根据能量原理，有限元方法可以分为基于势能原理的有限元方法及基于余能原理的有限元方法，分别对应于结构力学的位移法及力法。在余能有限元方法中，构造满足单元内及单元边界上的应力插值函数比较困难，且根据柔度矩阵计算单元节点位移时难度较大。因此，上述数值模拟工作，基本采用通用有限元软件建立混凝土细观数值模型，通过势能常规有限元方法研究相关因素对混凝土力学性能的影响规律。

2003年，高玉臣院士 [1] 提出了描述一点应力状态的新概念“基面力”，建立了应力平衡元及位移协调元两种本构关系。无论是小变形问题还是大变形问题，在余能原理的基面力理论中其泛函数的形式的一致的。根据极分解定理，位移对随体坐标的导数可以由基面力位移表示，即，基于基面力的余能原理是一个纯余能原理。2006年，基于该概念，彭一江教授 [2] 提出了一种新型的有限元方法——“基面力元法”，并给出基于势能原理的单元刚度矩阵表达式 [3] 及余能原理的单元柔度矩阵表达式 [4] 。本文采用基于余能原理的基面力单元法来对轻骨料混凝土进行静态单轴压缩以及拉伸加载模拟，并探究轻骨料混凝土试件的损伤破坏规律以及中骨料分布均匀性对轻骨料混凝土试件力学性能的影响。

余能原理基面力单元法的关键在于其单元柔度矩阵的表达 [5] ，以平面四节点单元为例，其单元柔度矩阵推导如下( 图1 )。

平面四节点单元如 图1 ，平面单元的余能 [6] 为

$W_C^e=\frac{1+\upsilon }{2EA}\left[\bar{\sigma }:\bar{\sigma }-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{\left(\sigma :U\right)}^2\right]$(1)

式中，E为弹性模量；υ为泊松比；U为单位张量；A为单元面积。

由 $U=R_I\otimes R^I$，得到单元余能表达式为

$W_C^e=\frac{1+\upsilon }{2EA}\left[\left(T^I\cdot T^J\right)r_{IJ}-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{\left(T^I\cdot R_I\right)}^2\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$(2)

式中，I、J分别表示单元的第I边与第J边；r_IJ表示R_I和R_J的点积。

$T^J$相应的广义位移为

${\delta }_I=\frac{\partial W_C^e}{\partial T^I}=C_{IJ}\cdot T^J$(3)

式中，C_IJ为单元柔度矩阵的显式表达式，即

$C_{IJ}=\frac{1+\upsilon }{EA}\left[r_{IJ}U-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }\left(R_I\otimes R_J\right)\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$(4)

式中，U为单位张量，对于直角坐标系，表达式为

$U=e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$(5)

则得到单元柔度矩阵C_IJ的展开式为

$\begin{array}{c}{C}_{IJ}=\frac{1+\upsilon }{EA}[\left(\frac{1}{1+\upsilon }{R}_{I1}{R}_{J1}+R_{I2}{R}_{J2}\right)e_1\otimes e_1-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{R}_{I1}{R}_{J2}{e}_1\otimes e_2\\ -\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{R}_{I2}{R}_{J1}{e}_2\otimes e_1+\left(R_{I1}{R}_{J1}+\frac{1}{1+\upsilon }{R}_{I2}{R}_{J2}\right)e_2\otimes e_2]\end{array}$(6)

简化表达为

$C_{IJ}=C_{I1J1}{e}_1\otimes e_1+C_{I1J2}{e}_1\otimes e_2+C_{I2J1}{e}_2\otimes e_1+C_{I2J2}{e}_2\otimes e_2$(7)

单元柔度矩阵的矩阵形式为

$C_{IJ}=\frac{1}{EA}\left[\begin{array}{cc}{R}_{I1}{R}_{J1}+\left(1+\upsilon \right)R_{I2}{R}_{J2}& -\upsilon R_{I1}{R}_{J2}\\ -\upsilon R_{I2}{R}_{J1}& \left(1+\upsilon \right)R_{I1}{R}_{J1}+R_{I2}{R}_{J2}\end{array}\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$(8)

式(8)为平面应力问题的表达式，对于平面应变问题，用 $\frac{E}{1-{\upsilon }^2}$代替E， $\frac{\upsilon }{1-\upsilon }$代替即可。

本研究采用了蒙特卡罗法进行轻骨料的投放并对已投放骨料是否发生碰撞进行判别，当发生骨料碰撞后则重新对该骨料进行投放直至所有轻骨料完成投放得到二维的轻骨料混凝土试件。细观模型中主要分为三个部分，砂浆、骨料以及两者之间的粘结界面。轻骨料混凝土的网格模型如 图2 。完成骨料投放后，对试件进行均匀的四边形网格剖分，通过输入分割步长值，结合试件尺寸形成分布均匀的结点，连结各个结点形成均匀四边形网格再将网格投影到轻骨料混凝土模型中，对各个单元属性进行判断。当单元的所有节点均落在轻骨料区域时，此单元为轻骨料单位；当所有节点均落在砂浆区域时，此单元为砂浆单元；当有部分结点在骨料区，而其余点落于砂浆区时，则该单元称为粘结带单元。并按照不同的单位形式，分别对不同单位赋予了弹性模量、泊松比和抗拉强度等单元属性。

本次数值模拟采用的试件为100 mm × 100 mm × 100 mm的立方体试件，计算时简化为二维试件，截面尺寸为100 mm × 100 mm，网格采用四边形均匀网格，边长为1 mm，加载时对底部边缘节点全部中心结点进行水平及竖向两个方向的位移约束，沿竖直方向进行逐级静态位移加载，轴向压缩加载时，每一个加载步的位移值Δu = 0.01 mm，加载模型如 图3 。轴向拉伸加载时对底部边缘节点全部中心结点进行水平及竖向两个方向的位移约束，沿竖直方向进行逐级静态位移加载，每一个加载步的位移值Δu = 0.005 mm，加载模型如 图4 。

