自2019年12月初在中国武汉出现首例新冠病例以来，新冠肺炎疫情一直影响着我们的工作和生活。由于新冠肺炎具有无症状传播的特点，所以新冠肺炎疫情十分严重。截止2023年3月7日，全球累计感染约7.5亿人，累计死亡约686万人。因此，研究和控制COVID-19的传播显得尤为迫切。另一方面，传染病动力学模型是研究疾病传播规律的重要工具之一，能够定量描述传染病的传播规律，预测其发展趋势。为了更好地了解COVID-19的传播情况，制定有效的控制策略，学者们建立了大量的数学模型。例如，Song等人 [ 1] 提出了一类具有标准发生率的SEIS传染病模型并确定了模型的基本再生数。Huo等人 [2] 提出了一类受媒体传播影响的SEIS模型并证明了模型的平稳分布。Xu [3] 提出了一类具有时滞的SEIS传染病模型，Fan等人 [4] 等人提出了一类具有常出生率的SEIS传染病模型。Kamrujjaman等人 [5] 提出了如下具有无症状感染的SEIR传染病模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S,\\ \frac{\text{d}E\left(t\right)}{\text{d}t}=\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(m+\mu +\gamma \right)E,\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=mE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I,\\ \frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\delta I-\mu R,\end{array}$(1.1)

其中 $S\left(t\right)$表示易感者，表示 $E\left(t\right)$无症状感染者，表示 $I\left(t\right)$感染者， $R\left(t\right)$表示恢复者， $\Lambda$表示出生率， ${\beta }_1$表示易感者与无症状感染者的感染率， ${\beta }_2$表示易感者与感染者之间疾病的传播率， $\mu$表示自然死亡率， ${\mu }_1$表示感染者的因病死亡率， $\frac{1}{k}$表示无症状感染者出现症状的平均时间， $\delta$表示感染者的恢复率率， $\alpha ,\gamma ,\eta$分别易感者，无症状感染者和感染者患有恐慌性焦虑症的速率。

对于模型系统(1.1)，Kamrujjaman等人 [5] 确定了模型的无病平衡 $x_0=\left(S_0,0,0,0\right)=\left(\frac{\Lambda }{\mu +\alpha },0,0,0\right)$和地方病平衡点 $x_1=\left(S_1,E_1,I_1,R_1\right)$，其中 $S_1=\frac{\lambda \left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}{m{\beta }_2{E}_1+\left(\mu +\alpha +{\beta }_1+E_1\right)\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$， $E_1=\frac{\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)\left(\mu +\alpha \right)\left({\Re }_0-1\right)}{m{\beta }_2+{\beta }_1\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$， $I_1=\frac{m{E}_1}{\mu +\delta +{\mu }_1+\eta }$， $R_1=\frac{\delta m{E}_1}{\mu \left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$并且Kamrujjaman等人利用下一代矩阵方法 [6] ，通过 ${\Re }_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)$得到了模型的基本再生数

${\Re }_0=S_0\frac{{\beta }_1\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)+{\beta }_{2}m}{\left(m+\mu +\gamma \right)\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$.

在文献 [5] 中，Kamrujjaman等人证明了当 ${\Re }_0<1$时，系统(1.1)的无病平衡点是全局渐进稳定的；当 ${\Re }_0>1$时，模型(1.1)的地方病平衡点是全局渐进稳定的。

由于环境和人类行为的随机性，传染病的传播也必然具有一定的随机性。随之而来的问题是，这些随机性是否影响传染病的传播？为了回答这一问题，许多学者利用随机微分方程建立了大量的随机传染病模型并发现了环境的随机性对传染病模型动力学行为存在影响。例如：Yang等人 [7] 提出了一类随机SEIR传染病模型。Zhu等人 [8] 提出了一类具有标准发生率的随机SEI模型。Zhang等人 [9] 提出了一类总人口规模变化的随机SIQS传染病模型。Shi等人 [ 10] 提出了一类多斑块的随机SEIRS模型。此外，还有许多学者也研究了受到环境噪声影响的传染病模型 [11] - [15] 。

在模型(1.1)的基础上，假设随机扰动为白噪声类型且与变量 $S,E,I,R$成正比。因此对应于模型(1.1)的随机模型的形式如下：

$\{\begin{array}{l}\text{d}S\left(t\right)=\left[\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S\right]\text{d}t+{\sigma }_{1}S\text{d}{B}_1\left(t\right),\\ \text{d}E\left(t\right)=\left[\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(m+\mu +\gamma \right)E\right]\text{d}t+{\sigma }_{2}E\text{d}{B}_2\left(t\right),\\ \text{d}I\left(t\right)=\left[mE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I\right]\text{d}t+{\sigma }_{3}I\text{d}{B}_3\left(t\right),\\ \text{d}R\left(t\right)=\left[\delta I-\mu R\right]\text{d}t+{\sigma }_{4}R\text{d}{B}_4\left(t\right),\end{array}$(1.2)

