳定经济的主要工具。较低的利率可以刺激企业投资和消费者支出，从而提升GDP，但同时也可能导致CPI上升，因为货币供应增加可能引发通货膨胀。相反，较高的利率旨在遏制通货膨胀，可能会通过减缓经济活动而对GDP产生负面影响。SM为上证指数，上证指数反映了中国最大的股票市场之一的整体表现，通常被视为经济信心的晴雨表。股市的繁荣通常与企业盈利能力和投资增长相关联，这有助于推动GDP增长；然而，股市波动也可能加剧经济周期性波动，影响消费者和企业的信心，进而影响CPI。ER为有效汇率，有效汇率，尤其是实际有效汇率，衡量的是一国货币相对于其主要贸易伙伴的货币的综合强弱，并调整了通货膨胀差异。一个国家的货币如果在实际条款中走强，可能会抑制出口增长(因为商品和服务对外国买家来说变得更昂贵)，这可能对GDP造成压力。同时，强势货币可能会降低进口商品的价格，从而对CPI产生下行压力。PGR为人口自然增长率，人口自然增长率影响劳动力市场供应，进而影响生产潜力和消费需求。人口增长可以扩大经济规模，理论上可以促进GDP的增长；同时，更多的消费者意味着更高的消费需求，可能会推升CPI。IE为进出口总额，进出口活动是国际贸易的直接体现，是连接国内经济与全球市场的纽带。出口的增加可以直接增加GDP，而进口的增加提供了消费者和企业对外国产品的需求，这可以在短期内抑制国内价格水平，影响CPI。UR为失业率，失业率是劳动力市场健康的关键指标，高失业率可能意味着经济资源的闲置，导致GDP增长放缓。此外，高失业率通常会降低工资压力，减少消费者的购买力，可能会对CPI产生下行压力。

泰勒规则所关注的核心指标为通货膨胀缺口和产出缺口。通货膨胀缺口是指实际通货膨胀率与目标通货膨胀率之差，CPI是衡量一篮子商品和服务价格变动的指标，通常被用来反映通货膨胀的水平。通货膨胀缺口反映了当前经济中通货膨胀率偏离目标的程度，目标通货膨胀率是根据每年国家官方发布的“国民经济和社会发展计划执行情况”中的预期CPI确定的。产出缺口是指实际产出与潜在产出之间的差距，潜在产出可以理解为在经济运行在充分就业和资源利用水平的情况下可以实现的产出水平。HP滤波是一种常用的时间序列分解方法，用于将原始时间序列分解为趋势和波动两个部分。对于产出缺口的测度，可以使用HP滤波对实际产出进行处理，从而得到趋势部分(潜在产出)和波动部分(经济波动) [25] 。本文以2010年的GDP为基期，将名义GDP转化为实际GDP，并使用X-12法对实际GDP进行季节调整以消除季节性和周期性的影响，再在此基础上将季度数据转化为月度数据。

机器学习算法的一个优点是可以加入诸多数据并捕捉这些数据的复杂关系。本文使用上期通货膨胀率、上期通胀缺口、上期产出缺口、上期美国国债收益率、上证指数、上期人口增长率和上期利率来预测当期利率。美国国债十年期收益率是全球利率水平的一个基准，可以影响包括中国在内的其他国家的利率。上证指数反映了中国股市的整体表现，股市的表现与利率政策密切相关，因为利率变化会影响投资者对股票的预期回报。人口增长率反映了劳动力市场的潜在供给情况，长期来看，人口增长率对经济增长和通胀有着深远影响，进而可能影响到利率水平。最后，上期利率作为历史数据，可以帮助分析利率的趋势和周期性变化，为预测未来利率水平提供参考。由于部分数据可得性的限制，本文使用了1996年1月~2023年12月的数据，变量的选取及描述性统计见 表1 。

注：以上数据从中国人民银行、choice数据库、国泰安数据库等搜集。

泰勒规则中所有的参数见 表2 。依据泰勒规则，应当使用当期的通货膨胀率、通货膨胀缺口、产出缺口来预测当期的利率。一方面，考虑到统计数据的滞后性，当期的经济数据只能在下一期时获得，因此中央银行在t期只能就第t − 1期掌握的信息集合选择决策，另一方面，在回归方程中已经使用了第t − 1期的利率数据来确定平滑系数，为了避免同样的数据既出现在拟合方程中，又出现在预测方程中，所以本文使用第t − 2期的利率、第t − 1期通货膨胀率、通货膨胀缺口、产出缺口来预测第t期的利率。

