1) 该区域内只存在单个配送中心，并为区域内多个需求点提供配送服务。

2) 配送中心采用统一型号的冷藏车，即所有车辆在任何方面的花费是一致的，运输费用只会根据运输距离而改变，且不允许出现超载的问题。

3) 每条线路只能有一辆货车执行运输任务，且车辆对门店按照一定的次序进行送货，在完成任务后返回配送中心。

4) 假定企业所服务的门店日需求量是已知并且不变的，每日运输必须满足门店的销售需求，不存在因临时需求导致中途指派车辆的情况。

5) 配送中心的货物库存量远大于门店需求量，即不会有缺货。

6) 假定所有车辆以某一特定速度匀速行驶，在后续模型中采用定值。

7) 室外温度的变化对车辆正常运行的能耗几乎不会产生影响。

N：所有客户点的集合( $N=1,2,\cdots ,n$)

N₀：表示配送中心0

$V=N_0\cup N$：区域内所有点的集合( $N=0,1,2,\cdots ,n$)

K：配送中心持有的车辆集合( $K=1,2,\cdots ,m$)

Q：车辆的最大载重量

$d_{ij}$：节点i和节点j之间的距离

${\beta }_1$：车门关闭条件下产品腐坏速率

${\beta }_2$：车门打开条件下产品腐坏速率

v：车辆行驶速度

$e_0$：单位燃油消耗产生的碳排放量

$\omega$：制冷设备工作时单位重量的货物在单位距离上所产生的碳排放量

${\rho }_0$：车辆空载时的单位距离油耗

${\rho }^{\ast }$：车辆满载时的单位距离油耗

$q_i$：客户点i的需求量

$Q_i$：车辆离开客户点i时剩余产品装载量

$Q_{ij}$：车辆在节点i和j之间行驶时的载货量

$t_{ij}^k$：车辆k从节点i行驶至节点j的时间

$t_{si}$：客户点i的服务时间

$t_i^k$：车辆k到达客户点i的时刻

$t_0^k$：车辆k从配送中心出发的时刻

$\left[T_{ei},T_{li}\right]$：客户点i的满意服务时间窗

$\left[{T^{\prime }}_{ei},{T^{\prime }}_{li}\right]$：客户点i可接受服务时间窗

$c_1$：单位车辆固定成本

$c_2$：单位距离成本

$c_a$：运输过程单位时间制冷成本

${c^{\prime }}_a$：卸货过程单位时间制冷成本

P：单位产品价格

$\mu$：单位时间车辆提前到达所产生的惩罚成本

${\mu }^{\prime }$：单位时间车辆迟到所产生的惩罚成本

$c_0$：碳税价格(每吨CO₂排放征税价格)

$x_{ij}^k=\{\begin{array}{l}1,车辆从节点i行驶到节点j,i,j\in V,\forall k\in K\\ 0,否则\end{array}$

$y_i^k=\{\begin{array}{l}1,当车辆k为客户点i提供服务,i\in N,\forall k\in K\\ 0,否则\end{array}$

固定成本应包含车辆折旧费、人工费等，其与使用车辆量成正比，所以配送过程中车辆固定使用成本C₁可由下式进行表示：

$C_1=c_1{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{j\in N}{\sum }{x}_{0j}^k}}$(1)

其中，c₁表示单位车辆的固定使用成本；k表示该配送中心所有车辆的集合。

一般地，车辆运输成本与行驶距离两者呈正比，配送路线越长，物流成本也就越高，因此运输成本C₂可表示为：

$C_2=c_2{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{d}_{ij}}}$(2)

其中，c₂表示车辆单位距离运营成本； $d_{ij}$表示从节点i到节点j之间的车辆行驶距离。

一般地，生鲜产品的品质会随着时间推移发生变化，在参考相关文献后，本文将其生命周期函数表示为： $Q_t=Q_0{\text{e}}^{-\beta t}$，其中 $Q_t$代表的是在t时刻生鲜产品的质量； $Q_0$代表的是在离开配送中心时生鲜产品的最初始状态； $\beta$代表生鲜的腐坏速率。为了便于研究，本文假设运输时周围环境温度保持不变，因此将 $\beta$设定为一个特定值，冷链产品的质量随时间的推移呈现指数变化的趋势 [6] 。考虑到运输和卸货过程中生鲜的腐坏速率不一致，接下来将从两个角度对货损成本进行分析。

首先，考虑运输中的情形，本阶段冷藏车门全程关闭，温度较为稳定，货损成本C₃₁可以表示为：

$C_{31}=P{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{q}_i\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_1\left(t_i^k-t_0^k\right)}\right)}}$(3)

