ARMA-GARCH模型是一个在金融时间序列分析中广泛应用的模型，它结合了自回归移动平均(ARMA)模型和广义自回归条件异方差(GARCH)模型的特点，用于同时模拟时间序列的均值和方差动态。其中，ARMA部分用于建模时间序列的均值，而GARCH部分则用于建模时间序列的方差。

ARMA模型描述了时间序列数据与其过去值以及随机扰动项之间的关系。ARMA(p,q)模型的一般形式为：

$Y_t=c+{\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{Y}_{t-p}+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$(1)

其中， $Y_t$是时间序列在时刻t的值，c是常数项， ${\varphi }_i$是自回归系数， ${\theta }_i$是移动平均系数， ${\epsilon }_t$是时刻t的误差项，自回归部分的滞后阶数为p，移动平均部分的滞后阶数为q。

对于平稳的ARMA(p,q)模型 $Y_t=c+{\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\epsilon }_t$，要想预测后一期 $Y_{t+1}$，那么 $Y_{t+1}$的条件均值需要满足 $E\left(Y_{t+1}\right)=c+{\varphi }_1{Y}_t$，该模型误差项的条件方差为 $E\left({\epsilon }_{t+1}^2\right)=E\left\{{\left[Y_{t+1}-\left(c+{\varphi }_1{Y}_t\right)\right]}^2\right\}={\sigma }^2$。当上述模型的条件方

差不是一个恒定的常数时，说明该时间序列存在异方差，考虑构建自回归条件异方差(ARCH)模型，用过去的误差项平方序列拟合当前的条件方差，其结构为：

${\epsilon }_t^2={\gamma }_0+{\gamma }_1{\epsilon }_{t-1}^2+{\gamma }_2{\epsilon }_{t-2}^2+\cdots +{\gamma }_p{\epsilon }_{t-p}^2+{\eta }_t$(2)

其中， ${\eta }_t$独立同分布，均值为零且方差为常数。

由于使用ARCH模型会产生很高的阶数，增加大量的参数，这会导致估计效率和精度大大降低，从而降低该模型的拟合精度，因此将条件方差引入方程中，把ARCH模型写成ARMA模型的形式，得到GARCH模型，用于建模时间序列的波动性。GARCH(p,q)模型的一般形式为：

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{\epsilon }_{t-1}^2+{\alpha }_2{\epsilon }_{t-2}^2+\cdots +{\alpha }_p{\epsilon }_{t-p}^2+{\beta }_1{\sigma }_{t-1}^2+{\beta }_2{\sigma }_{t-2}^2+\cdots +{\beta }_q{\sigma }_{t-q}^2$(3)

其中， ${\sigma }_t^2$是时刻t的条件方差， ${\alpha }_i$和 ${\beta }_i$模型的参数， ${\epsilon }_t$是时刻t的误差项。

在ARMA-GARCH模型中，ARMA部分用于捕捉时间序列的均值动态，GARCH部分则用于捕捉时间序列的波动性动态，模型提供更为全面的数据分析视角，在处理金融时间序列数据时具有较好的预测性能。与其他复杂模型(如神经网络、支持向量机等)相比，ARMA-GARCH模型具有更强的可解释性和更少的参数需求。

马尔可夫链(Markov Chain, MC)是概率论和数理统计中具有马尔可夫性质且存在于离散的指数集和状态空间内的随机过程。它用于描述一系列事件中，下一个事件只与当前事件有关，而与之前的事件无关的特性。马尔可夫链由状态空间和转移概率组成。状态空间是所有可能状态的集合，而转移概率则定义了从一个状态转移到另一个状态的可能性。马尔可夫链能够简化复杂系统的建模过程，通过仅考虑当前状态来预测未来状态，降低了模型的复杂度。此外，它在处理序列数据时表现出色，能够捕捉序列中的依赖关系。

马尔可夫链的特点是当随机过程在时刻 $t_{n-1}$的状态已知的条件下,它在时刻 $t_n$所处的状态仅与时刻 $t_{n-1}$的状态有关，而与过程在 $t_{n-1}$以前的状态无关。对马尔可夫链，系统在某时刻从状态a经过n步转移后处于状态b的概率称为n步转移概率。由一步转移概率 $P_{ab}$为元素构成的矩阵 $P_1$称为一步转移矩阵，由所有n步转移概率 $P_{ab}\left(n\right)$为元素组成的矩阵 $P_n$称为n步转移矩阵。n步转移矩阵 $P_n$与一步转移矩阵 $P_1$具有以下的关系 $P_n=P_1^n$。设 $P\left(n\right)$是状态在第n步的概率分布向量，则由矩阵乘法可得 $P\left(n\right)=P\left(0\right)P_1^n$，其中 $P\left(0\right)$为初始时状态的概率分布向量。

