本文数据来源于国家统计局网站，选取2015年1月~2021年12月 $\left\{x_t,t=0,1,2,\cdots ,83\right\}$的全国铁路客运量月度数据为原始数据，其中2015年1月为起始时刻( $t=0$)，数据无缺失值。

通过 图1 可知，在2015年至2019年期间，中国铁路运输业客运量受气候条件、工农业生产活动、居民节假日等风俗习惯以及国民经济发展等因素的周期性影响，呈现出明显的季节性波动，周期为12个月，且呈现出明显的递增趋势。然而，在2020年2月，铁路客运量突然骤减至3723万人，相较上个月的27126万人，减少了23403万人。这一急剧下降的趋势可以推断为新冠疫情的蔓延所导致的结果。政府为了遏制疫情的蔓延，采取了一系列紧急措施，包括限制人员流动和加强卫生防护措施，这直接导致了客运量的急剧下降。

从2020年3月开始，铁路客运量呈现出逐渐递增的趋势，然而仍未恢复到疫情前的水平。表明疫情对铁路客运量产生了长期的影响。随着疫情逐渐得到控制，人们对于出行的需求可能会逐渐恢复，但疫情防控措施对于客运量的影响可能会持续一段时间。

通过数据的趋势分析可知包含季节性特征，需建立ARIMA模型的季节乘积模型ARIMA (p, d, q) (P, D, Q)^s。该模型是在ARIMA的基础上加入了季节性部分。(P, D, Q)^s表示季节部分，其中s表示季节性频率。

干预分析模型是在对事件建立时间序列模型的基础上，将干预事件纳入考虑范围，对模型进行相应调整和整合，以建立更精确、完善的预测模型。

干预变量有两种表示形式：

(1) 持续性干预变量，表示时间序列在T时刻受到干预，干预发生后序列受到持续影响，此时干预变量用阶跃函数表示：

$S_t^T=\{\begin{array}{c}0,干预事件发生之前\\ 1,干预事件发生之后\end{array}$(1)

(2) 短暂性的干预变量，表示时间序列在某一时刻受到干预，干预与仅在该时刻产生影响，此时干预变量用脉冲函数表示：

$P_t^T=\{\begin{array}{c}0,其它事件\\ 1,干预事件发生时\end{array}$(2)

在研究中必须选择恰当的干预形式，以反映序列中紧急变量的波动情况干预事件的形式。

根据前文的分析可知，2020年1月我国铁路客运量的数值为27126万人，而2月为3723万人，由此可知疫情冲击从2020年2月开始的，因此本文按照外部事件的发生分将数据为两个时期：第一个时期为2015年1月至2020年1月 $\left\{x_t,t=0,1,2,\cdots ,61\right\}$，该时期的铁路客运量未受到疫情影响；第二个时期为2020年2月至2021年12月 $\left\{x_t,t=62,63,64,\cdots ,83\right\}$。由于疫情防控对铁路客运量的影响是在2020年2月份突然发生，并且该影响会产生持续作用，故设定干预变量 $I_t^T=S_t^T$，干预影响为：

$Z_t=\frac{\omega \left(B\right)}{\delta \left(B\right)}{S}_t^T+{\epsilon }_t,S_t^T=\{\begin{array}{c}0,t<T=62\\ 1,t\ge T=62\end{array}$(3)

其中{ ${\epsilon }_t$}为状态零均值白噪音。当 $\delta \left(B\right)=1$时，退化为 $Z_t=\omega \left(B\right)S_t^T$，意味着干预事件的影响突然开始，定性分析不能判断显示模型的准确形式 [13] 。

干预分析模型建模的具体步骤如下 [11] ：

(1) 首先，利用未发生干预事件前的序列数据进行建模，创建单变量时间序列模型。通过该模型对一定时间段内的序列进行外推预测，从而获得在没有干预事件发生时的预测数值。