其中，P是单位产品价格； ${\beta }_1$是车门关闭条件下产品腐坏速率； $t_0^k$是第k辆车离开配送中心的时间点， $t_i^k$表示第k辆车到达客户点i的时间点。

其次，车辆在提供服务时，冷藏车门打开，产品的腐坏速率会加快，此时的货损成本C₃₂可表示为：

$C_{32}=P{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{Q}_i}}\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_2{t}_{si}}\right)$(4)

其中 $Q_i$是车辆离开客户点i时剩余产品装载量； ${\beta }_2$是车门打开条件下产品腐坏速率。

综上所述，在冷链物流配送过程中，总货损成本C₃可表示为：

$C_3=C_{31}+C_{32}=P{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k}}\left[q_i\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_1\left(t_i^k-t_0^k\right)}\right)+Q_i\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_2{t}_{si}}\right)\right]$(5)

根据上述对于货损成本的考虑，接下来也将分别从运输和卸货过程两个角度对制冷成本进行分析。

首先，车辆在正常行驶时制冷成本C₄₁可表示为：

$C_{41}=c_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{t}_{ij}^k}}$(6)

其中 $c_a$表示车辆行驶过程中单位时间产生的制冷成本； $t_{ij}^k$表示车辆k从节点i行驶至节点j的时间；

其次，车辆到达客户卸货点后，打开车门，进行卸货时的制冷成本C₄₂可表示为：

$C_{42}={c^{\prime }}_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{t}_{si}}}$(7)

其中 ${c^{\prime }}_a$表示车辆卸货时单位时间产生的制冷成本； $t_{si}$表示客户点的服务时间；

综上所述，所有冷藏车辆在进行配送服务时产生的总制冷成本为：

$C_4=C_{41}+C_{42}=c_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{t}_{ij}^k}}+{c^{\prime }}_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{t}_{si}}}$(8)

冷藏车在进行配送作业时的碳排放量与其燃油消耗量有关，即碳排放量 = 油耗量 × 碳排放系数。车辆的燃油消耗主要体现在两个方面：包括车辆在正常行驶以及保证制冷设备正常工作的燃油消耗。

1) 在参考相关文献后，本文设定单位距离油耗量的计算公式为：

$\rho \left(X\right)={\rho }_0+\frac{{\rho }^{\ast }-{\rho }_0}{Q}X$(9)

其中， ${\rho }_0$是指运输车辆空载时单位距离所产生油耗； ${\rho }^{\ast }$是指车辆满载时单位距离油耗水平；Q是指车辆的最大装载量；X是指车辆当前的载重重量。

因此，车辆在点i到点j之间行驶时，所产生的碳排放量 $C_{p1}$可表示为：

$C_{p1}=e_0\rho \left(Q_{ij}\right)d_{ij}$(10)

其中， $e_0$表示碳排放系数； $Q_{ij}$表示车辆在点i到点j之间行驶时的货物重量； $\rho \left(Q_{ij}\right)$表示车辆在点i和点j之间行驶时的单位距离油耗量。

2) 制冷设备产生的碳排放量，主要和运输距离、装载量有关。车辆在点i到点j之间行驶时，制冷产生的碳排放量 $C_{p2}$可表示为 "> ：

$C_{p2}=\omega Q_{ij}{d}_{ij}$(11)

其中， $\omega$表示制冷设备工作时单位重量货物在单位距离上所产生的碳排放量。

当冷藏车完成所有配送任务后返回出发地时，其载重量为0，即当前过程中 $Q_{ij}=0$，没有货物需要制冷，不会产生碳排放。所以返程过程中产生的碳排放量为 $e_0{\rho }_0{d}_{ij}$。

综上，在整个物流配送过程中，产生的总碳排放量CP可表示为：

$CP={\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{d}_{ij}\left[e_0\rho \left(Q_{ij}\right)+\omega Q_{ij}\right]}}$(12)

考虑该阶段碳税价格为 $c_0$，在配送过程中的总碳排放成本即可表示为：

$C_5=c_0{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{d}_{ij}\left[e_0\rho \left(Q_{ij}\right)+\omega Q_{ij}\right]}}$(13)

在实际运输过程中，配送车辆可能会因为某些原因，出现提前到达或者不能按时到达客户点的情况，这些情况都会导致客户对配送服务的满意度下降。因此，对于未能在客户要求时间内抵达的车辆，将会产生一定的惩罚费用。

