VMD是由K. Drago miretskiy等在2014年提出一种完全非递归模式的信号分解方法，通过迭代搜索变分模型中的最优解，将一个实际信号x分解成K个中心角频率为 ${\omega }_k$离散的模态分量u_k。其模型构造及求解步骤可参考文献 [17] ，这里不做赘述。其中，分解层数K的选取会对VMD分解结果有较大影响，K值过小时，各个分量的频带过宽，使得每个分量因发生模态混叠而存在多个特征频率；K值过大时，某一特征频率可能分解在多个模态分量中，随着噪声信号被去除，导致信号特征无法准确获取。文献 [11] 指出将K值设置为3时对暂态零序电流的分解效果较好，因此本文中VMD算法的分解层数K设置为3。

修正Hausdorff距离(Modified Hausdorff Distance, MHD)是Hausdorff距离算法的一种改进算法，MHD是通过计算点集A中每点到点集B中最近点的距离，然后用它们的均值作为两个点集之间的距离 [18] ，能反映两个点集的最大不匹配程度，MHD值越小，表示目标间越相似。

假设有A、B两个有限点集，其中：

$A=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\right\}$(4)

$B=\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_m\right\}$(5)

修正Hausdorff距离可表示为式(6)

$H_{\text{MHD}}=\max \left[h_{\text{MHD}}\left(A,B\right),h_{\text{MHD}}\left(B,A\right)\right]$(6)

其中：

$h_{\text{MHD}}\left(A,B\right)=\frac{1}{N_A}{\displaystyle \underset{a_i\in A}{\sum }\underset{b_j\in B}{\min }\Vert a_i-b_j\Vert }$(7)

$h_{\text{MHD}}\left(B,A\right)=\frac{1}{N_B}{\displaystyle \underset{b_j\in B}{\sum }\underset{a_i\in A}{\min }\Vert b_j-a_i\Vert }$(8)

式(7)、(8)中，N_A、N_B分别表示集合A、B中的元素的个数， $\Vert a_i-b_j\Vert$表示A、B点集中任意两点的欧式距离。

修正Hausdorff距离表征两馈线间零序电流的波形整体相似度；其通过求平均值的方法，在一定程度上降低了噪声的干扰。

设谐振接地系统中共有m条馈线。故障发生时，对馈线 $i,j$的零序电流进行归一化处理，将各馈线归一化后的零序电流经VMD分解为三层，得到各模态分量IMF1、IMF2、IMF3。剔除含有噪声的IMF3分量，根据修正Hausdorff距离公式，可得两零序电流间各模态分量对应的双向修正Hausdorff距离为：

$H_{\text{MHD1}}\left(i_1,j_1\right)=\max \left(h_{\text{MHD}}\left(i_{0i1},j_{0j1}\right),h_{\text{MHD}}\left(j_{0j1},i_{0i1}\right)\right)$(9)

$H_{\text{MHD2}}\left(i_2,j_2\right)=\max \left(h_{\text{MHD}}\left(i_{0i2},j_{0j2}\right),h_{\text{MHD}}\left(j_{0j2},i_{0i2}\right)\right)$(10)

$H_{\text{MHD}}\left(i,j\right)=H_{\text{MHD1}}\left(i_1,j_1\right)+H_{\text{MHD2}}\left(i_2,j_2\right)$(11)

其中， $H_{\text{MHD2}}\left(i_{\text{1}},j_{\text{1}}\right)$表示零序电流IMF1间的双向修正Hausdorff距离， $H_{\text{MHD2}}\left(i_2,j_2\right)$表示零序电流IMF2间的双向修正Hausdorff距离，定义 $H_{\text{MHD}}\left(i,j\right)$为馈线 $i,j$零序电流的不匹配度， $H_{\text{MHD}}\left(i,j\right)$越大，零序电流波形间的差异越明显。依次计算各馈线零序电流间的不匹配度 [15] ，得到不匹配度矩阵为：

