假设跟随车辆之间的信息链是双向的，并且至少存在一条从领头车辆到跟随车辆的单向链路。首先，考虑一个加权有向图 $\mathcal{G}=\left(\mathcal{V},ℰ,\mathcal{A}\right)$，其中包含非空节点集合 $\mathcal{V}=\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$，边集 $ℰ\subset \mathcal{V}\times \mathcal{V}$，以及相关的邻接矩阵 $\mathcal{A}=\left[{\alpha }_{ij}\right]\in {ℝ}^{N\times N}$。从第i个节点出发到第j个节点的边表示为 $\left(i,j\right)$，意味着信息可以从车辆i流向车辆j。 ${\alpha }_{ij}$是边 $\left(j,i\right)$的权重，如果 $\left(j,i\right)\in ℰ$，则 ${\alpha }_{ij}>0$，称车辆j是车辆i的邻居。然后，定义入度矩阵 $D=\mathrm{diag}\left\{d_i\right\}\in {ℝ}^{N\times N}$，其中 $d_i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}$。之后，加权有向图 $\mathcal{G}$的拉普拉斯矩阵 $L\in {ℝ}^{N\times N}$定义为 $L=D-\mathcal{A}$。如果第i个跟随车观察到领头车辆，则存在一个边 $\left(0,i\right)$，称为嵌入增益 $g_i>0$，我们称嵌入矩阵为 $G=\mathrm{diag}\left\{g_i\right\}\in {ℝ}^{N\times N}$。假设至少有一个跟随车辆与领头车辆相连，由于跟随车辆之间的双向通信拓扑，矩阵 $L+G$的所有特征值 ${\lambda }_{\iota }$(对于 $1,2,\cdots ,N$)都是正实数 [15] 。

本文考虑一个由不同动力学特性车辆组成的网联车辆编队，假设没有超车的情况下，在直线高速公路上密集车辆中排成一排行驶。在每个编队中，最前面的车辆被视为领头车辆，以恒定速度行驶，而下游的其余车辆被视为跟随车辆。 图1 展示了编队的示意图，其中所有跟随车辆都要尽量在任意两车之间保持相等的间距。在本文中，将使用以下符号：第i个跟随车辆的位置、速度和加速度分别使用 $p_i\left(t\right)$， $v_i\left(t\right)$， $a_i\left(t\right)$表示，其中 $i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$，领头车辆的位置、速度和加速度用 $p_0\left(t\right)$， $v_0\left(t\right)$， $a_0\left(t\right)$表示，单位分别为米(m)，米每秒(m/s)，米每二次方秒(m/s²)。每辆车的动力学可以通过非线性输入–仿射微分方程建模 [4] ，微分方程如下：

${\stackrel{\dot{}}{a}}_i=f_i\left(v_i,a_i\right)+g_i\left(v_i\right)b_i\forall i$(1)

其中包括发动机动力学，制动系统和空气动力学阻力。在上述等式(1)中 $b_i$是第i辆车发动机的输入，非线性函数 $f_i\left(v_i,a_i\right)$和 $g_i\left(v_i\right)$由下式给出：

$\begin{array}{l}{f}_i\left(v_i,a_i\right)=-\frac{1}{{\tau }_i}\left(a_i+\frac{\sigma {\varphi }_i{c}_{di}}{2m_i}{v}_i^2+\frac{d_{mi}}{m_i}\right)-\frac{\sigma {\varphi }_i{c}_{di}}{m_i}{v}_i{a}_i\\ g_i\left(v_i\right)=\frac{1}{{\tau }_i{m}_i}\end{array}$(2)

其中 $\sigma$表示空气密度，单位为千克每立方米(kg/m³)， ${\varphi }_i$表示车辆i横截面积，单位为平方米(m²)， $c_{di}$表示阻力系数， $m_i$表示车辆i的质量，单位为千克(kg)， $d_{mi}$表示机械阻力，单位为千牛顿(kN)， ${\tau }_i$表示发动机惯性滞后时间，单位为秒(s)，而 $\frac{\sigma {\varphi }_i{c}_{di}}{2m_i}$代表了空气阻力模型 [4] 。

