观测数据 $D={\left(D_i\right)}_{i=1:n}={\left(Y_i,A_i,L_i\right)}_{i=1:n}$来自n个独立的采样对象， $L_i$为 $q\times 1$的协变量向量，包含分类协变量和连续协变量。 $A_i\in \left\{0,1\right\}$为逻辑变量。 $Y_i$为标量结果，其经验分布可以表现为多零、偏态或多模态。首先定义协变量向量 $x_i=\left(1,A_i,L_i\right)\text{'}$和 $m_i=\left(1,L_i\right)\text{'}$。我们指定了一个生成模型 [2] ，该模型的联合分布如下：

$p\left(D_i|{\omega }_i\right)=p\left(Y_i|A_i,L_i,{\omega }_i\right)p\left(A_i|L_i,{\omega }_i\right)p\left(L_i|{\omega }_i\right)$(3)

也可以表示成如下的层次模型：

$Y_i|A_i,L_i,{\beta }_i,{\gamma }_i,{\varphi }_i\sim \pi \left(x_i\text{'}{\gamma }_i\right){\delta }_0\left(y_i\right)+\left(1-\pi \left(x_i\text{'}{\gamma }_i\right)\right)\cdot N\left(y_i|x_i\text{'}{\beta }_i,{\varphi }_i\right)$

$A_i|L_i,{\eta }_i\sim Ber\left(\exp it\left(m_i\text{'}{\eta }_i\right)\right)$

$L_i|{\theta }_i\sim p\left(l_i{|\theta }_i\right)$(4)

${\omega }_i|G\sim G$

$G|\alpha ,G_0\sim DP\left(\alpha G_0\right)$

其中，令 ${\omega }_i=\left({\beta }_i,{\gamma }_i,f_i,{\eta }_i,{\theta }_i\right)$， $Y_i$的条件分布为两部分的混合：在0点处的质量 $d_0\left(y_i\right)=I\left(y_i=0\right)$以及均值为 $x_i\text{'}{b}_i$方差为 $f_i$的高斯分布。这允许结果为0的正概率 $P\left(Y_i=0\right)=\pi \left(x_i\text{'}{\gamma }_i\right)=\exp it\left(x_i\text{'}{\gamma }_i\right)$。

假设参数是从狄利克雷分布G中提取的。狄利克雷分布是“分布的分布”，由两个参数 $\alpha$和 $G_0$确定，记为 $G_0\sim DP\left(\alpha G_0\right)$。参数 $\alpha$为分布参数， $G_0$为基分布 [3] 。

令 $\tilde{y}$表示后验的预测结果， $\tilde{y}$的后验预测分布为：

$p\left(\tilde{y}|D\right)={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|\tilde{l},\tilde{\omega },{\omega }_{1:n},D\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega },{\omega }_{1:n},D\right)p\left(\tilde{\omega }|{\omega }_{1:n}\right)}}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{\omega }d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}$(5)

通常假设在新的参数的条件下，新的估计结果独立于之前的观测值和之前的参数，因此，

$p\left(\tilde{y}|D\right)={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{\omega }|{\omega }_{1:n}\right)}}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{\omega }d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}$(6)

假设可忽略性和一致性成立，

$p\left(\tilde{y}|D\right)={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{\omega }|{\omega }_{1:n}\right)}}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{\omega }d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}$(7)

根据Polya Urn Blackwell and MacQueen，1973的结论 [4] ：

${\omega }_i|{\omega }_{1:\left(i-1\right)}\propto \frac{\alpha }{\alpha +i-1}{G}_0\left({\omega }_i\right)+\frac{\alpha }{\alpha +i-1}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i=1}{\sum }}I\left({\omega }_i={\omega }_j\right)}$

代入i = n + 1可得

${\omega }_i|{\omega }_{1:n}\propto \frac{\alpha }{\alpha +n}{G}_0\left(\tilde{\omega }\right)+\frac{\alpha }{\alpha +n}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}I\left(\tilde{\omega }={\omega }_j\right)}$

代入式(5)中可得

$\begin{array}{l}p\left(\tilde{y}|D\right)={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)\left[\frac{\alpha }{\alpha \text{+}n}{G}_0\left(\tilde{\omega }\right)+\frac{1}{\alpha \text{+}n}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}I\left(\tilde{\omega }={\omega }_j\right)}\right]}}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{\omega }d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}\\ ={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }\left[\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)}p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)\frac{\alpha }{\alpha \text{+}n}{G}_0\left(\tilde{\omega }\right)d\tilde{\omega }+\\ \frac{1}{\alpha \text{+}n}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)I\left(\tilde{\omega }={\omega }_j\right)d\tilde{\omega }}}\end{array}\right]}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}\\ \text{=}{\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }\left[\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\alpha \text{+}n}{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)}p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)G_0\left(\tilde{\omega }\right)d\tilde{\omega }+\\ \frac{1}{\alpha \text{+}n}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }p\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)}}\end{array}\right]}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}\end{array}$

