由于地球物理场的无限性和我们所能观测到的场的有限性，任何地球物理反演都存在着多解性问题。我们希望在反演时能够尽可能得到光滑、简单的模型。寻求光滑模型可以在反演过程中避免被一些不重要的数据特征所误导，得到更贴合实际情况的模型。Occam反演是一种广泛使用的求取光滑模型一维反演方法，不仅考虑数据拟合项，而且计算了模型的粗糙度矩阵 [7] [8] [9] [10] 。下面对Occam反演的原理做简要的介绍。

在Occam反演中反演的目标函数为：

$U={\Vert \partial m\Vert }^2+{\mu }^{-1}\left\{{\Vert Wd-WGm\Vert }^2-X_{*}^2\right\}$(1)

式中第一项为模型粗糙度范数，可以通过对模型参数向量差分求解的代表粗糙度矩阵，具有多种定义形式，一阶模型粗糙度矩阵为

$\partial =\left(\begin{array}{ccccc}0& & & & 0\\ -1& 1& & & \\ & -1& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ 0& & & -1& 1\end{array}\right)$(2)

$m=\left(m_1,m_2,m_3,\cdots ,m_N\right)$为模型参数向量，在一维电磁反演中是各层的电阻率值； $d=\left(d_1,d_2,d_3,\cdots ,d_N\right)$代表数据向量，即真实模型正演得到的场值响应；W是一个对角矩阵、称为误差加权矩阵，对角线上的元素是数据的方差；G为正演算子； $\mu$称为拉格朗日乘子，用于平衡数据拟合项和模型光滑项。 $X_{*}^2$是目标的拟合差，正是由于此项的存在，才使目标函数U取最小值时无需寻找最佳拟合模型。对目标函数而言，要想求得最小值只需要让U对m的梯度为零即可，经过线性代数的一系列变换，可以得到

${\mu }^{-1}{\left(WG\right)}^{\text{T}}WGm-{\mu }^{-1}{\left(WG\right)}^{\text{T}}Wd+{\partial }^{\text{T}}\partial m=0$(3)

从中提取出m

$m={\left[\mu {\partial }^{\text{T}}\partial +{\left(WG\right)}^{\text{T}}WG\right]}^{-1}{\left(WG\right)}^{\text{T}}Wd$(4)

实际上在电磁法正演中场值响应与模型参数是非常复杂的函数式，G不可能是一个线性算子，我们将其用一个非线性算符F替换。根据泰勒展开定理

$F\left(m_{k+1}\right)=F\left(m_k+\Delta m\right)=F\left(m_k\right)+{\nabla }_{m}F\cdot \Delta m$(5)

${\nabla }_{m}F=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1\left(m_k\right)}{\partial m_1}& \cdots & \frac{\partial F_1\left(m_k\right)}{\partial m_N}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_M\left(m_k\right)}{\partial m_1}& \cdots & \frac{\partial F_M\left(m_k\right)}{\partial m_N}\end{array}\right]$(6)

同理运用前面线性算子推导时的方法，可以最终获取模型迭代更新公式

$m_{k+1}={\left[\mu {\partial }^{\text{T}}\partial +{\left(WJ\left(m_k\right)\right)}^{\text{T}}WJ\left(m_k\right)\right]}^{-1}{\left(WJ\left(m_k\right)\right)}^{\text{T}}Wd$(7)

如 图1 所示一维层状模型，以电偶极源的中心作为原点，通以谐变电流 $I_0{\text{e}}^{-i\omega t}$，电偶极矩的的大小为 $IdL$，以电偶源所在的轴为x轴、z轴垂直向下，建立空间直角坐标系。N层水平层状介质中第n层的电阻率和厚度分别记为 ${\rho }_n$和 $h_n$。由麦克斯韦方程组出发，通过求解场满足的非齐次亥姆霍次方程或通过求电洛伦兹势所满足的方程来求解电磁场 [11] [12] 。在此不再赘述推导，直接给出准静态极限条件下(忽略位移电流)柱坐标系中，一维模型下电磁场各分量的表达式。

$\begin{array}{l}{E}_r=\frac{IdL}{2\pi }\cos \phi [\frac{i\omega \mu }{r}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{1}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}-{\rho }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m{m}_1}{R}{J}_0\left(mr\right)\text{d}m}\\ +\frac{{\rho }_1}{r}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m_1}{R}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}]\end{array}$(8)