在本文中，采用了完整的非线性车型车辆模型等式(1)来进行控制器设计，由于上述等式(1)中的大多数参数对于所有车辆都不是相同的，因此当前是对异构车辆编队的控制。我们希望使用以下反馈线性化控制律：

$b_i=u_i{m}_i+0.5\sigma {\varphi }_i{c}_{di}{v}_i^2+d_{mi}+{\tau }_i\sigma {\varphi }_i{c}_{di}{v}_i{a}_i$(3)

对于所有 $i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$将非线性车辆动力学转为线性模型。需要注意的是，局部反馈线性化控制作为内层控制器，对复杂的车辆动力学进行适当的简化，并确保任何零动态的渐近稳定性。在等式(3)中 $u_i$是要设计的未考虑故障的理想控制输入，将等式(3)代入等式(1)中，得到车队中每辆车的纵向动力学为：

$\{\begin{array}{ll}{\stackrel{\dot{}}{p}}_i=v_i,\hfill & \hfill \\ {\stackrel{\dot{}}{v}}_i=a_i,\hfill & \hfill \\ {\tau }_i{\stackrel{\dot{}}{a}}_i+a_i=u_i\hfill & \forall i\hfill \end{array}$(4)

用标准状态空间形式表示为：

${\stackrel{\dot{}}{x}}_i=A_i{x}_i+B_i{u}_i\forall i$(5)

其中 $x_i=\left[\begin{array}{c}{p}_i\\ v_i\\ a_i\end{array}\right],A_i=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -\frac{1}{{\tau }_i}\end{array}\right]$and $B_i=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{{\tau }_i}\end{array}\right]$。可以立即验证对于所有的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$， $\left(A_i,B_i\right)$对矩阵是可控的，这意味着领头车辆在稳态条件下( $u_0=0$)以恒定速度行驶时，跟随车辆也能够实现对其速度和位置的有效控制。然而，即使非线性车辆动力学等式(1)被线性化到等式(5)，但由于参数 ${\tau }_i$的存在，它仍然是异构的。这使得当前问题变得非常重要且具有挑战性。

执行器在实际应用中可能会出现故障。本文考虑了执行器可能发生部分有效性丧失(Partial Loss of Effectiveness, PLOE)的情况：

$u_i^F={\rho }_i{u}_i,0\le {\underset{\_}{\rho }}_i\le {\rho }_i\left(t\right)\le {\bar{\rho }}_i\le 1$(6)

其中， $u_i^F$表示考虑了故障影响的车辆i的实际控制输入。 ${\rho }_i$为故障参数， ${\bar{\rho }}_i$和 ${\underset{\_}{\rho }}_i$分别为 ${\rho }_i$的上界和下界。 ${\rho }_i=1$表示第i个车辆无执行器故障， ${\rho }_i=0$表示第i个车辆执行器通道发生卡死故障。当 $0\le {\underset{\_}{\rho }}_i\le {\rho }_i\left(t\right)\le {\bar{\rho }}_i<1$时，表示执行器发生故障。

因此，车辆动力学系统等式(5)可以进一步改写为：

$\begin{array}{l}{\stackrel{\dot{}}{x}}_i=A_i{x}_i+B_i{u}_i^F\forall i\\ =A_i{x}_i+B_i{\rho }_i{u}_i\end{array}$(7)

本文研究了在直线平坦道路上行驶 $N+1$辆异构车辆队列的协同控制问题，该队列包括一个以0为索引的领头车和N个以1到N为索引的跟随车辆，令 $ℱ=\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$表示跟随车辆的集合。控制目标是确保所有跟随车辆保持与领头车辆相同的速度，同时保持车辆间的恒定间距，从而潜在地提高道路的通行能力。