$H=\left[\begin{array}{cccccc}0& H\left(1,2\right)& \cdots & H\left(1,j\right)& \cdots & H\left(1,m\right)\\ H\left(2,1\right)& 0& \cdots & H\left(2,j\right)& \cdots & H\left(2,m\right)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ H\left(j,1\right)& \cdots & \cdots & 0& \cdots & H\left(j,m\right)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ H\left(m,1\right)& H\left(m,2\right)& \cdots & \cdots & H\left(m,m-1\right)& 0\end{array}\right]$(12)

定义矩阵H第i行所有元素之和为第i条馈线零序电流的不匹配度之和 ${\displaystyle \sum H_i}$，即

${\displaystyle \sum H_i}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}H\left(i,j\right)}$(13)

${\displaystyle \sum H_i}$越大，则该线路与其他馈线零序电流间的差异越明显， ${\displaystyle \sum H_i}$最大的线路为故障线路。

基于VMD和修正Hausdorff距离的小电流接地故障选线的具体选线步骤如下。

步骤1：对系统母线的零序电压U₀进行在线监测。当U₀超过0.15 U_N时，启动故障选线程序，记录各馈线故障后2个工频周期内的零序电流波形，并进行归一化化处理。

步骤2：利用VMD算法对各暂态零序电流分量进行分解。

步骤3：剔除含噪声的暂态零序电流分量，依次计算IMF1、IMF2分量故障后1个工频周期内对应的修正Hausdorff距离，得到两零序电流间的不匹配 $H_{\text{MHD}}\left(i,j\right)$，进而得到馈线零序电流间的不匹配度矩阵H。

步骤4：计算各馈线的不匹配度和 ${\displaystyle \sum H_i}$，选择 ${\displaystyle \sum H_i}$最大的即为故障线路。

设置线路L6在相角为90˚时发生A相单相接地短路，故障点距母线5 km，并加入SNR为30 dB的噪声信号，在不同的接地电阻情况下，仿真选线结果如 表2 所示。

由 表2 可知，在故障接地电阻为5000 Ω时，仍能通过所提方法准确判断故障线路。由此可知，该方法不受故障接地电阻大小的干扰，当发生高阻接地故障时，依然能正确选线。

设置线路L6的接地故障电阻为100 Ω，故障点距母线5 km，并加入SNR为30 dB的噪声信号，在不同的故障相角情况下，仿真选线结果如 表3 所示。

由 表3 可知，不匹配度和受故障相角的影响较大，但故障线路的不匹配和明显大于健全线路的不匹配和，能准确的判断线路故障。由此可知，该方法不受故障相角的影响。

设置线路L6的故障相角为90˚，接地故障电阻为100 Ω，并加入SNR为30 dB的噪声信号，在不同的故障距离情况下，仿真选线结果如 表4 所示。

由 表4 可知，不同的故障距离对各馈线间的不匹配度和的影响不大，该算法可以精确选线。

设置线路L6的故障相角为90˚，接地故障电阻为100 Ω，故障距离为5 km，在不同的噪声信号情况下，仿真选线结果如 表5 所示。

由 表5 可知，加入的SNR为10 dB、30 dB、50 dB时，各馈线的不匹配度和的变化很小，说明该方法有较强的抗干扰能力，尽管SNR为−1 dB的强噪声环境下，也能准确选线。

为了验证该方法在故障特征弱场景下能快速准确的选线，设置线路L6在故障相角为0˚，接地电阻为5000 Ω，故障距离为5 km，加入SNR为30 dB的噪声进行仿真，分别采用本文所提方法、基于Hausdorff距离的选线方法 [15] 和基于经验模态分解EMD的选线方法 [20] 进行选线，选线结果见 表6 所示。

由 表6 可知，在该场景下，故障特征减弱，加入SNR为30 dB的高斯白噪声，采样信号中可能出现的噪声点和孤立点会导致计算的Hausdorff距离偏大，从而使基于Hausdorff距离的选线方法失效；基于经验模态分解EMD的选线方法的特征指标是相对能量因子，在复杂故障条件和采样频率较低下的情况，暂态能量会急剧降低，将引起基于EMD的选线方法失效。本方法采用的修正Hausdorff距离通过求取平均值的方法在一定程度上降低噪声点和孤立点的影响，其次基于VMD方法能很好的避免噪声对选线结果的影响，所以能保证快速准确的选线。