对上式的积分除以y可得出后验预测均值

$E\left(\tilde{y}|D\right)={\displaystyle \underset{{\omega }_{1:n}}{\int }{\displaystyle \underset{\tilde{l}}{\int }\left[\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\alpha +n}{\displaystyle \underset{\tilde{\omega }}{\int }E\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|\tilde{\omega }\right)G_0\left(\tilde{\omega }\right)d\tilde{\omega }}\\ +\frac{1}{\alpha \text{+}n}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}E\left(\tilde{y}|A=a,\tilde{l},\tilde{\omega }\right)p\left(\tilde{l}|{\omega }_j\right)}\end{array}\right]}}p\left({\omega }_{1:n}|D\right)d\tilde{l}d{\omega }_{1:n}$

可以通过蒙特卡洛算法计算上述积分 [5] 。

布里尔分数是一种计算预测值和真实值差异的指标，其计算公式为：

$Brie{r}_{\left(q\right)}=\frac{1}{m}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(f_i{}^{\left(q\right)}-y_i{}^{\left(q\right)}\right)}^2}$(8)

其中，m表示总共检测的样本数目， $f_{\left(i\right)}$表示模型预测的概率， $y_{\left(i\right)}$表示真实值。Brier Score计算出来的值在0到1之间，数值越小代表模型的准确率越高。

Bais偏差和MSE都是用来衡量模型预测值和实际值之间的差异，Bias表示观测值和预测值的平均误差，MSE为观测值和预测值之间的均方误差。其计算公式分别为：

$\text{Bais}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{x_i-y_i}{n}}$(9)

$\text{MSE}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\left(x_i-y_i\right)}^2}{n}}$(10)

Vuong在1989年提出了非巢式模型和其检验统计量 [6] ，用于确定是否应该使用零膨胀模型，也可以用来比较两个非嵌套模型的拟合优度。令，

$m_i=LN\left(\frac{f_1\left(y_i|X_i\right)}{f_2\left(y_i|X_i\right)}\right)$(9)

其中， $f_1\left(y_i|X_i\right)$为模型一的概率密度， $f_2\left(y_i|X_i\right)$为模型二的概率密度。取 $m_i$的均值为，

$\bar{m}=\left(\left(1/n\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{m}_i}\right)$(10)

Vuong统计量的计算公式如下，

$V=\frac{\sqrt{\left[\left(\frac{1}{n}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{m}_i}\right]}}{\sqrt{\left[\left(\frac{1}{n}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(m_i-\bar{m}\right)}^2}\right]}}=\frac{\sqrt{n}\left(\bar{m}\right)}{S_m}$(11)

其中 $S_m$为标准差，n为样本数量。 $V$服从极限正态分布，当 $V\ge 1.96$时，认为模型一优于模型二；当 $V\le 1.96$时，认为模型二优于模型一；当 $\left|V\right|<1.96$，无法判断两个模型哪个更优，则需要借助其他指标来进行评估，进而选择模型。

AIC，BIC和DIC准则是统计学常用的三种模型选择准则，用于给定一组模型的情况下，选择一个最优的模型。

AIC准则由日本统计学家赤池弘次提出，又称赤池信息准则 [7] 。其计算公式为：

$\text{AIC}=-2\log \left(L\right)+2k$(12)

其中， $L$为模型的拟合优度， $k$为模型参数的个数。AIC准则在评估模型拟合优度的同时还考虑了模型的复杂度，因此可以在一定程度上避免过拟合的情况。AIC的值越小，则模型越优。

BIC准则由纳维亚统计学家施瓦茨提出，又称贝叶斯信息准则 [8] 。其计算公式为：

$\mathrm{BIC}=-2\log \left(L\right)+klog\left(n\right)$(13)

其中， $L$为模型的拟合优度， $k$为模型参数的个数，n为样本量。BIC相比于AIC对模型复杂度更加严格地惩罚，因此当样本量较大时，BIC准则更倾向于选择更简单的模型。

DIC准则由Spiegelhalter等人在1998年提出，又称偏差信息准则 [9] 。它基于对数后验概率的估计值，结合了模型拟合优度和复杂度。其计算公式为：

$\text{DIC}=\text{Dbar}+\text{pD}$(12)

其中， $\text{Dbar}$为后验均值下的拟合优度， $\text{pD}$为模型有效参数的个数，DIC准则考虑了贝叶斯估计的不确定性，通常用于贝叶斯模型选择。

本文研究的数据是机动车辆第三者责任险的保单索赔数据，数据中包含的解释变量有：驾驶员年龄、车龄、发动机年龄、汽车行驶时区域、汽车品牌、奖惩系数、油耗类型、保单持有人所在地区、居住人口密度。共纳入了413169份保单数据 [10] 。

本研究共提取了10000个索赔数据，下面是对索赔次数的描述性统计。

续表

通过 表2 可以看出驾驶员年龄位于43~74岁最容易发生理赔；车龄小于15年的驾驶员理赔频率远远高于车龄大于15年的驾驶员；居住人口密度介于501到4500的被保险人最容易发生理赔。

由 表3 结果可以看出零膨胀狄利克雷混合模型与传统的零膨胀泊松模型相比，其Bais值、MSE值、AIC值和BIC值均更小，由此可知，零膨胀狄利克雷混合模型具有更好的拟合与预测能力。