根据 图1 所示的车辆编队，如果对于任何给定的有界初始状态，领头车辆保持恒定速度，那么可以说达到了期望的编队控制目标。期望的控制目标可以表示为：

$\{\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim }\Vert p_i\left(t\right)-p_j\left(t\right)\Vert =\left(i-j\right)d_r\\ \underset{t\to \infty }{\lim }\Vert v_i\left(t\right)-v_0\left(t\right)\Vert =0\\ \underset{t\to \infty }{\lim }\Vert a_i\left(t\right)-a_0\left(t\right)\Vert =0\end{array}$(8)

对于所有的 $i,j\in ℱ,j\ne i$，包括保持车队串稳定性在内的车队控制活动，被表示为一个“领导者–跟

随”的静态车辆编队，其中领头车视为根节点。车队的期望静态编队由向量 $d_i={\left[i{d}_r,0,0\right]}^{\text{T}}$ $\forall i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$指定，对于编队中第i个跟随车辆是已知的，其中 $d_r$是编队中任何两个连续车辆之间的预设间隔。在实

施恒定间距政策的情况下，对于所有的i，预设间隔 $d_r$保持不变。另外，车辆由于转弯、上坡或下坡而发生的任何加速度或减速度都可以被视为暂时作用于车辆的有界干扰。车队的串稳定性确保了在干扰期间间距误差增长，但一旦干扰消失，则迅速衰减至零。

本章开发了针对异构车辆编队的分布式自适应容错控制方案，本文的目标是设计自适应故障分布式控制协议，如定理1所示，以满足控制目标，即保持连续车辆之间的间距相等且恒定，保持所有跟随车辆的速度与领先车辆的速度相同，保持队列中所有车辆的加速度为零，从而保持车队的串稳定性。

定理1：考虑一个由异构网联车辆组成的编队，其反馈线性化动力学表示如等式(7)所示。定义 $\delta =\frac{{\tau }_0}{{\max }_{i\in ℱ}{\tau }_i}$、 $\rho =\frac{{\tau }_0}{{\min }_{i\in ℱ}{\tau }_i}$(其中 ${\rho }_i$为故障因子， $\rho$为控制器参数)并选择 $\phi \ge \frac{1}{2\delta {\min }_{i\in ℱ}{\lambda }_i}$。那么对所有 $i\in ℱ$的第i个车辆应用以下自适应容错控制协议，实现控制目标。

$\{\begin{array}{l}{u}_i=B_0^{\text{T}}{\xi }_i{x}_i+\phi {\hat{\rho }}_{i}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left(\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)\right)\hfill \\ {\stackrel{\dot{}}{\xi }}_i=\rho x_i^{\text{T}}{B}_{0}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left(\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)\right),\hfill \end{array}$(9)

其中， ${\hat{\rho }}_i$是 ${\rho }_i$的估计值， ${\tilde{\rho }}_i={\hat{\rho }}_i-{\rho }_i$， $K=-B_0^{\text{T}}P$为控制增益， ${\xi }_i$为控制协议中第i个车辆的耦合权重。P是一个未知的正定矩阵，它是代数黎卡提方程的解，代表最优控制问题的解中的状态反馈增益矩阵， $\gamma$是一个大于零的标量，用作权重因子，用于调整控制律的性能。 $P>0$是在 $\gamma >0$时，代数黎卡提方程的唯一解，即：

$P{A}_0+A_0^{\text{T}}P-P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P+\gamma I_3=0$(10)

其中 $I_3$是一个3 × 3的单位矩阵，对应于车辆的位置、速度和加速度状态。

为了估计执行器的故障，介绍了以下自适应故障估计算法。 ${\stackrel{\dot{}}{\hat{\rho }}}_i$是基于以下自适应定律给出的：

${\stackrel{\dot{}}{\hat{\rho }}}_i=\text{Proj}\left\{F_i\right\}=\{\begin{array}{ll}0\hfill & \text{if}{\hat{\rho }}_i={\underset{\_}{\rho }}_i\text{and}{F}_i\le 0\hfill \\ \hfill & \text{or}{\hat{\rho }}_i={\bar{\rho }}_i\text{and}{F}_i\ge 0\hfill \\ F_i\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array}$(11)