$\begin{array}{l}{E}_{\phi }=\frac{IdL}{2\pi }s\text{in}\phi [\frac{{\rho }_1}{r}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m_1}{R}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}-i\omega \mu {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m}{m+m_1/R^{*}}{J}_0\left(mr\right)\text{d}m}\\ +\frac{i\omega \mu }{r}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{1}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}]\end{array}$(9)

$H_r=-\frac{IdL}{2\pi }sin\phi [{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}+r{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m_1}{R^{*}}\frac{m}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}]$(10)

$H_{\phi }=\frac{IdL}{2\pi r}cos\phi {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}$(11)

$H_z=\frac{IdL}{2\pi }sin\phi {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{m^2}{m+m_1/R^{*}}{J}_1\left(mr\right)\text{d}m}$(12)

其中，r为收发距， $\phi$为坐标原点与测点坐标连线与x轴正方向的夹角；m在此称为空间频率； $\mu$为磁导率， $\omega$为角频率。

$m_j=\sqrt{m^2-k_j^2},k_j^2=-i\omega \mu {\sigma }_j,\coth x=\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}$(13)

$R^{*}=\coth \left[m_1{h}_1+{\coth }^{-1}\frac{m_1}{m_2}\coth \left(m_2{h}_2+\cdots +{\coth }^{-1}\frac{m_{N-1}}{m_N}\right)\right]$(14)

$R=\coth \left[m_1{h}_1+{\coth }^{-1}\frac{m_1{\rho }_1}{m_2{\rho }_2}\coth \left(m_2{h}_2+\cdots +{\coth }^{-1}\frac{m_{N-1}}{m_N}\frac{{\rho }_{N-1}}{{\rho }_N}\right)\right]$(15)

当一维模型简化为均匀半空间时，N = 1，此时磁场各分量的表达式可以简化为如下形式：

$H_r=-\frac{IdL}{4\pi r^2}\sin \phi \{6I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)+ikr[I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_0\left(\frac{ikr}{2}\right)-I_0\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)]\}$(16)

$H_{\phi }=\frac{IdL}{2\pi r^2}\cos \phi I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)$(17)

$H_z=-\frac{3IdL}{2\pi k^2{r}^4}\sin \phi \left[1-{\text{e}}^{-ikr}\left(1+ikr-\frac{1}{3}{k}^2{r}^2\right)\right]$(18)

对均匀半空间下磁场三分量表达式的同向分量和正交分量在小感应数下做级数展开，得到如下(19)~(21)式。其中的Q表示三个磁场分量的正交分量，In表示三个磁场分量的同相分量。

$\begin{array}{l}In{H}_r=-\frac{IdL\sin \phi }{4\pi r^2}\left[1-\frac{3\pi }{64}\left(\sigma \mu \omega r^2\right)\right]\\ Q{H}_r=-\frac{IdL\sin \phi }{4\pi r^2}\left[\frac{\sigma \mu \omega r^2}{8}\ln \left(\frac{{\left(\sigma \mu \omega \right)}^{1/2}r}{2}\right)\alpha +\frac{3}{32}\left(\sigma \mu \omega \right)r^2\right]\end{array}$(19)

$\begin{array}{l}In{H}_{\varphi }=\frac{IdL\cos \phi }{4\pi r^2}\left[1+\frac{3\pi }{32}\left(\sigma \mu \omega \right)r^2\right]\\ Q{H}_{\varphi }=\frac{IdL\cos \phi }{4\pi r^2}\left[-\frac{\sigma \mu \omega r^2}{8}\ln \left(\frac{{\left(\sigma \mu \omega \right)}^{1/2}r}{2}\right)\alpha +\frac{1}{32}\left(\sigma \mu \omega \right)r^2\right]\end{array}$(20)

$\begin{array}{l}In{H}_z=\frac{IdL}{4\pi r^2}\sin \phi \left(1-\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}{r}^2}\right)\\ Q{H}_z=-\frac{IdL}{4\pi r^2}\sin \phi \left(\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}{r}^2}+\omega \mu \sigma r^2\right)\end{array}$(21)