对于m个状态区间， $X_t\left(t=1,2,\cdots ,n\right)$表示t时刻所处的状态区间，用 ${\chi }^2$统计量来检验随机时间序列 $X_t$是否具有马氏性，步骤如下：用 $f_{ij}$表示在 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$中从状态i经过一步转移到状态j的频数，并将 ${\left(f_{ij}\right)}_{m\times m}$的第j列之和除以各行各列的总和所得到的值记为 $P_{\cdot j}$，即：

$P_{\cdot j}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{f}_{ij}}}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{f}_{ij}}}}$(4)

$P_{ij}=\frac{f_{ij}}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{f}_{ij}}}$(5)

${\chi }^2=2{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{f}_{ij}\left|\log \frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\right|}}$(6)

当m比较大时，卡方统计量 ${\chi }^2$服从自由度为 ${\left(m-1\right)}^2$的 ${\chi }^2$分布。 ${\chi }^2$大于相应置信度下的分布统计量，可认为符合马氏性。

数据选择2018年7月4日至2022年4月29日的美元/人民币在岸汇率，以汇率的每日涨跌幅作为研究数据，共929条，数据来源于同花顺iFind数据库。汇率涨跌幅分布情况见 图1 。数据描述性统计见 表1 。

从 表1 可以看出美元/人民币在岸汇率的均值接近0；偏度大于0，呈现右偏分布特征；峰度大于3，表现为尖峰厚尾的分布特征；Jarque-Bera统计量显著，拒绝正态分布的假定。从 图1 也可以看出美元/人民币在岸汇率右偏分布特征较为明显。

对汇率数据的涨跌幅进行ARMA-GARCH模型分析。在时间序列分析的过程中为了避免“伪回归”问题，要求所分析的时间序列必须具备平稳性，体现在时间序列的均值和方差不随时间变化，其协方差也只与时间间隔相关，而非具体时间点。在建模分析之前，需要对汇率涨跌幅序列进行单位根检验。单位根检验结果见 表2 。通过单位根检验可以看出，美元/人民币在岸汇率的涨跌幅数据趋于平稳。涨跌幅数据见 图2 ，可以明显看出，部分涨跌幅波动小，部分数据波动较大，说明该时间序列有异方差性。

对汇率涨跌幅进行自相关图分析，其自相关系数(ACF)和偏自相关系数(PACF)均无明显截尾现象，使用经模型识别和序列相关性检验后选择ARMA(5,5)和AR(12)作为备选模型。AIC准则和BIC准则判断情况见 表3 。

对ARMA(5,5)和AR(12)模型进行ARCH效应检验，结果见 表4 。两组模型LM统计量的P值均小于0.05，表示均存在ARCH效应，在此基础上用t分布拟合建立GARCH模型，并比较GARCH族模型发现GARCH(1,1)显著性较好(0.01显著性水平)。模型参数估计情况分别见 表5 、 表6 。

两组模型中ARMA部分的常数项均不显著，其余各项显著性较好。构建模型时剔除ARMA部分的常数项。

ARMA(5,5)-GARCH(1,1)模型：

$Retur{n}_t=0.391496\times Retur{n}_{t-5}+{\epsilon }_t-0.358437\times {\epsilon }_{t-5}$(7)

${\sigma }_t^2=3.19\times {10}^{-6}+0.295827\times {\epsilon }_{t-1}^2+0.250471\times {\sigma }_{t-1}^2$(8)

AR(12)-GARCH(1,1)模型：

$Retur{n}_t=0.089147\times Retur{n}_{t-12}+{\epsilon }_t$(9)

${\sigma }_t^2=3.11\times {10}^{-6}+0.277036\times {\epsilon }_{t-1}^2+0.264265\times {\sigma }_{t-1}^2$(10)

分别以ARMA(5,5)-GARCH(1,1)、AR(12)-GARCH(1,1)对未来7天、19天汇率进行预测，得到汇率预测情况如 图3(a) 、 图3(b) 所示。从图表可以看出两个统计模型对汇率预测情况较差，预测值与实际值有较大出入。具体使用平均绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)进行预测精度衡量，数值越小说明预测精度越好。计算方法分别为：

$\text{MAE}=\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum }}_{k=1}^n\left|actua{l}_{\text{k}}-predicte{d}_k\right|$(11)

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{{{\displaystyle \sum }}_{k=1}^n{\left(actua{l}_{\text{k}}-predicte{d}_k\right)}^2}{n}}$(12)

分别对ARMA(5,5)-GARCH(1,1)、AR(12)-GARCH(1,1)计算未来7天、19天预测汇率的MAE、RMSE，得到结果如 表7 所示。比较两个模型，可以发现AR(12)组在19天跨度下有着更小的MAE和RMSE，对未来19天汇率预测相对较好；而在7天跨度下MAE显示ARMA(5,5)组较好，RMSE显示AR(12)组较好，但两组模型的数值均较为接近，没有明显差异。

考虑到GARCH模型对波动率刻画较为有效，分别计算两组模型误差项未来7天、19天的标准差均值，并与未来7天、19天实际美元/人民币在岸汇率的标准差进行比较，结果见 表8 。

