《高等代数》是数学类专业的基石之一，也是数学类专业考研的专业课程之一。分块矩阵 [1] 是《高等代数》中的一个重要内容，在处理阶数较高的矩阵时常采用的分块矩阵进行降阶，是《高等代数》考研试题中的重要考点之一。分块矩阵是一种将大型矩阵分割成若干个小矩阵的方法，若干个小矩阵称为“块”，从而达到简化矩阵运算和分析。分块矩阵的加(减)法运算和数乘运算与普通矩阵的运算法则类似，两个相同分块形式的矩阵可以进行加(减)法运算，数乘运算也是对每个块独立进行。分块矩阵的乘法运算的前提是相应的块矩阵的大小要符合矩阵乘法的要求，再通过分块进行乘法运算。根据分块矩阵特定的性质，例如某个块是对角块，我们可以利用分块矩阵解决高等代数中阶数较高以及有特殊规律的矩阵的秩的问题，也可以简化高阶矩阵的行列式计算的问题等。在实际问题中的应用也很广泛，例如在图像的处理问题中，图像可以分成小块，每个小块单独处理，这在并行计算中非常有用。因此，在历年的《高等代数》考研试题中，有关分块矩阵的题目出现频率较高，为了更好地求解分块矩阵的有关试题，探讨分块矩阵在《高等代数》考研试题中的应用具有很好的现实意义。

近年来，众多学者以及从事高等代数和线性代数一线教学的教师都对分块矩阵的性质及其应用进行了探讨。阿里非日等 [2] 阐述了分块矩阵的基本性质以及矩阵的分块方法在行列式的相关计算中的应用，沈雷等 [3] 通过实例探讨了分块矩阵在行列式计算和矩阵的秩问题中的应用，成立花等 [4] 研究了分块矩阵的初等变换在矩阵秩的求解过程中的便利性，并且对矩阵秩的等式问题进行了研究和推广，而黄志君 [5] 探讨了分块矩阵在求解矩阵秩及其相关不等式证明中的应用。

本文结合近几年的考研试题对分块矩阵的应用进行剖析。文章首先简单介绍了分块矩阵相关知识，然后从五个方面对分块矩阵在高等代数课程考研试题中的应用进行了探讨，即：分块矩阵在行列式计算中的应用、分块矩阵在证明矩阵秩相关问题中的应用、分块矩阵在矩阵求逆问题中的应用、分块矩阵在特征值问题中的应用及分块矩阵在相似与合同中的应用五个方面。

定义1.1 [1] 对于行数和列数较高并且具有一定规律的矩阵，在计算过程中可以采用“矩阵分块法”，使其分为小矩阵运算，将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的矩阵在形式上被称为分块矩阵 [1] 。

例如：3 × 4的矩阵A为

$A=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{a}_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\end{array}\right)$

分成子块的方法很多，比如：

(1) $(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \end{array}$