(2) 然后，对干预的影响进行量化分析。通过实际观测值与预测值之间的差异来确定干预事件对原始序列的影响程度，进而推导出干预模型的相关参数。

(3) 接着，计算并获得排除了干预影响后的数据，建立基于这些数据的单变量时间序列模型，以便进一步分析和预测序列的变化趋势。

(4) 综合以上步骤，构建完整的干预分析模型。

经过自相关函数和偏自相关函数分析，在通过残差白噪音的基础上，采用最小信息准则(AIC)对模型的阶数进行判定。最后综合考虑预测效果及参数显著性，建立最优模型为 $\text{ARIMA}\left(\left(1,2\right),0\right)\times {\left(0,1,1\right)}^{12}$模型的参数估计如下：

注：^***，^**，^*分别表示通过1%，5%，10%显著性检验

结果表明，以上参数估计值具有统计意义。模型 $\text{ARMA}\left(3,1,0\right)\times {\left(0,1,1\right)}^{12}$为：

$\nabla {\nabla }_{12}{x}_t=\frac{1-0.43895B^{12}}{1+0.63232B+0.43735B^2}{\epsilon }_t$(4)

接着利用 $\text{ARMA}\left(3,1,0\right)\times {\left(0,1,1\right)}^{12}$模型预测未来23期，即2020年2月至2021年12月我国铁路客运量的预测值。

图2 表示的是2015年1月至2020年1月的实际值与预测值，其中，虚线是置信水平95%的预测置信区间，中间的实线是预测值。*表示真实值

本研究已运用建立的第一个时期的ARIMA季节乘积模型外推预测了2020年2月至2021年12月 $\left\{x_t,t=62,63,64,\cdots ,83\right\}$没有干预作用时的人数预测值，用实际值减去预测值，得到的差值解释疫情产生的影响程度 [14] ，记为 $Z_t$，具体数值如下表所示

续表

由于 $Z_t$序列无趋势性及周期性，且白噪音检验表明 $Z_t$序列相关性不显著(p > 0.1)，任何ARMA模型系数的显著性检验均未通过。因此，干预影响退化为 $Z_t=\omega S_t^T+\epsilon$， $t>61$ [14] 。参数点估计 ${\omega }^{*}=-11730.26763$为序列 $Z_t$的均值，随机误差项标准差估计为 ${\sigma }_{\epsilon }^{*}=6510.564367$。这里表明，干预作用在统计意义上表现出了突发性和持续性。这一结论与我们对疫情的认知相一致。

净化序列指的是消除了干预影响的序列，由实际值 $x_t$减去干预影响值 $Z_t$得到：

$y_t=x_t-Z_t^{*}=x_t-{\omega }^{*}{S}_t^T$(5)

式中， $y_t$代表净化值，

$S_t^T=\{\begin{array}{c}0,t<T=62\\ 1,t\ge T=62\end{array}$(6)

对净化序列 $y_t$建立拟合模型时，仍然选择ARIMA季节乘积模型，利用SAS软件反复调试后，最优模型为 $\text{ARIMA}\left(8,2,1\right)\times {\left(1,1,0\right)}^{12}$。

$\nabla {\nabla }_{12}{y}_t=\frac{1+0.88211B}{\left(1+0.49007B^8\right)\times \left(1+0.58595B^{12}\right)}{\epsilon }_t$(7)

利用上文过程和参数估计结果，最终确定干预分析模型形式如下：

${\hat{x}}_t=\frac{1+0.88211B}{\left(1+0.429007B^8\right)\times \left(1+0.58595B^{12}\right)}{\epsilon }_t+{\omega }^{\ast }{S}_t^T$(8)

式中， $S_t^T=\{\begin{array}{c}0,\left(t<62\right)\\ 1,\left(t\ge 62\right)\end{array}$。

为检验模型的建立及拟合成果，绘制拟合效果图如下：

根据 图3 可观察到，在干预事件发生之前，大部分拟合线(虚线)与原始数据线(实线)较为吻合。对于我国铁路客运量未来5期的预测，呈现出波动上升的趋势。在没有其他干预事件的情况下，可以判断该预测符合实际走向。使用均方根误差RMSE来衡量精确预测精度，计算结果为2856.15949，预测精度较高。