三种方法预测的利率分别绘制于 图3~5 中，可以发现泰勒规则也拥有较好的预测效果，这是由于利率平滑系数达到了0.93，过高的平滑系数表明货币政策向规则利率的调整速度极其缓慢，如0.93的平滑系数表明，当期的利率有93%与上一期相同，仅以7%的速度进行调整，明显与现实不符。这也正说明模型的拟合值优异只能说明与现有市场利率拟合得较好，并不能说明估计的货币政策反应函数就是最优的或符合现实的 [12] 。

当评价预测模型的精确度时，使用的常见指标包括均方根误差(RMSE)、均方误差(MSE)、平均绝对百分比误差(MAPE)和平均绝对误差(MAE)。这些指标各自从不同角度衡量了模型预测值与实际值之间的差异。

预测精准度的结果见 表3 ，RMSE是观测值与真值偏差的平方值的平均数的平方根。它衡量的是预测值的变异性，或者说预测值与实际值之间的离散程度。RMSE值越小，表示模型的预测精度越高。在本例中，LSTM模型的RMSE值是0.004766182，而泰勒规则的RMSE值是0.00603952，这意味着LSTM模型的预测值与实际值之间的离散度更小，预测结果更为稳定。MSE是观测值与真值偏差的平方值的平均数。它与RMSE的区别在于没有取平方根，因此对异常值更加敏感。MSE提供了一个关于预测误差大小的量化指标。LSTM模型的MSE值是0.00002271，相对于泰勒规则的0.00003647，这表明LSTM模型在预测时所产生的误差较小。MAPE是一个衡量预测结果精确度的指标，它表示预测值偏离实际值的程度。MAPE越低，表明预测模型的精度越高。在本例中，LSTM模型的MAPE值是9.070010578%，低于泰勒规则的11.02674025%，这说明LSTM模型在平均水平上提供了更接近真实值的预测。MAE是预测值与实际值之间差的绝对值的平均。这是一个直观的衡量预测准确性的指标，因为它以与原数据相同的单位来衡量误差。LSTM模型的MAE值是0.002830489，相比之下，泰勒规则的MAE为0.003471822，说明LSTM模型在平均意义上更能准确预测实际值。随机森林模型在这些指标上的表现也非常出色，尤其是在RMSE和MAPE上，其表现仅略逊于LSTM模型，这表明它在预测上具有较高的可靠性和准确性。尽管随机森林在MSE和MAE上的数值稍高于LSTM模型，但这些差异相对较小，仍然表明随机森林是一个非常有效的预测方法。

总体而言，LSTM和随机森林模型的表现说明了它们能够在预测利率上提供更为精确的结果。

对GDP和CPI的多元回归结果见 表4 ，根据这些响应系数，可以获得不同因素对GDP和CPI的影响方向和影响程度。其中，a₁是本文重点关注的对象，即利率对GDP和CPI的影响，通过将实际利率替换为泰勒规则预测利率、LSTM预测利率、随机森林预测利率，可以计算出不同的利率对应的GDP和CPI。并将计算出的GDP和CPI和真实值的残差平方和(RSS)见 表5 。

根据 表5 结果分析，LSTM和随机森林方法在预测GDP和CPI方面的表现都优于泰勒规则。具体来说，LSTM和随机森林方法的残差平方和值均低于泰勒规则，表明它们的预测精度更高。在GDP预测中，LSTM的残差平方和为26,819,335，随机森林为26,805,818，都低于泰勒规则的26,856,742；在CPI预测中，LSTM的残差平方和为778.547，随机森林为785.399，同样低于泰勒规则的803.236。这说明与传统的泰勒规则相比，LSTM和随机森林这两种新型预测方法能够更准确地捕捉经济指标的变化趋势，在宏观经济分析中具有较强的应用价值和前景，能够更好地服务于货币政策。