本次研究所用到的数据是来自新冠肺炎疫情爆发初期卫生健康委员会在官网发布的新增感染人员的数据公示，从多个数据中剔除了患病期间数据记录不完整，溯源不清楚，发病日期记录模糊，数据信息不精确的一些有缺陷的数据，并删去了数据准确度 < 5的数据之后，最终得到了78条完整数据信息，其中提取了感染人员的年龄特征，性别特征，感染方式，感染地点等重要信息，研究了潜伏期的长短是否与这些因素具有潜在的联系。

本次研究所用到的数据共有78条。其中在性别特征上有男性感染者45人，女性患者33人。男性感染者占比58%，女性感染者占比42%，从初步的统计数据来看有男性患者高于女性患者的趋势，见 图1 。

在年龄特征上在所有感染者中，年龄最小感染者为9岁，年龄最大感染者为69岁，感染者的平均感染年龄为43.2岁，从初步统计的数据来看感染对象以青壮年群体为主，其次是中年，老年，幼儿居后的特征，见 图2 。

记录了四种感染方式，即① 外出感染、② 聚会感染、③ 家庭内部接触感染、④ 其他方式感染；感染的地点记录有① 武汉感染、② 湖北非武汉感染、③ 其他地区感染的三种感染地点，根据离武汉的远近程度，可以解释为湖北武汉感染为病毒浓度最高区，湖北非武汉为病毒浓度中高区，其他地区为病毒浓度最低区，见 图3 。

潜伏期数据初步统计显示，COVID-19感染者的数据中有最短潜伏期天数为0天，也就是说从感染到发病是一个很快的过程，最长潜伏期天数为16天，平均潜伏期天数为5.54天的特征。也就是说大部分患者潜伏期天数在5、6天左右的波动是最小的，见 图4 。

对选定样本数据做了初步统计分析，如下 表1 所示，其中中位数，众数，均值这三个指标表示集中趋势的度量，指标值分别为5，3，5.54，潜伏期的偏度值为0.59，这些数据显示潜伏期分布形状呈尖峰态左偏，数据中有部分潜伏期数据相较于集中值偏离较大，因此数据呈现出右侧拖尾的现象。因此初步设想新型冠状病毒的潜伏期天数不服从正态分布，而是服从于有偏的正态分布。

为了检验样本是否服从对数正态分布，对潜伏期样本做了非正态分布的Shapior-Wilk检验，于是得到检验值w为0.94951，得到p值为0.3747，他们均大于置信水平0.05，也就是说潜伏期的分布函数和对数正态分布的分布函数是没有差异的，因此选用对数正态分布来描述潜伏期天数的分布，见 图5 。

1. 正态分布：正态分布也称常态分布，又称高斯分布，是连续型随机变量中重要的一种分布，统计学中的很多分布都是正态分布的衍生，并且正态分布也是很多分布的极限分布。正态分布是德国数学家C.F.Gauss在误差描述上的重大发现。正态分布的曲线高峰位于中央位置，两侧逐渐下降并且完全对称。正态分布的概率密度函数中记 $\mu$为总体均数， $\sigma$为总体标准差， $\mu$和 $\sigma$是正态分布的两个参数，若随机变量x服从正态分布，记为 $X~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$。不同的 $\mu$值和不同的 $\sigma$值对应不同的正态分布曲线，如下 图5 所示。

若随机变量 $X$服从一个数学期望为 $\mu$，方差为 ${\sigma }^2$的正态分布，则数学期望决定了其分布位置，标准差决定了其分布幅度，特别的，当数学期望为0，方差为1时的正态分布叫做标准正态分布。正态分布的概率密度函数定义为：

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$(1)

正态分布的性质：① 概率密度曲线在均值处达到最大，并且曲线左右对称。② 标准差决定了概率密度曲线的“陡峭”或“扁平”程度，标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。这是因为，标准差越小，意味着大多数变量距离均值的距离越短，也就是说大多数变量都紧密地聚集在均值周围，图形所能覆盖的变量值就少些，图形上呈现瘦高型。相反，标准差越大，数据跨度就越大，分散程度越大，所覆盖的变量就越多，图形呈现“矮胖型”③ 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1。

2. 对数正态分布：对数正态分布是正态分布的一种衍生，设X是取值为正数的连续随机变量，如果X取对数后服从正态分布，即 $\ln X~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，X的概率密度函数定义为：

$f\left(x,\mu ,\sigma \right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{x\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(\ln x-\mu \right)}^2\right],x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$(2)

则称这个随机变量X是服从对数正态分布，记为 $\ln X~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，对数正态分布中的期望和方差可以通过极大似然估计来求得。若总体X服从对对数正态分布，即：