其中 $F_i={\partial }_i\Psi {\lambda }_0{\epsilon }_i^{\text{T}}P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P{\epsilon }_i$，其中 ${\partial }_i$、 $\Psi$、 ${\lambda }_0$均为正常数。

证明：在前面提出的分布式编队控制律等式(9)的前提下，等式(7)给出的异构车辆编队动力学方程可以转化为：

${\stackrel{\dot{}}{x}}_i=\left(\begin{array}{c}{A}_i+B_i{B}_0^{\text{T}}{\xi }_i\end{array}\right)x_i+\phi {\hat{\rho }}_i{B}_{i}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left(\begin{array}{c}\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)\end{array}\right)$(12)

对于每一辆车，利用 $A_0$、 $B_0$、 $A_i$和 $B_i$的可控规范结构，可以找到常向量 ${\zeta }_i$使得对于所有 $i\in ℱ$，有如下等式：

$A_0=A_i+B_i{B}_0^{\text{T}}{\zeta }_i\forall i\in ℱ$(13)

将等式(13)代入等式(12)中，可以得到：

${\stackrel{\dot{}}{x}}_i=A_0{x}_i+B_i{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)x_i+\phi {\hat{\rho }}_i{B}_{i}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left(\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)\right)$(14)

定义编队中每个跟随车辆的跟踪误差 ${\epsilon }_i=x_i-d_i-x_0$，单位米(m)，且令向量 $\epsilon ={\left[{\epsilon }_1^{\text{T}},{\epsilon }_2^{\text{T}},\cdots ,{\epsilon }_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$。由于 $A_0{d}_i=0$且 ${\stackrel{\dot{}}{d}}_i={\left[000\right]}^{\text{T}}$，对于任意 $i,j\in ℱ$， ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j=\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)$，可以通过对 ${\epsilon }_i$微分求得 ${\stackrel{\dot{}}{\epsilon }}_i$，也即等式(15)：

${\stackrel{\dot{}}{\epsilon }}_i=A_0{\epsilon }_i+B_i{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)x_i+\phi {\hat{\rho }}_i{B}_{i}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left({\epsilon }_i-{\epsilon }_j\right)$(15)

将等式(15)用克罗内克积形式表达为：

$\stackrel{\dot{}}{\epsilon }=\left(I\otimes A_0\right)\epsilon +\phi \text{diag}\left\{{\hat{\rho }}_i{B}_i\left({\rho }_i\right)K\right\}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\epsilon +\left[\begin{array}{c}{B}_1{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_1-{\zeta }_1\right)x_1\\ B_2{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_2-{\zeta }_2\right)x_2\\ ⋮\\ B_N{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_N-{\zeta }_N\right)x_N\end{array}\right]$(16)

在上文的证明中，车队控制问题，包括串稳定性，被构造成了闭环编队跟踪误差动态 ${\stackrel{\dot{}}{\epsilon }}_i$的渐近稳定性问题。为了求解这个问题，本文考虑以下李雅普诺夫函数：

$\begin{array}{l}V=V_1+V_2\\ V_1={\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes P\right)\epsilon +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)}^2}\\ V_2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\tilde{\rho }}_i^2}{{\partial }_i}}\end{array}$(17)