其中 $B_i\left(t\right)\left(i=1,2,3,4\right)$表示相互独立的标准布朗运动， ${\sigma }_i^2\left(t\right)\left(i=1,2,3,4\right)$表示随机扰动强度。

文章剩余内容如下。第二部分，给出本文用到的基本定义和公式。第三部分，证明模型(1.2)在空间 ${ℝ}_{+}^4$上全局正解的存在唯一性。第四部分，首先构造了决定疾病持久的参数 ${\Re }_0^s$，然后通过构造合适的V函数来证明当 ${\Re }_0^s>1$时，模型(1.2)在空间 ${ℝ}_{+}^4$上存在唯一一个的平稳分布 $\pi (\cdot )$。第五部分，对本文主要结论进行了总结并对将来的研究进行了展望。

在本文中，除非另有说明，否则设 $\left(\Omega ,ℱ,{\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$是一个完全概率空间，其中 ${\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0}$满足通常条件，即它是右连续的，且 ${ℱ}_0$包含所有 $\mathbb{P}$-null集。记 $a\wedge b=\min \left\{a,b\right\}$和 $a\vee b=\max \left\{a,b\right\}$。

这一节，通过构造合适的函数V来分析模型(1.2)正解的存在唯一性。首先，定义空间

${ℝ}_{+}^4=\left\{x=\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in {ℝ}^4:x_i>0,i=1,2,3,4\right\}$。下面证明模型(1.2)的解在 ${ℝ}_{+}^4$中的概率为1。

定理3.1.

对任意给定的初始值 $\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$，系统(1.2)在 $t\ge 0$上存在唯一的解 $\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$，且解 $\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$中的概率为1，即对任意的 $t\ge 0$，有 $\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$a.s.。

证明 由于模型(1.2)的系数是局部Lipschitz连续的，则对任意的初值 $\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$和 $t\in \left[0,{\tau }_e\right)$，模型(1.2)存在唯一的局部解，其中 ${\tau }_e$表示爆破时间。要证解是全局的，只需证明 ${\tau }_e=\infty$a.s。令 $k_0>1$，使得 $\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)$在区间 $\left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$。对于任意的整数 $k>k_0$，定义停时：

${\tau }_k=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right):S\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或E\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或I\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或R\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)\right\}$,

本文中，令 $\inf \varnothing =\infty$。显然，当 $k\to \infty$时， ${\tau }_e$是单增的。记 ${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$，则 ${\tau }_{\infty }<{\tau }_e$a.s.。如果 ${\tau }_{\infty }=\infty$a.s.，那么 ${\tau }_e=\infty$a.s.。下面运用反证法证明 ${\tau }_{\infty }=\infty$。设 ${\tau }_{\infty }\ne \infty$，则存在 $T>0$和任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$使得

$\mathbb{P}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$.

因此存在整数 $k_1>k_0$使得

$\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon ,k>k_1$,

其中 ${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$。

考虑 ${ℂ}^2$-函数 $V:{ℝ}_{+}^4\to ℝ$

$V\left(S,E,I,R\right)=S-a-a\ln \frac{S}{a}+E-1-\ln E+I-1-\ln I+R-1-\ln R$,

其中a是待定常数。令 $k\ge k_0$和T是任意的。使用Itô公式，得到

$\begin{array}{l}\text{d}V\left(S,E,I,R\right)=ℒV\left(S,E,I,R\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}ℒV\left(S,E,I,R\right)=\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\frac{a\Lambda }{S}+a\left(\mu +\alpha \right)+a\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2\\ +\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(k+\mu +\gamma \right)E-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\frac{S}{E}+\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\\ +kE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I-k\frac{E}{I}+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ +\delta I-\mu R-\frac{I}{R}+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\\ \le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(a{\beta }_1-\mu -\gamma \right)E+\left(a{\beta }_2-\mu -{\mu }_1-\eta \right)I+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2\\ +\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\end{array}$

令 $a=\min \left\{\frac{\mu +\gamma }{{\beta }_1},\frac{\mu +{\mu }_1+\eta }{{\beta }_2}\right\}>0$，故 $a{\beta }_1-\mu -\gamma \le 0$， $a{\beta }_2-\mu -{\mu }_1-\eta \le 0$。因此

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)\\ +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\end{array}$