本节基于黄杰宁 [9] 实验参数，通过随机骨料模型投放了6个同样的粗骨料体积率但分布情况不同的试件。对这些试件分别进行静态单轴压缩模拟和静态单轴拉伸模拟并对结果进行分析。计算各试件骨料分布均匀性指标K以及团结度指标S，探究试件峰值应力以及损伤过程与骨料分布均匀性之间的关系。

采用蒙特卡洛法进行模拟投放得出的骨料相关信息如 表1 。

当轻骨料质量混凝土上的骨材颗粒位置绝对一致时，亦即在轻骨料混凝土的任一断面上，其位置分别关于散射截面中心的对称。也就是说，当轻骨料混凝土的骨材在断面中散布十分均匀后，则它的合成动量中心位置必须与断面中心位置吻合，不然将与断面几何重心形成高度误差。如：

$x_i=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{N_i}{S}_{in}{x}_{in}}{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{N_i}{S}_{in}}$(9)

$y_i=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{Ni}{S}_{in}{y}_{in}}{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{Ni}{S}_{in}}$(10)

$d_i=\sqrt{{\left(x_i-x_0\right)}^2+{\left(y_i-y_0\right)}^2}$(11)

式中：x、y为轻骨料中第i档粒径范围骨料的合成质心坐标；S_m为截面上轻骨料混凝土中第粒径范围骨料中第n骨料的面积；x_in、y_in分别为截面上中第i档集料中第n颗粒到X轴和Y轴的距离；为其合成质心与该截面中心的距离。并将结果转化为无量纲形式，便于表征和计算，即：

${d^{\prime }}_i=d_i/r$(12)

$K_j={{\displaystyle \sum }}^{}{\beta }_i{d^{\prime }}_i$(13)

$K=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}{K}_j$(14)

当轻骨料混凝土中骨料之间距离较近时视做骨料发生结团现象。定义轻骨料混凝土试件骨料团结度为发生结团的骨料面积比上总体的骨料截面面积。

本文骨料团结度判定方法，将骨料质心坐标参数视作点云数组，对每个骨料进行遍历式的邻域搜索，采用固定距离搜索时，以骨料自身半径r的γ倍骨料自身直径的距离为固定值邻域进行范围搜索，同时需满足搜索到的骨料与骨料自身间的最小间距小于特定值d，满足此条件的骨料算作结团骨料。

骨料团结度表示公式为：

$S=\frac{S_{结团}}{S_{骨料}}$(16)

材料参数的取值见 表2 。轻骨料混凝土三相介质的力学性能参数通过黄杰宁 [9] 实验数据及相关参考文献 [10] [11] 得到。

由根据4.1原理编写的骨料分布均匀性指标K与团结度指标S的MATLAB计算程序对模拟投放的6个轻骨料混凝土试件进行运算的到结果如 表3 ，对试件进行单轴压缩加载数值模拟得到的峰值应力如 表3 。

圆骨料试件静态单轴压缩的数值模拟损伤破坏过程如 图5 所示。随着位移的不断加载，试件局部的单元开始损伤破坏，随后损伤部分不断扩展直至整个试件发生破坏。在受拉加载过程中圆骨料试件在骨料内部先出现了破坏，裂缝逐渐延伸并贯穿整个圆骨料，且裂缝主要集中出现在试件的上下两端和中部的轻骨料中。当距离较近的轻骨料都出现裂缝时，裂缝会相互贯通最终形成一条主裂缝。

通过加载过程中裂缝的扩展可以看出，轻骨料的破坏在三相介质中最为严重，进而使得轻骨料周边区域的局部力学性能发生弱化，使得该区域内的水泥砂浆更容易发生损伤，少量粘结界面也发生了损伤破坏，但裂缝并未沿着粘结界面层扩展，而是穿过轻骨料颗粒形成了一条主裂缝，由此可知，粘结界面的存在对轻骨料混凝土试件的裂缝扩展形态影响不大，这与普通骨料混凝土试件中存在较大差别。

图6. 轻骨料混凝土轴向拉伸破坏过程图

如 图6 所示为试件在静态单轴拉伸模拟下的破坏过程图，试件初始裂缝一般产生在试件靠近左右两侧边缘的轻骨料中，且两侧损伤骨料在试件中有较明显的高度差异，呈现一定的斜线分布规律，后裂缝由多个损伤的骨料破坏连结，大体上沿初始损伤骨料所连接的斜线上分布，形成试件的主要损伤裂缝。当试件中粒径较小的轻骨料分布较为接近时，试件裂缝易沿较小粒径骨料损伤发展，形成裂缝。

在6个试件基础之上进一步对数值模拟试件样本进行扩充，发现轴心受拉的峰值应力变化受骨料分布均匀性影响较受压峰值应力小，因此主要讨论轴心受压承载的情况，结果如 图7 所示。当均匀性指标K小于1.4时试件的峰值应力较低，轻骨料混凝土中，骨料相较砂浆相以及界面单元相脆弱强度较低，因此在K值较小骨料在砂浆中的分布整体较为均匀时，有概率出现且含有较少结团而试件的整体强度较低的情况。而当K值大于1.6时则有明显的试件峰值应力大致有随骨料分布均匀性降低的趋势，轻质骨料分布的均匀性较差过多的集中在某处造成了试件出现薄弱区造成试件整体峰值应力的下降。