当给定 $\gamma >0$，由于 $L+G>0$且 $P>0$，所以 $V>0$。沿着等式(12)计算V的导数 $\stackrel{\dot{}}{V}$

$\begin{array}{l}{\stackrel{\dot{}}{V}}_1={\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)\right)\epsilon +2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right){\stackrel{\dot{}}{\xi }}_i}\\ +2{\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\phi \text{diag}\left\{P{B}_i{\hat{\rho }}_{i}K\right\}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\epsilon \\ +2{\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes P\right)\left[\begin{array}{c}{B}_1{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_1-{\zeta }_1\right)x_1\\ B_2{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_2-{\zeta }_2\right)x_2\\ ⋮\\ B_N{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_N-{\zeta }_N\right)x_N\end{array}\right]\\ ={\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)\right)\epsilon +2{\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\phi \text{diag}\left\{P{B}_i{\hat{\rho }}_{i}K\right\}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\epsilon \\ +2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}}{\left({\epsilon }_i-{\epsilon }_j\right)}^{\text{T}}P{B}_i{B}_0^{\text{T}}\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)x_i+2\rho {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)x_i^{\text{T}}}{B}_{0}K{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}\left(\left(x_i-d_i\right)-\left(x_j-d_j\right)\right)\\ ={\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)\right)\epsilon +2{\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\phi \text{diag}\left\{P{B}_i{\hat{\rho }}_{i}K\right\}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\epsilon \\ +2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\alpha }_{ij}}}{\left({\epsilon }_i-{\epsilon }_j\right)}^{\text{T}}P\left(B_i{B}_0^{\text{T}}-\rho B_0{B}_0^{\text{T}}\right)\left({\xi }_i-{\zeta }_i\right)x_i\end{array}$

现在利用 $B_0$、 $B_i$的结构和参数 $\rho =\frac{{\tau }_0}{{\min }_{i\in ℱ}{\tau }_i}$，可以直接得到等式(18)：

$B_i{B}_0^{\text{T}}-\rho B_0{B}_0^{\text{T}}\le 0$(18)

将等式(17)用于 ${\stackrel{\dot{}}{V}}_1$的最后一个表达式中，可以得到：

$\begin{array}{l}{\stackrel{\dot{}}{V}}_1\le {\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)\right)\epsilon +2{\epsilon }^{\text{T}}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\phi \text{diag}\left\{{\hat{\rho }}_{i}P{B}_{i}K\right\}\left(\left(L+G\right)\otimes I\right)\epsilon \\ \le {\epsilon }^{\text{T}}\left[\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)-2\phi \delta {\left(L+G\right)}^2\hat{\Omega }\otimes P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right]\epsilon \end{array}$

对 $V_2$求导可以得到：

${\stackrel{\dot{}}{V}}_2=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\tilde{\rho }}_i}{{\partial }_i}\stackrel{\dot{}}{\hat{\rho }}}$

第一种情况：如果 ${\hat{\rho }}_i={\underset{\_}{\rho }}_i$和 $F_i\le 0$或者 ${\hat{\rho }}_i={\bar{\rho }}_i$和 $F_i\ge 0$， ${\stackrel{\dot{}}{V}}_2=0$。以 ${\hat{\rho }}_i={\underset{\_}{\rho }}_i$和 $F_i\le 0$的情况进行分析

$\stackrel{\dot{}}{V}={\stackrel{\dot{}}{V}}_1+{\stackrel{\dot{}}{V}}_2\le {\epsilon }^{\text{T}}\left[\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)-2\phi \delta {\left(L+G\right)}^2\bar{\Omega }\otimes P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right]\epsilon$

其中 $\Omega =\text{diag}\left\{{\underset{\_}{\rho }}_1,{\underset{\_}{\rho }}_2,\cdots ,{\underset{\_}{\rho }}_N\right\}$。由于对于所有 $i\in ℱ$， $B_i{B}_0^{\text{T}}-\delta B_0{B}_0^{\text{T}}\ge 0$，这是类似于证明等式(18)所使用的论证。现在，由于 $L+G>0$，因此总是存在一个对角化矩阵 $D\in {ℝ}^{N\times N}$，使得 $\Lambda =D^{\text{T}}\left(L+G\right)D$，其中 $\Lambda =\text{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_N\right\}$。将 $B_i{B}_0^{\text{T}}-\delta B_0{B}_0^{\text{T}}\ge 0$中的 $L+G$替换为 $D^{\text{T}}\Lambda D$，可以得到：

$\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{V}\le {\epsilon }^{\text{T}}\left(D^{\text{T}}\otimes I\right)\left[\Lambda \otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)-\frac{1}{{\min }_{i\in ℱ}{\lambda }_i}\bar{\Omega }{\Lambda }^2\otimes P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right]\left(D\otimes I\right)\epsilon \\ \le {\epsilon }^{\text{T}}\left(D^{\text{T}}\otimes I\right)\left[\Lambda \otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P-P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right)\right]\left(D\otimes I\right)\epsilon \end{array}$(19)