$\ln X~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)\left(-\infty <\mu <+\infty ,\sigma >0\right)$

$x_1,x_2,x_3,\cdots x_n$是来自总体X的样本，令 $Y=\ln x~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，则 $X=e^x$的分布函数为：

$F\left(x\right)=P\left\{X\le x\right\}=P\left\{e^Y\le x\right\}=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ P\left\{Y\le \ln x\right\},x>0\end{array}=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ \Phi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right),x>0\end{array}$(3)

X的概率密度为：

$f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0,x\le 0\\ {\Phi }^{\prime }\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\frac{1}{\sigma x},x>0\end{array}=\{\begin{array}{l}0,x\le 0\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln x-\mu }{{\sigma }^2}\right)},x>0\end{array}$(4)

因此样本的似然函数为：

$\ln L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}f\left(x_i\right)}={\left(2\pi {\sigma }^2\right)}^{-\frac{n}{2}}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{x}_i^{-1}}\right)e^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\ln x_i-\mu \right)}^2}}\left(x_i>0,i=1,2,\cdots ,n\right)$，

$\ln L\left(\mu ,{\sigma }^2\right)=-\frac{n}{2}\ln 2\pi -\frac{n}{2}\ln {\sigma }^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln \frac{1}{x_i}}-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\ln x_i-\mu \right)}^2}$(5)

分别对关于和分别求偏导，并令其等于0，于是有：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \ln L}{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\ln x_i-\mu \right)}=0\\ \frac{\partial \ln L}{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\ln x_i-\mu \right)}^2=0}\end{array}$(6)

求解得到： $\hat{\mu }=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln x_i},{\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\ln x_i-\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln x_i}\right)}}^2$

由于 $X=e^Y,Y~N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，于是有：

$\begin{array}{c}EX=E{e}^Y=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^Y{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{y-\mu }{{\sigma }^2}\right)}^2}}dy\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}\left(y^2-2\mu y+{\mu }^2-2{\sigma }^{2}y\right)}}dy\\ =e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{1}{2}{\left[\frac{y-\left(\mu +{\sigma }^2\right)}{\sigma }\right]}^2}}dy\\ =e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\end{array}$(7)

根据最大似然估计的不变性原理，EX的最大似然估计为 $\widehat{EX}=e^{\hat{\mu }+\frac{1}{2}{\hat{\sigma }}^2}$，

其中 $\hat{\mu }=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln X_i}$， ${\sigma }^2=\frac{1}{n}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\ln X_i-\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln X_i}\right)}}^2$。

为了更直观的描述潜伏期的规律，本文引入平均超出量函数进行统计描述。平均超出量函数在统计推断中是用最大值的模型来研究的，在每一组观测数据中用最大值来建立模型，但是有一个弊端就是在每一组观测数据中只取数据的最大值，这对于其他数据来说会造成部分数据的浪费，因此就要用超出某一个大一点的数的所有的数据来进行建模。设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$是独立同分布的，其分布函数是F，对某个固定的值 $u<x^{+}=\sup \left\{x:0<F\left(x\right)<1\right\}$，称u为这组值的阈值，如果 $X_i>0$，则称X_i为这组数据的超阈值，称 $X_i-u$为超出量，于是有：

$F_u\left(x\right)=\mathrm{Pr}\left(X-u\le x|X>u\right)=\frac{F\left(x+u\right)-F\left(u\right)}{1-F\left(u\right)},x\ge 0$(8)

其中称 $F_u\left(x\right)$为随机变量X的超过阈值u的超出量分布函数，简称超出量分布。

称：

$F_{\left[u\right]}\left(x\right)=\mathrm{Pr}\left(X\le x|X>u\right)=\frac{F\left(X\right)-F\left(u\right)}{1-F\left(u\right)},x\ge 0$(9)

称为随机变量X的超阈值的分布函数。

$e\left(u\right)=E\left(X-u|X>u\right)$(10)

称为X的平均超出量函数。

首先对筛选病患数据进行整理，进而对潜伏期特征进行了初步特征分析。

从分位数图可以知道数据的分布情况，从 图6 来看并不服从正态分布，因此进一步进行S-W检验，得到检验P值为0.0037，小于0.05水平，因此验证了潜伏期天数不服从正态分布，考虑到数据总量大于30 (78 > 30)，并且从整体来看，潜伏期天数的分位数图和QQ图存在明显的分布不均匀，所以在P值远远小于0.05水平，此时也可以认为数据不存在严重的偏差，所以不用考虑做数据转换。由对数分布均值公式求得 $E\left(x\right)=5.437$，于是认为COVID-19的潜伏期天数分布大约在六天左右，因此符合早期COVID-19大流行的时候结合对疑似感染病患进行为期一周的隔离观察，认为是合理的，用对数正态分布的公式求得的方差为23.432，所以不同个体间潜伏期的长短是有很大的差异的。求得潜伏期0.95分位数 $x_{0.95}=16$，也就是说95%的患者潜伏期长达16天之久，因此与早期对病患隔离期限长达十四天之久的相应措施是吻合的，见 图7 。

