为了提升机场加油车的调度效率、安全和绿色水平，基于物联网动态跟踪加油车、航空器和停机位的状态，其物联网构架如 图1 所示，主要包括：

感知层：利用GPS和传感器，收集加油车、航空器和停机位的各种信息，包括位置、速度、油量等。

网络层：利用4G/5G，负责将感知层收集到的信息传输到处理层。

处理层：主要负责对接收到的信息进行处理和分析，为加油车调度模型提供输入数据。

应用层：负责构建加油车调度模型和算法库，根据调度目标和约束条件，将数据、知识、模型和算法组装，生成面向实际场景的模型，调用求解器，生成调度方案，并可视化评估其优劣。

用户层：主要负责与用户进行人机交互，以便于用户进行决策。

在某段时间内，多个航空器停靠在不同机坪的机位需要加油，必须在推出时刻前完成加油。将航空器的加油任务分配给不同车辆，一辆加油车从油库加满油之后，依次访问多个航空器的位置，在进行加油前准备、检查等常规操作后，完成当前航空器的加油任务继续执行下一个航空器的加油任务。根据问题特征，建立加油车调度问题的多目标混合整数数学规划模型，兼顾车辆调度成本和航班延误之间利益均衡目标。不失一般性，本文研究的前提假设条件包括：1) 不考虑航空器的加油车任务由不同车辆完成；2) 忽略车辆加油过程中的不确定对其影响。

根据上述问题描述，其数学模型如下所示。

$\min Z_1={\displaystyle {\sum }_{\forall r\in R}{\displaystyle {\sum }_{\forall i\in F}{\displaystyle {\sum }_{\forall i\in F}{x}_i^r\left[l{t}_i^r-l{T}_i\right]}}}$(1)

$\min Z_2={\displaystyle {\sum }_{\forall r\in R}{\displaystyle {\sum }_{\forall i,j\in F}{z}_{ij}^r{t}_{ij}}}$(2)

${\displaystyle {\sum }_{\forall r\in R}{x}_i^r}=1,\forall i\in F$(3)

${\displaystyle {\sum }_{\forall j\in F\cup \left\{0\right\}}{z}_{ij}^r}={\displaystyle {\sum }_{\forall j\in F\cup \left\{0\right\}}{z}_{ji}^r}=x_i^r,\forall i\in F,\forall r\in R$(4)

${\displaystyle {\sum }_{\forall i\in F}{x}_i^r\cdot q_i}\le Q_r,\forall i\in F,\forall r\in R$(5)

$l{t}_i^r+t_{ij}+\left(1-z_{ij}^r\right)\cdot M=a{t}_j^r,\forall i,j\in F,\forall r\in R$(6)

$a{t}_i^r+T_p=w{t}_i^r,\forall i\in F,\forall r\in R$(7)

$w{t}_i^r+q_i/speed=l{t}_i^r,\forall i\in F,\forall r\in R$(8)

$l{t}_i^r\le l{T}_i,\forall i\in F,\forall r\in R$(9)

其中： $z_{ji}^r$表示车辆r是否执行航空器i和j的加油任务； $x_i^r$表示车辆r是否执行航空器的加油任务； $q_i$表示航空器i的加油量； $Q_r$表示车辆r的加油量； $a{t}_i^r$、 $w{t}_i^r$和 $l{t}_i^r$表示表示车辆r执行航空器i的到达、开始加油和离开时间； $l{T}_i$表示航空器i的推出时刻。

公式(1)和(2)是目标函数，其中：公式(1)表示全部航班延误时间最小化；公式(2)车辆行驶时间最小化。公式(3)和(9)是约束条件，其中：公式(3)表示将每个航空器的加油任务分配给一辆车；公式(4)表示将加油辆车的网络流约束条件；公式(5)表示将加油辆车的油量满足全部航空器的加油需求；公式(6)表示一辆车完成上一个航空器的加油任务后来到下一个航空器的加油任务；公式(7)和(8)表示加油车的加油准备和加油时间；公式(9)表示加油车在一个航空器的加油结束任务不早于其推出时间。

