Burgers方程是流体力学中描述高速流体运动的一类非线性扩散类型的重要偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)，已广泛应用于流体力学，空气动力学，交通流动力学等领域 [1] 。Burgers方程传统的数值解法在迭代求解大型方程组时计算成本高昂，网格的划分精度需要频繁的人机交互进行不断优化 [2] 。在实际工程应用中，由于测量设备的限制、环境因素和其他外部干扰，数据集不可避免的包含一定程度的弱噪声，导致数值解法在逼近微分方程的导数值时产生不可忽视的偏差，影响最终的求解精度。

深度学习在工程技术，流体力学，计算力学等领域的研究具有重要的理论指导意义与工程应用价值 [3] 。随着计算机数据分析能力的提高，神经网络开始应用于PDE的研究。作为传统数值求解器的替代方法，神经网络能够从高维非线性空间中学到潜在的规则和特征，拟合得到输入与输出之间的函数映射关系 [4] 。

韩忠华 [5] 提出的基于Kriging模型的代理优化算法，可以有效应用于具有光滑、连续设计空间的任意优化问题。孙斌等 [6] 提出高斯过程回归方法对风速时间序列进行预测，模型达到较好的稳定性。Roska等 [7] 提出卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，将非线性偏微分方程的离散表达式抽象为特定的CNN网络模型。Long等 [8] [9] 提出偏微分方程网络(Partial Differential Equation-Net, PDE-Net)和偏微分方程网络2.0 (Partial Differential Equation-Net2.0, PDE-Net2.0)，从观测的动态数据中发现偏微分方程的先验知识。Regazzoni等 [10] 使用人工神经网络(Artificial Neural Network, ANN)对可用输入输出对的误差进行最小化，以此选择最优模型。

然而上述神经网络大多基于纯数据驱动的深度学习模型，在处理偏微分方程时依赖整个系统的输入输出，需要大量的数据集用于训练。若数据集携带噪声，神经网络往往会将训练集中的噪声标签一起学习，大大降低模型训练过程中的准确性和泛化能力。

为了减轻数据集携带噪声带来的影响，Schaeffer与Mccalla [11] 采用微分方程的积分形式处理有噪声的数据，但只能在一定程度上减轻噪声数据的干扰。陈庆强等 [12] 以数据分布为中心，根据数据集自身的分布特点对标签噪声进行特殊处理。陈倩等 [13] 提出一类基于重要性重加权的半监督分类算法，但仅能用于解决数据集标签含有噪声的二分类问题。2019年Raissi等 [14] 提出的物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Networks, PINNs)在噪声数据下对偏微分方程的正问题和反问题进行求解。然而PINNs在解决实际问题时的预测精度难以达到任务要求，即使增加用于训练的配置点数量，最终网络的输出精度也有限，误差值难以收敛到较小量级 [15] 。唐明健与唐和生 [16] 利用PINNs框架求解矩形薄板中的力学方程，结果表明PINNs模型可以显著减小所需数据的范围，但是模型最终的精度有限。Cai [17] 等结合物理学习、无缝集成数据和数学模型，验证了PINNs在超音速流和生物医学流等相关流体力学逆问题中的有效性。Majid等 [18] 运用PINNs求解声波波动方程，将PINNs作为地球物理反演求解器，探索PINNs处理不同程度地理结构复杂性的能力，结果表明PINNs在全波形地震反演具备优秀的反演结果。尽管上述研究表明PINNs在相关偏微分方程的反演或逆问题的应用中表现出了较高的性能，但目前尚未有研究对PINNs正向求解相关偏微分方程的高精度数值结果进行探讨分析。

本文提出基于PINNs的梯度增强的物理信息神经网络(Gradient-enhanced Physics-Informed Neural Networks, G-PINNs)，引入方程导数的残差并在训练过程中不断学习方程及其导数形式，同时探究G-PINNs各项损失的权重配比，增强对偏微分方程梯度的约束以提高预测结果的精度并优化网络架构。采用PINNs与G-PINNs模型对一维Burgers方程的数值结果进行正向预测求解，对比PINNs和G-PINNs在无噪声与弱噪声下求解一维Burgers方程的相对误差，理论分析其网络架构在噪声环境下稳健性和求解性能的提升，同时为数据集稀缺情况下偏微分方程的求解提供了理论参考和实验依据。

图3 为PINNs训练10,000次后对Burgers方程计算域内各坐标点的真值、预测解及绝对误差值， 图4 为G-PINNs训练10,000次后对Burgers方程计算域内各坐标点的真值、预测解及绝对误差值。如 图3 所示，PINNs求解Burgers方程最终预测解与真值间的绝对误差的峰值约在6*10⁻³左右，而 图4 中G-PINNs最终绝对误差的峰值约1.4*10⁻³左右。将全域内预测值与真实值之间进行误差归一化后，G-PINNs对方程解的预测精度相较于PINNs提升了近76.7%，在处理Burgers方程时显现出更强的精度和预测能力。

为全面评估PINNs与G-PINNs在不同训练集规模下的表现，实验选择在不同数据配置条件下比较二者的性能。 表1 列出了不同数据配置条件下PINNs与G-PINNs迭代3000、6000、9000次后的绝对误差。通过考察模型在不同数据情况下的性能表现，可以评估模型对于数据量变化的鲁棒性及泛化能力。

表1 的实验结果表明G-PINNs在相同数据配置点情况下的绝对误差相较于PINNs降低了约36%~63%。进一步减少一半配置点后，PINNs与G-PINNs的训练误差均呈现出一定程度的增加。然而G-PINNs在使用一半配置点训练时的误差比PINNs不减少配置点时的误差更小，该结果表明PINNs模型在处理PDE时其性能在很大程度上依赖于物理信息的准确性和完整性，在数据集数量减少的情况下PINNs的模型性能也随之降低并且求解精度存在局限性。G-PINNs通过增强对方程梯度的约束提升了模型物理拟合的能力以及方程建模的准确性，其表现力显著优于PINNs模型。对于数据集数量有限或者方程的解难以求得的复杂流体扩散场景，G-PINNs能够以相对较少的配置点实现更为精准的预测，表现出更佳的网络逼近能力。在资源有限的情况下，G-PINNs权衡时间效益与预测精度，为工程领域的问题求解提供了一种高效、精确的选择。

通过考察PINNs与G-PINNs模型在不同数据情况下的性能表现，可以评估二者对于数据量变化的鲁棒性及泛化能力。此外，不同的数据配置条件涉及到实际应用中不同的数据采集成本、时间成本和人力资源投入，此比较研究有助于做出合理的资源分配和成本考量，为实际应用提供了更可靠的求解策略以及更全面的评估框架。

Figure 6. Training results of G-PINNs with 5% noise

图6. 添加5%弱噪声后G-PINNs的训练结果图