那么，根据 $\gamma >0$时在等式(9)中给出的代数黎卡提方程，则等式(19)意味着 $\stackrel{\dot{}}{V}\le 0$，且仅当 $\epsilon =0$时 $\stackrel{\dot{}}{V}=0$。因此，根据拉塞尔不变性定理 [20] ，可以确保等式(15)中给出的闭环跟踪误差 $\stackrel{\dot{}}{\epsilon }$的渐近稳定性。因此， $\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\epsilon \left(t\right)=0$意味着：

$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_i\left(t\right)-d_i-x_0\left(t\right)=0\forall i\in ℱ$(20)

第二种情况：如果 ${\underset{\_}{\rho }}_i\le {\hat{\rho }}_i\le {\bar{\rho }}_i$， ${\stackrel{\dot{}}{\hat{\rho }}}_i=F_i$

$\begin{array}{l}{\stackrel{\dot{}}{V}}_2=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\tilde{\rho }}_i}{{\partial }_i}}{F}_i\\ =2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\tilde{\rho }}_i}\left(\Psi {\lambda }_0{\epsilon }_i^{\text{T}}P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P{\epsilon }_i\right)\\ =2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left({\hat{\rho }}_i-{\rho }_i\right)\Psi {\lambda }_0{\epsilon }_i^{\text{T}}P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P{\epsilon }_i}\end{array}$

$\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{V}={\stackrel{\dot{}}{V}}_1+{\stackrel{\dot{}}{V}}_2\\ \le {\epsilon }^{\text{T}}\left[\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)-2\phi \delta {\left(L+G\right)}^2\hat{\Omega }\otimes P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right]\epsilon +2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left({\hat{\rho }}_i-{\rho }_i\right)\Psi {\lambda }_0{\epsilon }_i^{\text{T}}P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P{\epsilon }_i}\\ \le {\epsilon }^{\text{T}}\left[\left(L+G\right)\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P\right)\right]\epsilon -2{\epsilon }^{\text{T}}\left[\Psi \underset{\_}{\Omega }\otimes P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right]\epsilon \\ \le {\lambda }_0{\epsilon }^{\text{T}}\left[I_N\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P-\Psi \underset{\_}{\Omega }P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right)\right]\epsilon \end{array}$

假设 $\Psi \underset{\_}{\Omega }\ge 1$

$\stackrel{\dot{}}{V}={\stackrel{\dot{}}{V}}_1+{\stackrel{\dot{}}{V}}_2\le {\lambda }_0{\epsilon }^{\text{T}}\left[I_N\otimes \left(P{A}_0+A_0^{\text{T}}P-P{B}_0{B}_0^{\text{T}}P\right)\right]\epsilon$

那么，同样根据 $\gamma >0$时在等式(9)中给出的代数黎卡提方程，则等式(19)意味着 $\stackrel{\dot{}}{V}\le 0$，且仅当 $\epsilon =0$时 $\stackrel{\dot{}}{V}=0$。因此，根据拉塞尔不变性定理 [20] ，可以确保等式(15)中给出的闭环跟踪误差 $\stackrel{\dot{}}{\epsilon }$的渐近稳定性。因此， $\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\epsilon \left(t\right)=0$意味着：

$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_i\left(t\right)-d_i-x_0\left(t\right)=0\forall i\in ℱ$

证明完成。

与别的只考虑同质车辆队列，即 $A_i=A_0$、 $B_i=B_0$， $\forall i\in ℱ$的研究不同，本文提出的控制策略可以处理异构车辆，并且考虑到了执行器出现故障的情况，在实际应用中更为实用。同时，虽然Kwon和Chwa (2014)研究了异构车辆编队的控制 [9] ，但是他们在设计控制律之前需要知道领头车和跟随车的所有模型信息，而本文只需要知道领头车模型和跟随车模型的界限，这在很大程度上降低了计算复杂度，从而为实际的硬件实现提供了更多的可能性。