且

$\begin{array}{c}\text{d}V\left(S,E,I,R\right)\le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\mu +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\\ +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\frac{1}{2}{\sigma }_4^2+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\\ =C+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\end{array}$

其中 $C=\Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2$。因此

对于任意的 $k\ge k_1$，得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}V}={\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}ℒV}\left(S,E,I,R\right)\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)}\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4}\left(t\right).\end{array}$

则

$\begin{array}{c}E\left(T\wedge {\tau }_k\right),I\left(T\wedge {\tau }_k\right),R\left(T\wedge {\tau }_k\right)\le V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+\mathbb{E}C{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}t}\\ \le V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT.\end{array}$

令 ${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$，显然有 $\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon$，则 $\forall \omega \in {\Omega }_k$可知 $S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)$至少有一个等于k或 $\frac{1}{k}$。则

$\begin{array}{l}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\\ \ge \min \left\{k-1-a\ln \frac{k}{a},\frac{1}{k}-a+\ln ak,k-1-\ln k,\frac{1}{k}1-\ln \frac{1}{a}\right\}\\ :=f\left(k\right).\end{array}$

所以

$\begin{array}{c}V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT\ge \mathbb{E}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\\ \ge \mathbb{E}\left[1_{{\tau }_k}\left(\delta \right)V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\right]\\ \ge \epsilon f\left(k\right).\end{array}$

令 $k\to \infty$，可知 $\infty >V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT=\infty$，显然矛盾。因此 ${\tau }_{\infty }=\infty$。

这一部分，首先确定了参数 ${\Re }_0^s$，然后根据文献 [17] 中的引理证明了当参数 ${\Re }_0^s>1$时，模型(1.2)在空间 ${ℝ}_{+}^4$中存在唯一一个平稳分布 $\pi (\cdot )$。引理内容如下。

引理4.1. [17]

如果存在一个具有正则边界的有界开域 $U\in {ℝ}^l$，使得以下条件成立：

(i) 在定义域U及其邻域内，扩散矩阵 $A\left(x\right)$的最小特征值非零。

(ii) 对任意的 $x\in {ℝ}^l\backslash U$从x出发到达U的平均时间 $\tau$是有限的，且对每个紧子集 $K\subset {ℝ}^l$满足 ${\sup }_{x\in K}{E}^x\tau <\infty$。

那么马尔科夫过程 $X\left(t\right)$有唯一的平稳分布 $\pi (\cdot )$。

定理4.1.

假设

${\Re }_0^s:=\frac{\Lambda }{\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_2\alpha }{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right)>1$

那么对任意的初值 $\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$，系统(1.2)在 ${ℝ}_{+}^4$上存在一个唯一的平稳分布 $\pi (\cdot )$。

证明 为了证明定理4.1，仅需要证明引理4.1的条件(i)和(ii)均成立即可。首先证明条件(i)。由模型(1.2)可知其扩散矩阵为

$M=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2{S}^2& 0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2^2{E}^2& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3^2{I}^2& 0\\ 0& 0& 0& {\sigma }_4^2{R}^2\end{array}\right]$.

显然，矩阵M对于 ${ℝ}_{+}^4$的任意紧子集都是正定的，因此引理4.1的条件(i)成立。

下面，将证明引理4.1的条件(ii)。定义

$V_1\left(S,E,I\right)=-\ln E\left(t\right)-c_1\ln I\left(t\right)-c_2\ln I\left(t\right)-c_3\ln I\left(t\right)$

其中 $c_1,c_2,c_3$为待定正常数。使用Itô公式，得到

$\begin{array}{c}ℒV_1\left(S,E,I\right)=-{\beta }_{1}S-{\beta }_2\frac{SI}{E}-c_{1}k\frac{E}{I}+\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+c_1\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+c_1\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ -\left(c_2+c_3\right)\left[\frac{\Lambda }{S}-\left(\mu +\alpha +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)\right]+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\\ \le -\sqrt{2c_2\Lambda {\beta }_1}-3\sqrt[3]{c_1{c}_3{\beta }_{2}k\Lambda }+\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)+c_1\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\\ +\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)+\left(c_2+c_3\right)\left(\mu +\alpha +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)\end{array}$(4.1)

令

$\begin{array}{l}{c}_1=\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)}^2\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)},\\ c_2=\frac{{\beta }_1\Lambda }{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2},c_3=\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right){\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}^2},\end{array}$

然后，将 $c_1,c_2,c_3$代入到(4.1)，进一步得到

$\begin{array}{l}ℒV_1\left(S,E,I\right)\le \left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)-\frac{{\beta }_1\Lambda }{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2}-\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\\ +\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\\ =-\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\end{array}$(4.2)

其中

${\Re }_0^s=\frac{\Lambda }{\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_2\alpha }{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right)$.