皇祥宇和汤井田从(19)~(21)式发现将H_r与H_φ或者将H_r与H_z进行组合，可以有效地消去这些磁场分量中含有的一次场部分。皇祥宇将这两种一次抵消装置分别称为H_rH_φ装置和H_rH_z装置 [6] 。以H_rH_φ装置为例，

$\left(In{H}_r\cdot \cos \phi +In{H}_{\varphi }\cdot sin\phi \right)=\frac{IdL}{4\pi r^2}\cdot sin\phi \cos \phi \left[\frac{9\pi }{64}\left(\sigma \mu \omega r^2\right)\right]=\frac{9\sqrt{2}IdL}{256}\sigma \mu \omega \cdot sin\phi \cos \phi$(22)

$\left(Q{H}_r\cdot \cos \phi +Q{H}_{\varphi }\cdot sin\phi \right)=\frac{IdL\sigma \mu \omega }{16\pi }\cdot sin\phi \cos \phi \left[-\ln \left(\frac{{\left(\sigma \mu \omega \right)}^{1/2}r}{2}\right)\alpha -\frac{1}{4}\right]$(23)

可以看到无论是同相分量还是正交分量，经过处理后表达式中均不再含有任何一次场。根据不同坐标系下场值分量之间的转换关系，发现在45˚方位角时，可以用H_y来表示H_rH_φ合成场。

本文则通过对磁场求取频率导数消去一次场，解析式中只有k含有频率项。(16) (17)式中含有虚宗量贝塞尔函数，需要结合虚宗量贝塞尔函数的性质 [13] [14] 。经过一系列数学推导可以得到磁场三分量频率梯度如下(24)式，从而本文获得了另一种消去一次场的方法。

$\begin{array}{c}\frac{\partial H_r}{\partial f}=\frac{iIdL\mu \sigma }{4k{r}^2}\sin \phi \{\left(k{r}^2-\frac{12}{k}\right)I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)-3ir[I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_0\left(\frac{ikr}{2}\right)\\ -I_0\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)]-k{r}^2{I}_0\left(\frac{ikr}{2}\right)K_0\left(\frac{ikr}{2}\right)\}\\ \frac{\partial H_{\phi }}{\partial f}=-\frac{iIdL\mu \sigma }{2k{r}^2}\cos \phi \{-\frac{2}{k}{I}_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)-\frac{ir}{2}[I_1\left(\frac{ikr}{2}\right)K_0\left(\frac{ikr}{2}\right)-I_0\left(\frac{ikr}{2}\right)K_1\left(\frac{ikr}{2}\right)]\}\\ \frac{\partial H_z}{\partial f}=\frac{\partial H_z}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial f}=\frac{3iIdL\mu \sigma }{2r^4{k}^4}\sin \phi \left[\left(2+2ikr-k^2{r}^2-\frac{1}{3}i{k}^3{r}^3\right){\text{e}}^{-ikr}-2\right]\end{array}$(24)

将径向磁场频率梯度与E_x、H_x、H_z分量反演结果对比，收发距分别为400米、600米、1000米。G型模型的反演结果见 图2 。结果可看出径向磁场频率梯度在四组不同的小收发距上均能恢复出高阻基底，但对界面的深度识别效果则不如电阻率。E_x、H_x、H_z分量的反演效果受收发距影响较大，在收发距400 m处三个分量反演完全不能恢复高阻层，尤其是两个磁场分量对高阻基底毫无反映，反演曲线几乎是条直线。随着收发距的增大，三分量的恢复效果逐渐变好。在1000 m处，H_x、H_z分量具有一定的反演效果，E_x表现出较好的反演结果。

对于H型模型反演结果见 图3 ，径向磁场频率梯度反演结果与两层的G型相似，几乎不受收发距的影响，四条不同收发距下的反演曲线形态基本相同。H_r频率梯度不仅可以恢复中间低阻层的电阻率，对底层的高阻也有着很好的恢复效果，曲线深部端未出现震荡现象。E_x、H_x在400米时几乎无任何反演效果，随着偏移距的增加，反演结果逐渐对中间低阻层有所反映。H_z虽然在不同的收发距下均可以反演出低阻层，但曲线尾支未能回到高阻层电阻率值。可以看出在H模型下E_x分量的反演结果受收发距影响较大，反演曲线偏离模型真实电阻率值上下摆动，出现明显的震荡性。 图4 为H_r频率梯度与场单分量反演的拟合差收敛曲线。