本文考虑了一个由6辆网联车辆组成的车队，第一辆是领导者，其余是跟随者，通过如 图2 所示的方式互联，每辆车的参数随意选取但符合实际，如 表1 所示。另外，在仿真中，考虑了车辆的非线性动

力学。领头车的初始状态设定为 $p_0\left(0\right)=200\text{m}$， $a_0\left(0\right)=0\text{m}/{\text{s}}^2$， $v_0\left(0\right)=8\text{m}/\text{s}$，第i辆跟随车的初始位置为 $\left\{p_i\left(0\right)\right\}=\left(200-8i\right)\text{m}$，两车间的期望间距 $d_r=5\text{m}$。领头车的加速或减速视为车队中的扰动。根据 表1 所给定的数据，计算控制器参数为 $\rho =1.545$， $\delta =0.823$， $\phi =0.5$， ${\lambda }_0=1$， $\Psi =0.5$， ${\partial }_i=1$ $\forall i\in ℱ$然后选择 $\gamma =100$，并通过求解等式(9)，得到：

$P=\left[\begin{array}{ccc}180.287& 112.517& 7.1\\ 112.517& 195.7535& 12.8004\\ 7.1& 12.8004& 7.2787\end{array}\right]>0$

反馈增益矩阵为：

$K=-B_0^{\text{T}}P=-\left[\begin{array}{ccc}10& 18.0287& 10.2517\end{array}\right]$

假设车辆执行器的故障因子满足如下的式子：

${\rho }_i=\{\begin{array}{ll}\text{diag}\left\{1,1,1,1,1\right\},\hfill & 0\text{s}<t\le 2\text{s}\hfill \\ \text{diag}\left\{0.6,0.2,0.5,0.3,0.4\right\},\hfill & \text{2 s}\le t\le 30\text{s}\hfill \end{array}$

经过仿真，得出结果如 图3~8 所示，其中 图3~5 为在执行器不发生故障的情况下的仿真结果，分别为加速度 $a_i\left(t\right)$、速度 $v_i\left(t\right)$以及位置 $p_i\left(t\right)$图，如下所示：

由上图可以看出，在系统开始响应后，跟随车辆速度和加速度开始趋向于领头车，并最终保持一致，即车队中所有车辆以 $v_0\left(0\right)=8\text{m}/\text{s}$的速度一起移动，加速度也都为0，因此，在此阶段任意两辆车之间的间距误差保持为零，车辆行驶的距离以恒定速率增加。为了干扰车队的恒定速度运动，对领头车施加了一个外部输入为：

$w_0\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & 0\text{s}\le t<10\text{s}\hfill \\ 1,\hfill & 10\text{s}\le t<12\text{s}\hfill \\ 0,\hfill & t\ge 12\text{s}\hfill \end{array}$(21)

该外部输入导致领头车加速，随后其速度急剧上升，如 图3 、 图4 所示。该图还显示，作为对领头车速度突然增加的响应，跟随车辆也试图以与领头车同样的加速度加速，与领头车的新稳定速度同步，并在 $t=12\text{s}$后，所有跟随车达到了与领头车相同的速度，这表明了所提出的车队控制方案有效性。之后，从 图5 中可以看出在扰动后各车辆位置变化率重新保持一致，即以同等间距保持行驶，这表明所提出的方案已达到了车队控制的目标，并且在短时间内能够承受由于对领头车施加加速度输入而引起的扰动。

图6~8 为在执行器出现故障的情况下的仿真结果，分别为加速度 $a_i\left(t\right)$、速度 $v_i\left(t\right)$以及位置 $p_i\left(t\right)$的变化图。将 图3~5 和 图6~8 分别进行一一对比，可以看出，在执行器出现故障的情况下对车队状态产生轻微的影响，但仍能保持队列的串稳定。因此，仿真结果表明了本文所提出的分布式自适应容错控制策略的有效性。