$\left[T_{ei},T_{li}\right]$代表的是客户i的最满意到达时间窗， $T_{ei}$是指客户i期望服务时间窗的最早时刻， $T_{li}$是指期望服务时间窗的最晚时刻。 $\left[{T^{\prime }}_{ei},{T^{\prime }}_{li}\right]$是指第i位客户可接受的服务时间窗，同理， ${T^{\prime }}_{ei}$和 ${T^{\prime }}_{li}$则分别代表客户i可接受的最早与最晚时刻。若是配送车辆能在客户期望时间窗内抵达，此时客户的满意度水平最高；若配送服务在客户期望时间窗外，但仍在可接受时间段内完成，客户的满意度会出现一定的下降，车辆需要承担违反时间所产生的惩罚成本。

惩罚成本主要和车辆在到达客户点的时间有关，因此，惩罚成本函数可表示为：

${\phi }_i^k=\{\begin{array}{l}M,t_i^k<{T^{\prime }}_{ei},t_i^k>{T^{\prime }}_{li}\\ \mu \left(T_{ei}-t_i^k\right),{T^{\prime }}_{ei}\le t_i^k<T_{ei}\\ 0,T_{ei}\le t_i^k\le T_{li}\\ {\mu }^{\prime }\left(t_i^k-T_{li}\right),T_{li}<t_i^k\le {T^{\prime }}_{li}\end{array}$(14)

其中 ${\phi }_i^k$表示车辆k服务客户点i的惩罚成本； $\mu$表示车辆提前到达产生的单位时间惩罚成本； ${\mu }^{\prime }$表示车辆超出客户最晚服务时间窗的单位时间惩罚成本；M设定为一个极大值。

综上所述，本文推导出冷链物流配送过程中的总惩罚成本C₆为：

$C_6={\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{\phi }_i^k}}$(15)

通过前文对冷链配送过程中运输成本的分析，建立数学模型如下：

$\begin{array}{c}\min C=c_1{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{x}_{0j}^k}}+c_2{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{d}_{ij}}}+P{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k}}\left[q_i\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_1\left(t_i^k-t_0^k\right)}\right)+Q_i\left(1-{\text{e}}^{-{\beta }_2{t}_{si}}\right)\right]\\ +c_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{t}_{ij}^k}}+{c^{\prime }}_a{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{t}_{si}}}+c_0{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in V}{\sum }{x}_{ij}^k{d}_{ij}}}\left[e_0\rho \left(Q_{ij}\right)+\omega Q_{ij}\right]+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{\phi }_i^k}}\end{array}$(16)

s.t.

${\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{y}_i^k}=1,\forall i\in N$(17)

${\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{j\in N}{\sum }{x}_{0j}^k}}\le m$(18)

${\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\displaystyle \underset{i\in V}{\sum }{x}_{ij}^k}}=1,\forall j\in N$(19)

${\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{y}_i^k{q}_i}\le Q,\forall k\in K$(20)

${\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{x}_{i0}^k}={\displaystyle \underset{j\in N}{\sum }{x}_{0j}^k}\le 1,\forall k\in K$(21)

${\displaystyle \underset{i\in V}{\sum }{x}_{ip}^k}={\displaystyle \underset{j\in V}{\sum }{x}_{pj}^k},\forall p\in N,k\in K$(22)

$t_j^k=t_i^k+t_{si}+t_{ij}^k$(23)

$t_{ij}^k=\frac{d_{ij}}{v}$(24)

其中，式(16)表示目标函数的总成本最小；式(17)表示每个客户只能由一辆车提供服务；式(18)表示所有用于配送服务的车辆数目不超过配送中心的最大车辆数；式(19)表示对所有客户都提供一次服务；式(20)表示每辆车的装载量不得超过其额定载重量；式(21)表示车辆从配送中心出发，在完成配送后最终返回出发点；式(22)表示到达和离开客户时的车辆数是一致的；式(23)和(24)表示配送过程中不存在间断，时间是连续的。

在处理配送中心与门店信息时，本文将配送中心的编码设置为0，门店的编号设置为 $1,2,3,\cdots ,N$(在完成编码后，门店编号不再改变)，由K辆冷藏车从配送中心出发对所有门店提供配送服务，在完成任务后车辆回到出发点。此时一条配送线路的染色体长度为K + N + 1。

在选用遗传算法后，生成初始化种群是算法运行的关键环节。种群规模的大小与遗传算法的运算效率息息相关，如果初始种群规模偏小，样本容量不足，算法的输出结果差异较大；如果初始种群规模过大，会出现算法计算量偏高、时间过长的问题。在参考相关文献后，本文将初始种群规模设定为100，并通过随机方式生成为种群。