图2. H_r频率梯度G型模型一维反演结果对比

将切向磁场频率梯度与E_x、H_y、H_z分量反演结果对比，收发距分别为400米、800米、1000米。G型模型的反演结果见 图5 ，从反演结果可以看出H_φ频率梯度和H_y在四组不同的小收发距上均能恢复出高阻基底，收发距的改变对曲线形态几乎无影响。近场源下的反演可以恢复各层电阻率，但对界面的深度识别效果则不如电阻率。与H_y相比，H_φ频率梯度对电性分界面更为敏感一些，反演结果更接近真实分层情况。而E_x、H_z只有在1000米时对模型电阻率才有较好的恢复效果。

图3. H_r频率梯度H型模型一维反演结果对比

图4. H_r频率梯度Occam反演Rms曲线

图5. H_φ频率梯度G型模型一维反演结果对比

对于H型模型反演结果见 图6 ，反演收发距分别为600米、800米、1200米。H_φ频率梯度反演结果与H_y的反演结果对中间低阻层电阻率的恢复效果相当，几乎不受收发距的影响。此二者在很小的偏移距下就可得到满意的反演结果。而与之对比明显的是E_x分量在400米时几乎无任何反演效果、H_z分量反演只能看出低阻存在，对底层无任何反应。随着偏移距的增加，E_x、H_z反演结果也无法恢复模型真实电阻率，且出现了明显的振荡现象。 图7 为H_φ频率梯度与场单分量反演的拟合差收敛曲线。

图6. H_φ频率梯度H型模型一维反演结果对比

将垂直磁场频率梯度与E_y、H_x、H_y分量反演结果对比，收发距分别为400米、800米、1000米。G型模型的反演结果见 图8 ，结果可看出H_z频率梯度和H_y分量在四组不同的小收发距上均能恢复出高阻基底，但对界面的深度识别效果则不如电阻率。H_y分量的反演结果在对深部电阻率的恢复上明显优于H_z频率梯度。E_y、H_x分量的反演效果受收发距影响较大，在收发距400 m处反演结果几乎对高阻层毫无反映，反演曲线几乎是条直线。随着收发距的增大，E_y、H_x的恢复效果逐渐变好，反演结果逐渐逼近底层高阻值。但直到收发距增大到1000 m时，才具有一定的反演效果。

图8. H_z频率梯度G型模型一维反演结果对比

H型模型的反演结果见 图9 ，反演收发距600米、800米、1000米。当收发距为600米时，两种一次场消去方法反演曲线几乎重合，曲线各部分都可以完全恢复模型各层的真实电阻率，相对而言对深度的恢复效果略弱，反演出的低阻层厚度要大于实际层厚。E_y、H_x反演结果随收发距变化明显，在600米时，两者的反演结果完全无法看出电性结构的分层，这与两层模型下600米的反演能够看出高阻体存在有明显不同，说明模型复杂后在同样的收发距下反演效果变差。收发距增加后H_x反演结果很快反映了中间低阻层的存在，但是无论偏移距如何增加，H_x反演曲线的尾端始终无法恢复高阻层。 图10 为H_z频率梯度与场单分量反演的拟合差收敛曲线。

图9. H_z频率梯度H型模型一维反演结果对比

设计了系列模型对不同一次场消去方法一维反演结果进行对比，D型模型收发距400米，600米，K型模型收发距分别为600米，1000米。对比了本文提出的三种磁场频率梯度反演结果和H_rH_φ组合场反演结果。从 图11 、 图12 可以看出，四种小感应数测深方法均可以实现在近场源的一维反演，反演曲线的形态不会随偏移距有较大改变，四种方法反演结果并无太大差别。对D型模型的反演效果很好、但是对K型模型则难以恢复到真实电阻率值的一半。综合所有反演结果来看，磁场频率梯度可以实现理论上的近场源一维反演，对低阻层有着良好的恢复效果，但对复杂模型中的高阻体则不够敏感，无法反演出真实电阻率值。 图12 为不同一次场消去方法K型模型一维反演拟合差收敛曲线。

图11. 不同一次场消去方法D型模型一维反演结果对比

图12. 不同一次场消去方法K型模型一维反演结果对比