对所选取的样本数据按照年龄分布将其分成了四个群体，分别为少年群体，青年群体，中年群体，和老年群体这四个群体，其中少年群体年龄分布为七周岁到十五周岁，青年群体为十六周岁到四十周岁，中年群体为四十一周岁到六十五周岁，老年群体为六十六周岁及以上。本文数据来源是最初确诊数据，可能由于少年和老年群体作为社会重点保护对象的原因，初期感染人数是较少的，因此也就导致了本文筛选的数据中少年群体和老年群体都比较少，不足以体现统计随机性，因此本文着重对青年和中年群体进行关于潜伏期的方差分析。

由上 表2 可知，对于不同年龄群体的数据特征和各群体的K-S检验表明不同年龄群体的潜伏期是服从正态分布的，对青年群体和中年群体的数据做了方差的一致性检验，得到的P值为0.118，数据P值大于0.05，因此，认为方差没有太大的差异。在样本数据服从正态分布并且方差相等的前提下，对各组样本数据关于潜伏期天数做均值的单因素方差分析得到了P值为0.4003，大于0.05，因此认为各个年龄段的潜伏期是没有显著性差异的，也就是说潜伏期的长短和年龄是没有关系的，这与现实生活中的真实情况是吻合的。

将本文所选的数据按照男性，女性进行分组，并分别进行数据特征分析和正态K-S检验。

由上 表3 可知，不同性别的群体数据特征和正态性K-S检验结果表示各组数据潜伏期是服从正态分布的，对男性和女性两组的潜伏期做方差的齐性检验得到P值为0.0709，大于0.05水平所以认为男性和女性的方差是相等的。在方差相等，并且各组数据样本服从正态分布的前提下对男性和女性群体的潜伏期天数做了单因素方差分析得到P值为0.518，大于0.05，因此认为性别对潜伏期天数的长短是没有显著性影响的，也就是说新型冠状病毒感染后潜伏期的长短跟性别是没有直接的关系的。

在对感染方式进行相关探究时，本文筛选出来的数据中对于四种感染方式即外出感染，聚会感染，家庭内部接触感染，以及其他地方感染考虑到感染方式上多数为生活接触和普通接触，于是将病患接触方式归为生活接触和普通接触两类进行讨论。

由上 表4 数据的特征因子值以及K-S检验值得到数据是来自服从正态总体的，于是做了方差的一致性检验得到了检验P值为0.0145 > 0.05，因此认为方差是相同的。在方差相等并且样本数据服从正态分布的前提条件下，对病患不同的感染方式，生活接触和普通接触的数据信息进行了单因素方差分析，得到了检验的P值为0.0145，大于0.05水平，因此不拒绝原假设，即COVID-19感染之后，潜伏期的长短和感染途径之间的影响是显著的，也就是说新冠病毒的感染与人们的生存环境是有关系的，这也是与现实生活人们预防感染所提出来的要求是基本相符的。

根据本文所筛选的病患信息记录的数据，将地点数据分成了三组来进行研究，分组即在湖北武汉感染，在湖北感染了但是并不是在武汉所感染感染，以及感染了COVID-19但是并不是在湖北感染，也就是说在除武汉省以外的地方感染了病毒。

由上 表5 可知，感染COVID-19的地点数据特征以及感染地点的正态性K-S检验表明各个数据是服从正态分布的，随后对感染地点不同分类数据进行了方差齐性检验，得到检验P值为0.0145 > 0.05，因此认为数据的方差是相同的。在数据服从正态分布并且方差相等的前提下再对数据进行了均值单因素方差分析，得到检验P值为0.0145，小于水平0.05，故不拒绝原假设，认为感染地点对潜伏期的长短的影响是显著的，也就是说COVID-19的潜伏期长短与感染地点是有关系的，这符合生活常识，在湖北武汉COVID-19感染者最多，湖北非武汉次之，因此认为病毒浓度是依次降低的，这可能与当地毒株浓度以及毒株变异种类有着密切的联系，具体真实情况还有待进一步验证。