通过模型误差项标准差的均值(S.D. Mean)与实际汇率标准差(Actual S.D.)的比较可以发现，两组模型对未来19天汇率的标准差刻画较好，且AR(12)组更胜一筹；而对未来7天汇率标准差的刻画，两组模型更加精确，差异率均在2%以内，ARMA(5,5)组更佳，差异率仅为0.88%。模型对7天内汇率的波动情况有较好拟合，因此考虑提取模型误差的标准差序列 $\left\{{\sigma }_t\right\}$作为波动因子，短期内汇率波动情况进行模拟。

马尔可夫链要求划分随机过程的状态，以往研究中往往采取划分价格区间的做法，这种做法得到的是未来资产价格区间的预测。本文调整了以往研究思路，将汇率日收盘价转换为日涨跌幅，根据样本美元/人民币在岸汇率涨跌幅情况，将其划分为6个区间，并统计了各区间的样本频数，得出转移频数矩阵，见 表9 、 表10 。进一步计算得转移频率矩阵，并作为一步转移矩阵的估计，记为6 × 6的矩阵 $\left[P_1\right]$，见 表11 。对于 表10 、 表11 ，行记为区间a，列记为区间b，其中频数 $F_{a,b}$或概率 $P_{a,b}$表示从区间a转移至区间b的频数或概率。

首先根据公式(6)用 ${\chi }^2$统计量来检验汇率涨跌幅 $Retur{n}_t$是否具有马氏性。本文共划分6个汇率涨跌幅区间，选择置信度为1%，查表得 ${\chi }_{0.01}^2\left(25\right)$值并根据公式(4)、(5)、(6)可得马氏性检验的卡方统计量： ${\chi }^2=246.46>44.31={\chi }_{0.01}^2\left(25\right)$。可认为本文所用汇率涨跌幅样本符合马氏性。

以4月29日(状态(−0.2%,0])为起始，预测19个交易日后5月31日的美元/人民币汇率。行向量[0,0,1, 0,0,0]记为初始状态 $\left[P_0\right]$。计算6段区间内实际汇率的平均涨跌幅作为区间涨跌幅的代表值，取涨跌幅+1为平均变化，记为列向量 $\left[R_0\right]$，具体见 表12 。

计算矩阵乘法 $P_0{\left(P_1\right)}^t{R}_0$，即为未来第t期汇率涨跌的变化情况，记为汇率变化序列 $\left\{R_t\right\}$，进而可得到汇率涨跌幅序列 $\left\{r_t\right\}$，有 $r_t=R_t-1$。计算过程中基于python调用quantecon库MarkovChain函数，或

构建循环计算得到目标日概率分布。进一步计算得到美元/人民币在岸汇率未来第19天预测值为6.5879元。而实际汇率为6.6578元；未来第7天预测值为6.5875，实际汇率为6.7830。对汇率的预测在数值上有较大出入，进一步比较未来7天与19天的汇率预测精度，同样使用MAE与RMSE指标，具体见 表13 。可以看出，马尔可夫链对未来7天、19天汇率的描述精度并没有较大改善。

考虑到马尔可夫链对汇率随机过程的模拟，会在一定区间后收缩为稳定态，即汇率涨跌幅的预测值趋近于固定值，这显然不符合实际涨跌幅的变动。 表14 为对未来均值的预测情况，可以看出对于均值的拟合有一定效果。提取预测涨跌幅序列 $\left\{r_t\right\}$作为期望因子序列进行汇率模拟。

结合ARMA(5,5)-GARCH(1,1)模型的波动预测和马尔可夫链的期望预测，构造 $\left\{r_t\pm {\sigma }_t\right\}$、 $\left\{r_t\pm 2{\sigma }_t\right\}$、 $\left\{r_t\pm 3{\sigma }_t\right\}$作为未来短期内汇率的预测区间。对未来19天、7天的区间预测效果图如 图4 所示。

通过汇率区间预测效果图可以看出，虽然短期汇率走势完全落在 $\left\{r_t\pm 3{\sigma }_t\right\}$区间之内，但是区间预测的精确度很差，且实际汇率走势多在区间上界范围附近。这主要是因为马尔可夫链存在一个平稳状态，此时一步概率转移矩阵为固定矩阵，预测值序列呈指数序列，因为汇率涨跌幅取值较小，使得预测得到的汇率序列呈类直线趋势。 $\left\{r_t+{\sigma }_t\right\}$序列与 $\left\{r_t+2{\sigma }_t\right\}$序列在未来7天和19天的预测精度见 表15 。可以看出，相比19天，模型对未来7天的预测情况更好。7天实际汇率与 $\left\{r_t+{\sigma }_t\right\}$序列的MAE和RMSE分别为0.0446和0.0484；7天实际汇率与 $\left\{r_t+2{\sigma }_t\right\}$序列的MAE和RMSE分别为0.0246和0.0352。