适应度值大小代表着染色体个体的优劣程度。一般地，某个个体的适应度值越高，则表示该个体越优；适应度值低的个体质量也较低，会逐渐淘汰。本文将冷链配送总配送成本作为目标函数，该染色体的适应度值则是目标函数的倒数。

选择算子时采用考虑精英保留策略的轮盘赌选择法，精英保留策略是指算法求解过程中的优秀个体留存到下一代计算中，保留求解过程中潜在的最优解；个体被选中的几率与相对适应度呈正相关，且可以通过相对适应度来计算。最大迭代数设定为300，当迭代至300代时算法终止，选择性能最好的染色体所对应的解当作最优解。

X公司位于武汉市汉口区，其在武汉市多家门店提供冷链配送服务。本文选取X公司目前处于运营阶段的五条配送路线(分别为配送路线1： $0\to \text{3}\to \text{2}\to \text{19}\to \text{2}0\to 0$；配送路线2： $0\to 4\to 5\to 11\to 10\to 0$；配送路线3： $0\to \text{8}\to \text{6}\to 0$；配送路线4： $0\to \text{17}\to \text{18}\to \text{1}\to \text{7}\to \text{9}\to \text{16}\to 0$；配送路线5： $0\to 12\to 15\to 14\to 13\to 0$)，共计20家客户门店进行配送路径优化。X公司的配送中心和20个顾客门店的基本信息如 表1 所示。其中“0”代表X公司的配送中心，“1~20”代表需要提供服务的生鲜超市。

该企业采用解放J6L精英版6.8 m冷藏车作为主力物流车辆，通过查询工信部公布的信息，本文得到了解放J6L精英版6.8 m冷藏车的配置参数，具体数据如 表2 所示。

由于超市营业时间较早，所以生鲜产品一般在凌晨配送到店。通过分析门店的期望时间窗和可接受时间窗，配送任务一般发生在上午4点至8点，此时间段基本避开了早高峰，因此在研究中暂不考虑堵车问题对于配送时效的影响。该型号冷藏车最大载重为9990 kg，假设车外环境温度为18℃，车内冷藏温度设定为5℃。由于服务对象都处于武汉市区，本文假定冷藏车以30 km/h的速度匀速行驶；参考2024年1月末发改委公布的湖北地区0号柴油价格为7.48元/升，将冷藏车行驶单位距离成本设定为3.5元/km，具体参数如 表3 所示。

本文根据上述X公司实际运行案例，采用Matlab R2018a软件对模型进行仿真实验。在遗传算法中，将种群规模设定为100，交叉概率为0.8，变异概率为0.1，最大迭代次数为300。为了减小偶然性造成的误差，本文对连续五次算法求解结果进行记录，如 表4 所示。

由仿真结果可知，本文建立的模型和遗传算法是可行的。通过对上表连续5次的求解结果分析，选择运输总成本最小的一次结果作为本算例的最优解，其对应的优化过程图与最优路线图如 图1 、 图2 所示。

当算法运行迭代至230代左右时，总配送成本趋于稳定，在运行19.12秒，完成300次迭代后，生成最优配送方案。此时，X公司可用5辆冷藏车满足20家门店的配送需求，最小配送成本为4143.12元，各项子成本如 表5 所示。

具体配送路线为：

配送路线1 ( 图2 红线所示)： $0\to 3\to 2\to 11\to 10\to 0$

配送路线2 ( 图2 黄线所示)： $0\to \text{6}\to \text{12}\to \text{9}\to \text{16}\to 0$

配送路线3 ( 图2 绿线所示)： $0\to \text{17}\to \text{4}\to \text{15}\to \text{14}\to \text{13}\to 0$

配送路线4 ( 图2 蓝线所示)： $0\to \text{7}\to \text{5}\to \text{8}\to \text{2}0\to 0$

配送路线5 ( 图2 紫线所示)： $0\to \text{1}\to \text{18}\to \text{19}\to 0$

通过对X公司原有规划的5个条线进行分析，在同样的门店需求下，总配送成本为4522元。优化前与优化后的各项物流成本对比如 表6 所示：

由上表可知，在考虑碳排放和时间窗的约束后，除了车辆固定成本未发生变化外，其余各项成本较优化前都有所下降。其中运输成本下降了2.84%，货损成本下降了1.96%，制冷成本下降了27.3%，碳排放成本下降了5.19%，惩罚成本下降了100%，总成本降低了8.38%。