接下来，定义 $V_2\left(S,E,I\right)=V_1\left(S,E,I\right)+\frac{{\beta }_1\left(c_2+c_3\right)I}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }$，根据(4.2)式，得到

$ℒV_2\left(S,E,I\right)\le -\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E$(4.3)

定义 $V_3\left(S,I,R\right)=-\ln S-\ln I-\ln R$, $V_4\left(S,E,I,R\right)=\frac{1}{\theta +1}{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}$其中 $\theta$充分小且 $0<\theta <\frac{2\mu }{{\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2}$。根据Itô公式，得到

$ℒV_3\left(S,I,R\right)=-\frac{\Lambda }{S}+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)$(4.4)

且

$\begin{array}{l}ℒV_4\left(S,E,I,R\right)={\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\left[\Lambda -\mu S-\alpha S-\mu E-\gamma E-\mu I-{\mu }_{1}I-\eta R-\mu R\right]\\ +\frac{\theta }{2}{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta -1}\left[{\sigma }_1^2{S}^2+{\sigma }_2^2{E}^2+{\sigma }_3^2{I}^2+{\sigma }_4^2{R}^2\right]\\ \le {\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\Lambda -\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\\ \le M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\\ \le M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\end{array}$(4.5)

其中 $M={\sup }_{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}\left\{{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\Lambda -\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\right\}<\infty$。

考虑 ${ℂ}^2$-函数 $\tilde{V}:{ℝ}_{+}^4\to ℝ$， $\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)=K{V}_2\left(S,E,I\right)+V_3\left(S,I,R\right)+V_4\left(S,E,I,R\right)$，其中K是充分大的一个正常数且满足

$-K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+C\le -2$(4.6)

其中

$\begin{array}{l}C=\underset{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left[3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\right]\}.\end{array}$(4.7)

此外，由于 $\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)$在 ${ℝ}_{+}^4$上是连续的，并且当 $\left(S,E,I,R\right)$趋向于0或 $+\infty$时，均可得

$\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)=+\infty .$

因此 $\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)$在 ${ℝ}_{+}^4$内部可以取到最小值，设最小值点为 $\left(S^{\ast },E^{\ast },I^{\ast },R^{\ast }\right)$。

定义 ${ℂ}^2$-函数 $V:{ℝ}_{+}^4\to {ℝ}^{+}$， $V\left(S,E,I,R\right)=\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)-\tilde{V}\left(S^{\ast },E^{\ast },I^{\ast },R^{\ast }\right)$。根据(4.3)，(4.4)和(4.5)，可以得到

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{\Lambda }{S}+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ +M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ \le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{\Lambda }{S}-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\end{array}$(4.8)

下面，证明引理4.1中的条件(2)成立，首先定义一个有界开域

$U_{\epsilon }=\left\{\epsilon <S<\frac{1}{\epsilon },\epsilon <E<\frac{1}{\epsilon },{\epsilon }^2<I<\frac{1}{{\epsilon }^2},{\epsilon }^2<R<\frac{1}{{\epsilon }^2}\right\}$,

其中 $0<\epsilon <1$且充分小。在集合 ${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$中，为了证明引理4.1中的条件(ii)成立，因此选择充分小的 $\epsilon$使

得下式成立

$-\frac{\Lambda }{\epsilon }+D\le -1$, (4.9)

$K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)\epsilon \le -1$, (4.10)

$-\frac{k}{\epsilon }+D\le -1$, (4.11)

$-\frac{\delta }{\epsilon }+D\le -1$, (4.12)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\le -1$, (4.13)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\le -1$, (4.14)

其中

$\begin{array}{l}D=\underset{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\}.\end{array}$

将 ${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$划分成8个区域，

$\begin{array}{l}{U}_1=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\le \epsilon \right\},U_2=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E\le \epsilon \right\},\\ U_3=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E>\epsilon ,I\le {\epsilon }^2\right\},U_4=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E>\epsilon ,R\le {\epsilon }^2\right\},\\ U_5=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\ge \frac{1}{\epsilon }\right\},U_6=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E\ge \frac{1}{\epsilon }\right\},\\ U_7=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}\right\},U_8=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:R\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}\right\},\end{array}$

则 ${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }=U_1\cup U_2\cup U_3\cup U_4\cup U_5\cup U_6\cup U_7\cup U_8$.下面证明对任意 $\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$有 $ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -1$成立，即证明在上述8个区域中，均有 $ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -1$成立。