采用整数编码方式，利用一维向量U表示问题的每一个解，元素 $u_i$取值为1~R之间的自然数，表示航空器i的加油任务由车辆 $u_i$完成，其顺序由任务时间决定。例如：染色体 $U=\left(1,2,3,1,2,3,1,2,3\right)$表示3辆车完成7个加油任务，其中：任务1、4、7由车辆1完成，任务2、5、8由车辆2完成，车辆3、6、9由车辆3完成。

该问题及其复杂，随机生成的个体很难是可行解。因此设计启发式算法生成可行个体，组成初始种群，具体步骤如下：

步骤1：根据全部航空器 $\forall i\in F$的加油任务时间 $t_i^p$进行排序，令结果为 $F^{‴}={\left\{{F^{″}}_1,{F^{″}}_2,\cdots ,{F^{″}}_{\left|F\right|}\right\}}^{\prime }$。

步骤2：初始化可以完成所有航空器 $F^{″}$加油任务的车辆集合R，令 $i=1$。

步骤3：查找可以完成 ${F^{″}}_i$的车辆集合 $vR$，若 $vR\ne \varnothing$，从中随机选择车辆 $\forall r\in vR$完成 ${F^{″}}_i$，转至步骤4；否则，转至步骤2。

步骤3.1：初始化 $vR=\varnothing$。

步骤3.2：查找匹配航空器加油任务的任意车辆 $\forall r\in R$，当前最后一个航空器 $lF\left(r\right)$。

步骤3.3：检查 $\forall r\in R$是否能在完成 $lF\left(r\right)$后继续执行航空器 ${F^{″}}_i$的运行，若满足以下条件之一：① $lF\left(r\right)=\varnothing$，② $t_{lF\left(r\right)}^a+t_{lF\left(r\right)}^h+\max \left(T_{lF\left(r\right){F^{″}}_i}^1,T_{lF\left(r\right){F^{″}}_i}^2\right)\le t_{{F^{″}}_i}^a$，则 $vR=vR\cup \left\{r\right\}$。

步骤4： $i=i+1$，若 $i\le \left|F\right|$，转至步骤3；否则，算法终止，输出结果。

步骤1：设置任意解 $\exists x\in P$所支配的个体集合 $S_x=\varnothing$和数量 $n_x=0$。若存在某解 $\forall q\in P$并满足 $q\succ x$，则 $S_x=S_x\cup \left\{q\right\}$；否则， $n_x=n_x+1$。

步骤2：令 $Q=\varnothing$， $x_{rank}=1$和 $i=1$， $F_1=\left\{x|n_x=0,\forall x\in P\right\}$。

步骤3：对 $\forall x\in F_i$的 $\forall q\in S_x$， $n_q=n_q-1$。当 $n_q=0$，设置 $q_{rank}=i+1$且 $Q=Q\cup \left\{q\right\}$。

步骤4：若 $Q\ne \varnothing$， $i=i+1$且 $F_i=Q$，转步骤3；否则，算法停止。

根据全部个体的目标值进行排序，计算相邻个体 $x_{i-1}$和 $x_i$的距离 ${\epsilon }_m\left(x_i\right)$，据此计算个体 $x_i$的拥挤距离 $Distance\left(x_i\right)={\displaystyle {\sum }_{m=1}^M{\epsilon }_m\left(x_i\right)}$。

计算任意两个个体的非支配排序和拥挤距离，根据下述规则选择最佳个体，即：① $i\succ {}_{n}j$当且仅当 $i_{rank}<j_{rank}$，② $i_{rank}=j_{rank}$且 $Distance\left(x_i\right)>Distance\left(x_j\right)$。

NSGA-II的具体算法步骤如下所示。

步骤1：设置染色体数N、最大迭代次数 $N_{iter}$以及交叉和变异系数。

步骤2：令 $t=0$，随机地生成一个初始种群 $P_0$。

步骤3：对第t代的种群 $R_t$进行选择、变异和交叉操作，产生子代种群 $Q_t$，并对它们进行合并，即 $R_t=P_t\cup Q_t$。

步骤4：计算 $R_t$的2N个体的非支配序和拥挤距离，依据等级的高低逐一选取个体，直到个体数量达到N就形成了新的种群 $P_{t+1}$。

步骤5： $t=t+1$。如果 $t\ge N_{iter}$，输出结果，算法终止；否则，返回步骤3。